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ここではπ/3と5π/3を代入した場合を調べる。フーリエ級数
(π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ( 0 < x < 2π) の両辺に∫(0～x) e^(ax) を作用させて得られる式のxにπ/3と5π/3を代入すると、次の２式が導出される。ここでaは任意の
実数である。
｛1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝1/(2a^2) - (π/(3a))・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
注意いただきたいのは、π/3代入と5π/3代入をペアで行って上記二つが導出されるということである。試しにaに2を代入す
ると、上式は次のようになる。
｛1/(1^2+4) + 2/(2^2+ 4) - 4/(4^2+ 4) - 5/(5^2+ 4)｝
＋｛7/(7^2+4) + 8/(8^2+ 4) - 10/(10^2+ 4) - 11/(11^2+ 4)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(10π/3)-e^(2π/3))/(e^(4π)-1)
1/(3^2+4) - 1/(6^2+ 4) + 1/(9^2+ 4) - 1/(12^2+ 4) + ・・・
＝1/8 - (π/6)・(e^(2π/3)+e^(2π)+e^(10π/3))/(e^(4π)-1)
これらの導出過程を以下に示す。
［導出］ フーリエ級数 (π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ----① ( 0 < x < 2π) を出発点とする。①の左右両辺に作用素∫(0～x) e^(ax) を作用させて(後ろにdxは付く)、求めていく。 まず①の左辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させる。 ∫(0～x) e^(ax)・(π-x)/2 dx=((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2) ―---② 次に①の右辺に着目する。まずsin(nx)/n に作用素を適用すると（部分積分を２回行って） ∫(0～x) e^(ax)・(sin(nx)/n) dx= a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2)) - con(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + 1/(n^2+a^2) ----③ となる。①の右辺の各項に項別積分を適用して次を得る。 ∫(0～x) e^(ax)・∑(n=1～∞) (sin(nx)/n) dx
=∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----④
①の両辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させた結果が②と④であるから②=④となって、 ((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)
=∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----⑤
ここで⑤にxにπ/3を代入して整理すると次のようになる。
-(√3/a)・A + 3B= -(2π/a)・e^(-aπ/3) + 3/(2a^2) - (π/a)・(e^(aπ)+2e^(-aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑥
また、⑤にxに5π/3を代入して整理すると次のようになる。
(√3/a)・A + 3B= -(2π/a)・e^(-5aπ/3) + 3/(2a^2) - (π/a)・(e^(aπ)+2e^(-5aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑦
ここで、A=｛1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
B=1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
である。
なお、⑥、⑦を導く整理の途中で、2π代入より得られる式
1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)
と、π代入の結果より得られる式
1/(1^2+a^2) - 1/(2^2+a^2) + 1/(3^2+a^2) - 1/(4^2+a^2) + ・・=1/(2a^2) - (π/a)・e^(aπ)/( e^(2aπ)-1)
と、ディリクレの類数公式より得られる次式
(1 + 1/2 - 1/4 - 1/5) + (1/7 + 1/8 - 1/10 - 1/11) + ・・・
=｛(1 - 1/2 + 1/4 - 1/5) + (1/7 - 1/8 + 1/10 - 1/11) + ・・・｝ + ｛2(1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/10) + ・・｝
=LA(1) + ｛(1/1 - 1/2 + 1/4 -1/5) + ・・｝=2LA(1)=2π/(3√3)
を利用した。最後は、虚２次体Ｑ(√-3)ゼータLA(s)=(1-1/2^s+1/4^s-1/5^s)+(1/7^s-1/8^s+1/10^s-1/11^s)+・・に関係
する。
さて、⑥，⑦はAとBに関する連立方程式となっているから、これを解いて次を得る。
A=(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
B=1/(2a^2) - (π/3a)・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
つまり、
｛1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝1/(2a^2) - (π/(3a))・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
目的の式が導出できた。
［終わり］
｛1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝1/(2a^2) - (π/(3a))・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
下式はζ(ｓ)の香りが漂っていることはすぐにわかるであろう。
上式の方は、じつはディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種である虚２次体Ｑ(√-3)ゼータ
LA(s)=(1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s) + (1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s) + ・・
の香りが漂っているのだが、すぐにはわかりにくいと思う。+-の符号の付き方が違っているため、一見わかりにくいことに
なっている。しかし、
(1/1^s + 1/2^s - 1/4^s - 1/5^s) + (1/7^s + 1/8^s - 1/10^s - 1/11^s) + ・・・
=｛(1/1^s - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s)+(1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s) + ・・｝+｛2(1/2^s-1/4^s+1/8^s-1/10^s) + ・・｝
=LA(s) + ｛(1/1^s - 1/2^s + 1/4^s -1/5^s) + ・・｝=2LA(s)
という変形が可能であることを考えると、上式は確実にLA(s)ゼータの香りが漂っているといえるのである！ただし、ゼータと
違って分母に+a^2があるために、この変形をしようにもできないだけである。
今回、(π/3)＆(5π/3)代入で新しいゼータの香りの漂う式を導いた。
では(2π/3)＆(4π/3)代入では、どのような式が導出されるのだろうか？ それは次回調べることにする。
これまでの結果も合わせてまとめておこう。
同様にして、2π/3と4π/3を代入すると次の２式が導出される。aは任意の実数。
｛1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) - 8/(8^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(4aπ/3)-e^(2aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
