|
＜ 作用素の定理 ＞
(2009/2/11改)
６年前に私は次の定理を発見していました。詳しくは、e^xに関する公式の発見 その３をご覧ください。
この定理の本質は、（∫+∫^2+∫^3+・・・）という作用素が、e^x∫e^(-x)という作用素と同じであることとを主張する
ものです。
私が作った数少ない定理の一つですが、形の美しさ、有用性からたいへん気に入っている定理です。
例えば、Ｇ(x)＝x^2・ｅ＾xとすると、
（∫+∫^2+∫^3+・・・）(x^2・ｅ＾x)
＝∫(x^2・ｅ＾x)dx + ∫∫(x^2・ｅ＾x)dx dx+∫∫∫(x^2・ｅ＾x)dxdxdx + ・・
を延々と計算するのはたいへんですが、作用素e^x∫e^(-x)を用いれば簡単に答えは e^x・(x^3/3) と求まります。
ちなみに、x^2・ｅ＾xの収束半径は∞です。
この定理を使った応用は、５年前に「ゼータ惑星」の「水星」で行いました。そこではゼータの中心母関数に適用し様々な
式を導きました。
今回、フーリエシステムで見たような様々なフーリエ級数の公式にも適用にできるのではないか？と思いました。
試したところ面白い式が出せることがわかりました。
例えば、フーリエ級数の公式
(x-π)^2/4 - π^2/12 ＝cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 +・・ (0 <＝x<＝ 2π) ----①
に上記定理３を適用すると、次の式が求まりました。
π^2/6-π/2 + e^(-π)・(π^2/12-1)
＝e^(-π)・[-1/2 + ζ(2)/2 -｛1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・ ｝]
｛｝の２式を∑(n＝1～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+1)と∑(n＝1～∞) 1/(n^2+1)で表現すると、次となります。
π^2/6-π/2 + e^(-π)・(π^2/12-1)
＝e^(-π)・[-1/2 + ζ(2)/2 -｛∑(n＝1～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+1)] + [ζ(2) - 1/2 - ｛∑(n＝1～∞) 1/(n^2+1)｝]
これは定理３の左辺のＧ(x)に①の左辺を対応させ、右辺のＧ(x)に①の右辺を対応させて、定理３を適用すれば
出てきます。①の式が(0 <＝x<＝ 2π)に限定されることから、この範囲で定理３を用いることになります。
=======================
追記2009/2/8
xにπを代入する方法で上記式が得られましたが、π/2を代入すると次のような非常に面白い式が得られた。
1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・＝(π/2)・e^(π/2)/(e^π + 1)
これらの導出方法を以下に示していきます。
［計算］
フーリエ級数の公式
(x-π)^2/4 - π^2/12 ＝cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・ ----①
(0 <＝x<＝ 2π)
に定理３を適用する。
その前に一工夫加える。①の右辺のcosx/1^2を左辺に移項して次の形にする。
(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx＝cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・ -----②
①のままでなくこの形にしたのは、じつは①の状態での定理３の適用では途中で特異点的な状況が発生すること
がわかったので（（1-1+1-1+・・）のようなことが起こる）、それを避けるためである。こうしておけば安心である。
②の右辺をＧ(x)と見て、定理３の式の右辺側を計算する。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）
＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)
＝∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dx + ∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dx dx
+∫∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdxdx + ・・・
この右辺を一つづつ計算しよう。∫の積分範囲はすべて0～xである。
∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dx
＝sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + sin4x/4^3 + ・・
∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdx
＝(-cos2x/2^4 - cos3x/3^4 - cos4x/4^4 - ・・) + (ζ(4)-1)
∫∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdxdx
＝(-sin2x/2^5 - sin3x/3^5 - sin4x/4^5 - ・・) + (ζ(4)-1)x
∫∫∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdxdxdx
＝(cos2x/2^6 + cos3x/3^6 + cos4x/4^6 + ・・) + (ζ(4)-1)x^2/2！ - (ζ(6)-1)
∫∫∫∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdxdxdxdx
＝(sin2x/2^7 + sin3x/3^7 + sin4x/4^7 + ・・) + (ζ(4)-1)x^3/3！ - (ζ(6)-1)x
∫∫∫∫∫∫(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)dxdxdxdxdxdx
＝(-cos2x/2^8 - cos3x/3^8 - cos4x/4^8 - ・・) + (ζ(4)-1)x^4/4！ - (ζ(6)-1)x^2/2！+ (ζ(8)-1)
・
・
上の左辺ばかり、右辺ばかりを縦に足し算して整理すると、次のようになる。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[(ζ(4)-1) - (ζ(6)-1) + (ζ(8)-1) - (ζ(10)-1) + (ζ(12)-1) - ・・・ ] ----③
ここで例えば∫^3は∫∫∫の意味である。dx・・dx等は略した。
また
(ζ(4)-1) - (ζ(6)-1) + (ζ(8)-1) - (ζ(10)-1) + (ζ(12)-1) - ・・・
＝ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝
が簡単な計算でわかるので、③をこの右辺で置き換えて次を得る。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）(cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・)
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] ----③-2
