「その４」ではnπ/3代入の結果を示したが、ここではnπ/4代入の結果を公表したい。
フーリエ級数の公式
(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ( 0 < x < 2π)
に上の定理３（作用素の定理）を適用して、ゼータの心をもった非常に面白い式を導出した。
まず結論から示しておく。次のような４式が得られた。
1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 15/(15^2+1) + ・・・ ＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1) ----①
1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・
＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) ----②
1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・
＝1/2 - (π/4)｛e^(π/4)+e^(3π/4)+e^(5π/4)+e^(7π/4)｝/(e^(2π)-1) ----③
2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・・
＝(π/4)｛e^(3π/4)+e^(7π/4)-e^(π/4)-e^(5π/4)｝/(e^(2π)-1) ----④
ゼータの心をもった深みのある式だといえよう。とくに興味深いのは①と②である。
①左辺は、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種
L1(s)＝1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s + 1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s + ・・・
というゼータ（実２次体Q(√2)ゼータでもある）に対応するものである。 このゼータは、「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」という
ディリクレ指標χ(ａ)をもつ。
また②左辺は、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種
L2(s)＝1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s + 1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s + ・・・ というゼータ（虚２次体Q(√-2)ゼータでもある）に対応する。
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
（注意：”L1(s)”、”L2(s)”という記号は私が用いているもので一般的なものではない。）
③、④はそれぞれζ(ｓ)、L(s)の心をもっているといえるのではないか。
作用素の定理３との絡みで、ある構造が発見できたので、この種の式が無数に出てくることがわかった。
上記４式の導出過程を簡単に述べると次のようになる。
*****
上記４式をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとする。
定理３に冒頭のフーリエ級数の公式を適用した結果にπ/4、3π/4、5π/4、7π/4をそれぞれ代入すると
Ａ～Ｄの４式が絡んだ４つの連立方程式が得られる。それを解いて、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが求まる。
*****
このようなよい構造が隠れているのである。
では、まずπ/4代入を詳しくみてみよう。そして3π/4、5π/4、7π/4代入は結果だけを書き、そして４式が求まる状況を
見ることにしよう。
［計算（π/4代入）］
フーリエ級数の公式
(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ----①
( 0 < x < 2π)
に定理３を適用する。
その前に一工夫加える。①の右辺のsinx/1を左辺に移項して次の形にする。
(π-x)/2 - sinx＝sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ----②
まず②の右辺をＧ(x)と見て、定理３の式の右辺側を計算する。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）
＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)
＝∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dx + ∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dx dx
+∫∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dxdxdx + ・・・
この右辺を一つづつ計算しよう。∫の積分範囲はすべて0～xである。
∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dx
＝(-cos2x/2^2 - cos3x/3^2 - cos4x/4^2 - ・・) + (ζ(2)-1)
∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dxdx
＝(-sin2x/2^3 - sin3x/3^3 - sin4x/4^3 - ・・) + (ζ(2)-1)x
∫∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dxdxdx
＝(cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4 + ・・) + (ζ(2)-1)x^2/2！- (ζ(4)-1)
∫∫∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dxdxdxdx
＝(sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + sin4x/4^5 + ・・) + (ζ(2)-1)x^3/3！- (ζ(4)-1)x
∫∫∫∫∫(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)dxdxdxdxdx
＝(-cos2x/2^6 - cos3x/3^6 - cos4x/4^6 - ・・) + (ζ(2)-1)x^4/4！- (ζ(4)-1)x^2/2！+ (ζ(6)-1)
・
・
上の左辺ばかり、右辺ばかりを縦に足し算して整理すると次のようになる。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)
＝-｛cos2x/(2^2+1) + sin2x/(2(2^2+1)) + cos3x/(3^2+1) + sin3x/(3^2+1)
+ cos4x/(4^2+1) + sin4x/(4^2+1) + cos5x/(5^2+1) + sin5x/(5^2+1)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・[(ζ(2)-1) - (ζ(4)-1) + (ζ(6)-1) - (ζ(8)-1) + (ζ(10)-1) - ・・・ ] ----③
ここで例えば∫^3は∫∫∫の意味である。dx・・dx等は略した。
また
(ζ(2)-1) - (ζ(4)-1) + (ζ(6)-1) - (ζ(8)-1) + (ζ(10)-1) - ・・・
＝1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1)+ ・・・
が簡単な計算でわかるので、③をこの右辺で置き換えて次を得る。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）(sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・)
＝-｛cos2x/(2^2+1) + sin2x/(2(2^2+1)) + cos3x/(3^2+1) + sin3x/(3^2+1)
+ cos4x/(4^2+1) + sin4x/(4^2+1) + cos5x/(5^2+1) + sin5x/(5^2+1)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・｝
②より、左辺を書き換えると次のようになる。
(∫+∫^2+∫^3+・・・）｛(π-x)/2-sinx｝
＝-｛cos2x/(2^2+1) + sin2x/(2(2^2+1)) + cos3x/(3^2+1) + sin3x/(3^2+1)
+ cos4x/(4^2+1) + sin4x/(4^2+1) + cos5x/(5^2+1) + sin5x/(5^2+1)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・｝ -----④
(π-x)/2-sinx をＧ(x)とみて左辺に定理３を適用すると④は次のようになる。
e^x∫(0～x) e^(-x)｛(π-x)/2-sinx｝dx
＝-｛cos2x/(2^2+1) + sin2x/(2(2^2+1)) + cos3x/(3^2+1) + sin3x/(3^2+1)
+ cos4x/(4^2+1) + sin4x/(4^2+1) + cos5x/(5^2+1) + sin5x/(5^2+1)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
+ e^x・｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・｝
xにπ/4を代入して、両辺をe^(π/4)で割って次式を得る。
∫(0～π/4) e^(-x)｛(π-x)/2-sinx｝dx
