高見沢彗星 その6

ゼータの香りの漂う式 ∫e^(ax) [(π/4) & (3π/4)&(5π/4) & (7π/4)代入]



2010/12/4   < ゼータの香りの漂う式 ∫e^(ax) [(π/4) & (3π/4)&(5π/4) & (7π/4)代入] >

 ここではπ/4と3π/4と5π/4と7π/4を代入した場合を調べる。フーリエ級数
 (π-x)/2=sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・    ( 0 < x < 2π)
の両辺に∫(0〜x) e^(ax) を作用させて得られる式のxにπ/4と3π/4と5π/4と7π/4を代入すると、次の4式が導出される。
ここでaは任意の実数である。

{1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)}
         +{9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)} + ・・・
                 =(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


{1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)}
         +{1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)} + ・・・
               =(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
          =1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
                  =(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 L(χ,s)ゼータの香りがぷんぷんと漂っていることがわかるであろう。これらの導出過程を以下に示す。

 [導出]
 フーリエ級数
 (π-x)/2=sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・         ----@
                               ( 0 < x < 2π)
を出発点とする。@の左右両辺に作用素∫(0〜x) e^(ax) を作用させて(後ろにdxは付く)、求めていく。

まず@の左辺に∫(0〜x) e^(ax)を作用させる。
(0〜x) e^(ax)・(π-x)/2 dx=((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)   ―---A

次に@の右辺に着目する。まずsin(nx)/n に作用素を適用すると(部分積分を2回行って)
(0〜x) e^(ax)・(sin(nx)/n) dx= a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2)) - con(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + 1/(n^2+a^2)      ----B

となる。@の右辺の各項に項別積分を適用して次を得る。
(0〜x) e^(ax)・(n=1〜∞) (sin(nx)/n) dx
     =(n=1〜∞){1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))}   ----C

@の両辺に∫(0〜x) e^(ax)を作用させた結果がAとCであるからA=Cとなって、
((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)
       =(n=1〜∞){1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))}  ----D

 ここでDにxにπ/4を代入して整理すると次のようになる。

 (√2/2)・A1 + A2 + (√2/2)aB1 - aB2= π・e^(-aπ/4) - 1/(2a) + π・e^(-aπ/4)/(e^(2aπ)-1)  ----E

 ここでDにxに3π/4を代入して整理すると次のようになる。

 -(√2/2)・A1 + A2 + (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-3aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-3aπ/4)/(e^(2aπ)-1)  ----F

 ここでDにxに5π/4を代入して整理すると次のようになる。

 (√2/2)・A1 - A2 + (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-5aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-5aπ/4)/(e^(2aπ)-1) ----G

 ここでDにxに7π/4を代入して整理すると次のようになる。

 (√2/2)・A1 + A2 - (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-7aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-7aπ/4)/(e^(2aπ)-1) ---H

 ここで、A1, B1, A2, B2は以下の通り。

A1={1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)}
         +{9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)} + ・・・

B1={1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)}
         +{1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)} + ・・・

A2=2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・

B2=1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・

E〜Hの連立方程式を解いて(A1,B2,A2,B2は上記より)、次を得る。

{1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)}
         +{9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)} + ・・・
                     =(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


{1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)}
         +{1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)} + ・・・
                    =(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
                =1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
                       =(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)

 冒頭で示した式が導出できた。
[終わり]

 これまでの結果も合わせてまとめておこう。
 フーリエ級数
 (π-x)/2 =sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・    (0 < x < 2π)
に∫(0〜x) e^(ax)を作用させxにある数を代入すると、以下の式が得られる。(aは任意の実数)

[2π代入]

 1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・=- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)


[π代入]

 1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ =(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)

 1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ =- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1)


[(π/2)&(3π/2)代入]

 1/(2^2+a^2) - 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) - 1/(8^2+ a^2) + ・・・
                               =1/(2a^2) - (π/(2a))・(e^(3aπ/2)+e^(aπ/2))/( e^(2aπ)-1)


 1/(1^2+a^2) - 3/(3^2+ a^2) + 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2) + ・・・=(π/2)・(e^(3aπ/2)-e^(aπ/2))/( e^(2aπ)-1)


[(π/3)代入&(5π/3)代入]

 {1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)}
              +{7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)} + ・・・
                                       =(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)


 1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
                             =1/(2a^2) - (π/(3a))・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)


[(π/4)代入&(3π/4)&(5π/4)代入&(7π/4)代入]

 {1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)}
         +{9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)} + ・・・
                      =(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 {1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)}
         +{1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)} + ・・・
                      =(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
                =1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


 2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
                        =(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)






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