①より③-2の左辺を書き換えて次を得る。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] -----④
この左辺に定理３を適用すると、④は次のようになる。
e^x∫e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] -----⑤
xにπを代入すると、⑤は次となる。（①は0 <＝x<＝ 2πで成り立つので、この範囲ならばなんでもOKだが、
ここではx＝πとした）
e^π∫(0～π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝｛-1/(2^2(2^2+1)) + 1/(3^2(3^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5^2(5^2+1)) - ・・・｝
+ e^π・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝]
両辺をe^πで割って次式を得る。
∫(0～π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝e^(-π)・｛-1/(2^2(2^2+1)) + 1/(3^2(3^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5^2(5^2+1)) - ・・・｝
+ [ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] ------⑥
さて、ここで左辺はきちんと計算できる形なので計算してしまうと、次のようになる。
⑥左辺＝∫(0～π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx＝π^2/6 -π/2+ e^(-π)・(π^2/12-1)
右辺もさらに簡単にできる。結論だけ書く。
⑥右辺＝e^(-π)・[-1 + ζ(2)/2 + ｛1/(2^2+1) - 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) - 1/(5^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] -----⑥-2
⑥左辺＝⑥右辺(⑥-2)とすると、次のようになる。
π^2/6 -π/2 + e^(-π)・(π^2/12-1)
＝e^(-π)・[-1 + ζ(2)/2 + ｛1/(2^2+1) - 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) - 1/(5^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝]
さらに｛ ｝内を1/(1^2+1)から始まるように形を美しく整えると、次のようになる。
π^2/6-π/2 + e^(-π)・(π^2/12-1)
＝e^(-π)・[-1/2 + ζ(2)/2 - ｛1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・ ｝] -----⑦-1
冒頭に示した式が得られた。
これは、∑(n＝2～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+1) と ∑(n＝2～∞) 1/(n^2+1)の関係性を表しているといえる。
面白いことに、e^(-π)のトンネルを通じた関係になっていることがわかる。
｛｝の２式を∑(n＝1～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+1)と∑(n＝1～∞) 1/(n^2+1)で表現すると、次となる。
π^2/6-π/2 + e^(-π)・(π^2/12-1)
＝e^(-π)・[-1/2+ζ(2)/2-｛∑(n＝1～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+1)｝] + [ζ(2)-1/2-｛∑(n＝1～∞) 1/(n^2+1)｝] --⑦-2
ここで「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.48にある公式
∑(n＝1～∞) (-1)^(n-1)/(n^2+a^2)＝1/(2a^2) - (π/(2a))cosech(aπ)
∑(n＝1～∞) 1/(n^2+a^2)＝-1/(2a^2) + (π/(2a))coth(aπ)
を用いると
1/(2^2+1) - 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) - 1/(5^2+1) + ・・・＝e^π・π/(e^(2π)-1) ----⑧
1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・＝ - 1 + (π/2)・(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) ---⑨
となるから、これらから⑦-1または⑦-2の正しさが確かめられる。
これらの公式が既に知られているので、⑦-2は新しい結果ではない。
なお、⑨は「スワン彗星 その４」でフーリエシステムからも導いた式である。
以上。
今回は⑤でｘ＝πの場合を調べた。
π以外にも様々な値を導出できるところに、この定理の広い応用がある。次はπ以外の値を代入してさらに別の場合を
調べていく。
次に、上で調べた同状況で今度はxにπ/2を代入してみる。結論を先に述べると次のような興味深い式が得られた。
1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・＝(π/2)・e^(π/2)/(e^π + 1)
今回は、この導出方法を示す。
［計算］
上のπ代入の場合と⑤式まではまったく同じなので、⑤から出発する。
e^x∫e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] -----⑤
xにπ/2を代入すると、⑤は次となる。［ ］内の形も整えた。
e^(π/2)∫(0～π/2) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝｛1/(2^2(2^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5(5^2+1))
+ 1/(6^2(6^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) - 1/(8^2(8^2+1)) + 1/(9(9^2+1))
+ 1/(10^2(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) - 1/(12^2(12^2+1)) + 1/(13(13^2+1))
+ 1/(14^2(14^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) - 1/(16^2(16^2+1)) + 1/(17(17^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｝
+ e^(π/2)・[ζ(2) - 1/2 - ｛｛1/(1^2+1) +1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝]
両辺をe^(π/2)で割って次式を得る。