1/(3^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝-1/(2a^2) + π/(6a) + (π/(3a))・(1+e^(2aπ/3)+e^(4aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
2π/3代入と5π/3代入をペアで行ってこれら二つが導出される。試しにaに2を代入すると次のようになる。
｛1/(1^2+4) - 2/(2^2+4) + 4/(4^2+4) - 5/(5^2+4)｝
＋｛7/(7^2+4) - 8/(8^2+ 4) + 10/(10^2+ 4) - 11/(11^2+ 4)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(8π/3)-e^(4π/3))/(e^(4π)-1)
1/(3^2+4) + 1/(6^2+4) + 1/(9^2+4) + 1/(12^2+4) + ・・・
＝-1/8 + π/12 + (π/6)・(1+e^(4π/3)+e^(8π/3))/(e^(4π)-1)
これらの導出過程を以下に示す。
［導出］ 一つ上で行った(π/3)＆(5π/3）代入と途中の⑤式まで同じなので、その⑤からはじめる。 ((x-π)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)
=∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) - a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ ----⑤
ここで⑤にxに2π/3を代入して整理すると次のようになる。 (√3/2)a・A + B/2= (π/6a) + 1/(2a^2) - (π/a)・e^(-2aπ/3) - (π/a)・e^(-2aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑥
また⑤にxに4π/3を代入して整理すると次のようになる。
-(√3/2)a・A + B/2= -(π/6a) + 1/(2a^2) - (π/a)・e^(-4aπ/3) - (π/a)・e^(-4aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑦
ここで、A=｛1/(1(1^2+a^2)) - 1/(2(2^2+ a^2)) + 1/(4(4^2+ a^2)) - 1/(5(5^2+ a^2))｝
＋｛1/(7(7^2+a^2)) - 1/(8(8^2+ a^2)) + 1/(10(10^2+ a^2)) - 1/(11(11^2+ a^2))｝ + ・・・
B=1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) - 2/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(5^2+a^2) - 2/(6^2+ a^2) + ・・・
である。
さて、⑥，⑦はAとBに関する連立方程式となっているから、これを解いて次を得る。
A=(π/3√3a^2) + (π/√3a^2)・(e^(2aπ/3)-e^(4aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑧
B=1/(a^2) - (π/a)・(e^(4aπ/3)+e^(2aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ---⑨
ここでAは次のように変形できる。
A=(1/a^2)｛1(1/1^2-1/(1^2+a^2)) - 2(1/2^2 - 1/(2^2+ a^2)) + 4(1/4^2-1/(4^2+a^2)) - 5(1/5^2 - 1/(5^2+ a^2)) + ・・｝
=(1/a^2)｛(1-1/2+1/4-1/5+・・) - (1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+a^2) - 5/(5^2+ a^2) + ・・)｝
=(1/a^2)｛π/(3√3) - (1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+a^2) - 5/(5^2+ a^2) + ・・)｝
=π/(3√3a^2) - A2
途中でLA(1)=1-1/2+1/4-1/5+・・ =π/(3√3) を用いた（L(χ,s)類数公式）。
またA2=1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+a^2) - 5/(5^2+ a^2) + ・・ とした。
上式と⑧よりA2が求まり、
｛1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) - 8/(8^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
= (π/√3)・(e^(4aπ/3)-e^(2aπ/3))/(e^(2aπ)-1) -----⑩
Bは次のように変形できる。
B=1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) - 2/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(5^2+a^2) - 2/(6^2+ a^2) + ・・・
=1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(5^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + ・・・
- ｛3/(3^2+a^2) + 3/(6^2+ a^2) + 3/(9^2+ a^2) + ・・・｝
=1/(2a^2) - (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/(e^(2aπ)-1) - 3｛1/(3^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) + ・・・｝
=1/(2a^2) - (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/(e^(2aπ)-1) - 3・B2
ここで、B2=1/(3^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) + ・・・ とした。
上式と⑨よりB2が求まり、
1/(3^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝-1/(2a^2) + π/(6a) + (π/(3a))・(1+e^(2aπ/3)+e^(4aπ/3))/(e^(2aπ)-1) ----⑪
⑩、⑪が求まった。冒頭で示した式が導出できた。 ［終わり］
｛1/(1^2+a^2) - 2/(2^2+ a^2) + 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
＋｛7/(7^2+a^2) - 8/(8^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
＝(π/√3)・(e^(4aπ/3)-e^(2aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
1/(3^2+a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) + ・・・
＝-1/(2a^2) + π/(6a) + (π/(3a))・(1+e^(2aπ/3)+e^(4aπ/3))/(e^(2aπ)-1)
上式の方は、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種である虚２次体Ｑ(√-3)ゼータ
LA(s)=(1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s) + (1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s) + ・・
の香りが漂っていることがすぐにわかる。
下式もζ(ｓ)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+・・＝3s(1/3^s+1/6^s+1/9^s+・・)からζ(ｓ)の香りが漂っている。
今回、(2π/3)＆(4π/3)代入でまた別のゼータの香りの漂う式を導くことができた。
これまで導出した式をまとめておく。
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