＝e^(-π/4)・[｛-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・ ｝
+ ｛1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・ ｝
+ （1/√2）｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・｝
+ （1/√2）｛1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) - 1/(9^2+1) + ・・・ ｝]
+ ｛1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・｝ ----⑤
さて、ここで左辺はきちんと計算できる形なので計算してしまうと、次のようになる。
⑤左辺＝∫(0～π/4) e^(-x)｛(π-x)/2-sinx｝ dx
＝-(3π/8)・e^(-π/4) + (1/2)・e^(-π/4) + (√2/2)・e^(-π/4) + π/2 - 1
となるので、結局⑤は次となる。また2π代入より
1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・＝-1 + (π/2)・｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝
とわかっているので、結局⑤は次のようになる。
-(3π/8)・e^(-π/4) + (1/2)・e^(-π/4) + (√2/2)・e^(-π/4) + π/2 - 1
＝e^(-π/4)・[｛-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・ ｝
+ ｛1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・ ｝
+ （1/√2）｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・｝
+ （1/√2）｛1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) - 1/(9^2+1) + ・・・ ｝]
+ ｛-1 + (π/2)・｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝｝
両辺にe^(-π/4)をかけて、整理整頓すると次式を得る。
｛-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・ ｝
+ ｛1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・ ｝
+ （1/√2）｛-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・｝
+ （1/√2）｛1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) - 1/(9^2+1) + ・・・ ｝]
＝-3π/8 + 1/2 + (√2/2) - πe^(π/4)/｛e^(2π)-1｝ ----⑥
ここで⑥左辺の各｛｝の級数について、
S1＝-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・
C1＝1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・
S2＝-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1))
+ 1/(13(13^2+1)) + 1/(15(15^2+1)) - ・・・
C2＝1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) - 1/(9^2+1) + 1/(11^2+1) + 1/(13^2+1) - ・・・
とおくと、⑥は次のようになる。
S1 + C1 + S2/√2 + C2/√2＝-3π/8 + 1/2 + (√2/2) - πe^(π/4)/｛e^(2π)-1｝
このようにπ/4代入でまず一つ式が得られた。
以上。
π/4代入では、
S1＝-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・
C1＝1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・
S2＝-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1))
+ 1/(13(13^2+1)) + 1/(15(15^2+1)) - ・・・
C2＝1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) - 1/(9^2+1) + 1/(11^2+1) + 1/(13^2+1) - ・・・
として次の式が求まった。
π/4代入
S1 + C1 + S2/√2 + C2/√2＝-3π/8 + 1/2 + (√2/2) + πe^(π/4)/｛e^(2π)-1｝ ----①
では、3π/4、5π/4、7π/4の代入ではどうなるだろうか？
π/4代入と同様にして、それぞれ次の式が求まった。（導出過程は略）
3π/4代入
-S1 + C1 + S2/√2 - C2/√2＝-π/8 + 1/2 - πe^(3π/4)/｛e^(2π)-1｝ ----②
5π/4代入
S1 + C1 - S2/√2 - C2/√2＝π/8 + 1/2 - 1/√2 - πe^(5π/4)/｛e^(2π)-1｝ ----③
7π/4代入
-S1 + C1 - S2/√2 + C2/√2＝3π/8 + 1/2 - πe^(7π/4)/｛e^(2π)-1｝ ----④
①～④で未知数４つ、方程式４つだからこの連立方程式は解けて、
C1＝1/2 - (π/4)・｛e^(π/4)+e^(3π/4)+e^(5π/4)+e^(7π/4)｝/(e^(2π)-1) ----①-2
S1＝-π/8 + (π/4)・｛e^(3π/4)+e^(7π/4)-e^(π/4)-e^(5π/4)｝/(e^(2π)-1) ----②-2
C2＝1/2 + (π√2/4)・｛e^(5π/4)+e^(3π/4)-e^(7π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) ----③-2
S2＝1/2 - π√2/4 + (π√2/4)・｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1) ----④-2
さて、ここでS1とS2はさらに次のようにより本質的な形に変形できる。（途中略）
S1＝-1/(2(2^2+1)) + 1/(6(6^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・
＝｛2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・｝ - (1/2)・(1 - 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/7 - ・・・)
ここで、(1 - 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/7 - ・・・)＝π/4より、
S1＝｛2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・｝ -π/8 ----⑤
となった。
また、
S2＝-1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) - 1/(9(9^2+1)) - 1/(11(11^2+1))
+ 1/(13(13^2+1)) + 1/(15(15^2+1)) - ・・・
＝1/2 - ｛-1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 9/(9^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・｝
- (1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 + 1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15 - ・・・)
となる。ここでディリクレの類数公式より青字の値がわかり、それはπ√2/4となる。
よって、
S2＝1/2 + ｛1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - ・・・｝ - π√2/4 ----⑥
したがって、⑤、⑥と①-2～④-2の式を合わせて、容易に次の式を得る。
1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 15/(15^2+1) + ・・・ ＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)
1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・
＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)
1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・
＝1/2 - (π/4)｛e^(π/4)+e^(3π/4)+e^(5π/4)+e^(7π/4)｝/(e^(2π)-1)
2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・・
＝(π/4)｛e^(3π/4)+e^(7π/4)-e^(π/4)-e^(5π/4)｝/(e^(2π)-1)
これが冒頭に掲げた４式である。
π/4、3π/4、5π/4、7π/4代入の間には際立った美しい対称性が存在し、その対称性によって
これら貴重な級数が導出できたといえる。
念のため、Excelを用いて左辺と右辺の数値的な一致の検証も行ったがＯＫであった。
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