∫(0～π/2) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝e^(-π/2)・｛1/(2^2(2^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5(5^2+1))
+ 1/(6^2(6^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) - 1/(8^2(8^2+1)) + 1/(9(9^2+1))
+ 1/(10^2(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) - 1/(12^2(12^2+1)) + 1/(13(13^2+1))
+ 1/(14^2(14^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) - 1/(16^2(16^2+1)) + 1/(17(17^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・｝
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) +1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] ------⑥
⑥右辺のe^(-π/2)がかかる｛｝内の級数（次のA）は確実に収束する。
A＝1/(2^2(2^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5(5^2+1))
+ 1/(6^2(6^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) - 1/(8^2(8^2+1)) + 1/(9(9^2+1))
+ 1/(10^2(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) - 1/(12^2(12^2+1)) + 1/(13(13^2+1))
+ 1/(14^2(14^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) - 1/(16^2(16^2+1)) + 1/(17(17^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
そこで、この右辺を二つ級数の足し算の形に分けることができる。すなわち、次のようにできる。
A＝｛1/(2^2(2^2+1)) - 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(6^2(6^2+1)) - 1/(8^2(8^2+1)) +・・・・・｝
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝
前の方の｛｝内はさらに変形できて、次のようにできる。
A＝[ζ(2)/8 + ｛- 1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) - ・・・｝]
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝ ----⑦
ここで青字の｛｝に着目しよう。
フーリエ級数の公式
a・e^(ax)/(e^a-1)＝1 + ∑(n＝1～∞) 2a/(a^2+(2nπ)^2)・［a・cos(2nπx) - 2nπsin(2nπx)］
（0 < x < 1）
において、a＝π、x＝1/2とすると、次が得られる。
π・e^(π/2)/(e^π-1)＝1+ 2｛- 1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) - ・・・｝
これより⑦は次のように書き換えられる。
A＝｛ζ(2)/8 + π・e^(π/2)/(2(e^π-1)) - 1/2｝
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝ ------⑧
⑧から、⑥は次のようになる。
∫(0～π/2) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝e^(-π/2)・[｛ζ(2)/8 + π・e^(π/2)/(2(e^π-1)) - 1/2｝
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝]
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) +1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] ------⑥-2
さらに、「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.48にある公式
∑(n＝1～∞) 1/(n^2+a^2)＝-1/(2a^2) + (π/(2a))coth(aπ)
より、
1/(1^2+1) +1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)・(e^2π+1)/(e^2π-1)
であるから、⑥-2は次のように書き換えられる。
∫(0～π/2) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝e^(-π/2)・[｛ζ(2)/8 + π・e^(π/2)/(e^π-1) - 1/2｝
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝]
+ [ζ(2) - (π/2)・(e^2π+1)/(e^2π-1)] ----------⑥-3
さて、ここで左辺はきちんと計算できる形なので計算してしまうと、⑥-3は次のようになる。
e^(-π/2)・(π^2/48+π/4-1) + π^2/6 -π/2
＝e^(-π/2)・[｛ζ(2)/8 + π・e^(π/2)/(e^π-1) - 1/2｝
+ ｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・｝]
+ [ζ(2) - (π/2)・(e^2π+1)/(e^2π-1)]
これから赤字の部分が求められて、次を得る。
-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・
＝π・e^(π/2)・｛1/(e^(2π)-1)-1/(2(e^π-1))｝ + π/4 - 1/2
両辺に1/1(1^2+1)を加えて、次を得る。
1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + 1/(9(9^2+1)) - ・・・・
＝π・e^(π/2)・｛1/(e^(2π)-1)-1/(2(e^π-1))｝ + π/4 ----⑦
この左辺はさらに変形できるのである。
1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) +・・・・
＝1/(1^2(1^2+1)) - 3/(3^2(3^2+1)) + 5/(5^2(5^2+1)) - 7/(7^2(7^2+1)) + ・・・・
＝1｛1/(1^2(1^2+1))｝ - 3｛1/(3^2(3^2+1))｝ + 5｛1/(5^2(5^2+1))｝ - 7｛1/(7^2(7^2+1))｝ + ・・・・
＝1｛1/1^2-1/(1^2+1)｝ - 3｛1/3^2-1/(3^2+1)｝ + 5｛1/5^2-1/(5^2+1)｝ - 7｛1/7^2-1/(7^2+1)｝ + ・・・・
＝(1/1-1/3+1/5-1/7+・・・) - ｛1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・｝
＝π/4 - ｛1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・｝
となるのである。（1/1-1/3+1/5-1/7+・・・＝π/4を用いた。）
よって、⑦より、
1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・＝(π/2)・e^(π/2)/(e^π + 1) ----⑧
と求まる。∑記号で表せば、次となる。
∑(n＝1～∞) (-1)^(n+1)・(2n-1)/｛(2n-1)^2+1｝＝(π/2)・e^(π/2)/(e^π + 1)
以上。
このように非常に意味深い式が得られた。
念のため、Excel等を用いて数値的に左辺と右辺一致も確認した。
あとで気づいたが、⑧は、フーリエ級数の公式
(4/π)cosh(aπ/2)∑(n＝1～∞) (2n-1)sin((2n-1)x)/(a^2+(2n-1)^2)＝cosh(π/2-x)
( 0 < x < π)
からも直接出るとわかった。(a＝1，ｘ＝π/2)
しかし、こんな難しい公式に頼らなくても、作用素の定理３と
(x-π)^2/4 - π^2/12 ＝cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・
(0 <＝x<＝ 2π)
という簡明な公式から⑧のような非常に深みのある式が出たことに意義がある。
今度はxに2πを代入すると、次の式が得られた。
1/(1^2+1) +1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)・(e^2π+1)/(e^2π-1)
これは、「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.48にある公式
∑(n＝1～∞) 1/(n^2+a^2)＝-1/(2a^2) + (π/(2a))coth(aπ)
でのa＝1とした場合の式である。またフーリエシステムでも導いたものである。-->「スワン彗星 その４」
作用素の定理３を用いたこの式の導出方法を示す。
［計算］
上記のπ代入の場合と途中⑤までまったく同じなので、＜π代入＞の⑤から出発する。
e^x∫e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝｛-cos2x/(2^2(2^2+1)) + sin2x/(2(2^2+1)) - cos3x/(3^2(3^2+1)) + sin3x/(3(3^2+1))
-cos4x/(4^2(4^2+1)) + sin4x/(4(4^2+1)) - cos5x/(5^2(5^2+1)) + sin5x/(5(5^2+1))
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[ζ(2) - 1 - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・｝] -----⑤
xに2πを代入すると、⑤は次となる。［ ］内の形も整えた。
e^(2π)∫(0～2π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝-｛1/(2^2(2^2+1)) + 1/(3^2(3^2+1)) + 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5^2(5^2+1)) + ・・・｝
+ e^(2π)・[ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝] ----⑥
ここで右辺の前の方の{ }内は、
1/(2^2(2^2+1)) + 1/(3^2(3^2+1)) + 1/(4^2(4^2+1)) + 1/(5^2(5^2+1)) + ・・・
＝(1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・) - ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝
＝(ζ(2)-1) - [｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝ - 1/2]
＝ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝
となるから、⑥は次のようになる。
e^(2π)∫(0～2π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝-ζ(2) + 1/2 + ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝
+ e^(2π)・[ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝]
両辺をe^(2π)で割って次式を得る。
∫(0～2π) e^(-x)｛(x-π)^2/4 - π^2/12 -cosx｝ dx
＝e^(-2π)・[-ζ(2) + 1/2 + ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝] ----⑥-2
さて、ここで左辺はきちんと計算できる形なので計算してしまうと、⑥-2は次のようになる。
-e^(-2π)・(π^2/6) + π^2/6 -(π/2)・e^(-2π) - π/2
＝e^(-2π)・[-ζ(2) + 1/2 + ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝]
+ [ζ(2) - 1/2 - ｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・｝]
これから青字の部分が求められて、次を得る。
1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)・(e^2π+1)/(e^2π-1)
以上。
この式は、フーリエシステムでも導いたものである（-->「スワン彗星 その４」）。
フーリエシステムでもこの作用素の定理３でもどちらでも初等的に導出できたことになる。
その導出過程の違いを見てみると、フーリエシステムでは、
1sinx/(1^2+1)＋2sin2x/(2^2+1)＋3sin3x/(3^2+1)＋・・＝(π/2)（sinh(π-x)/sinhπ） (0<x<2π) ----A
というフーリエ級数を導出途中で用いた。この公式を知らなければ、フーリエシステムの方法ではちょっと難しい。
ところが、作用素の定理３で用いたのは、
(x-π)^2/4 - π^2/12 ＝cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・ ----B
(0 <＝x<＝ 2π)
というフーリエ級数である。
AよりはBの方がよく目にする公式であり、簡単さからいえば、作用素の定理の方に軍配があがるといえるかもしれない。
（Aは公式集に載っていない場合があるだろう。）
===================================================
まとめ
本頁の結果をまとめておこう。
今回は、ある一つのフーリエ級数の公式を題材にとり、また条件もほんの数例を試しました。その公式に作用素
の定理３を用いると非常に有益な公式を初等的に導出できることがわかりました。
用いたフーリエ級数が、(0 <＝x<＝ 2π)の範囲で成り立つものなので、ｘに2π代入、π代入、π/2代入の場合
を見ました。
さらに、いろいろと調べていきたいと思います。
|