＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、kπ/3，kπ/4代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/3，5π/3代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、2π/3，4π/3代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/4，3π/4，5/4，7π/4代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx のまとめ＞

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2009/4/16　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、kπ/3，kπ/4代入＞

定理３ 　　Ｇ(x)は、べき級数展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて、次が成り立つ。 　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x） 　ここで∫の積分範囲はすべて0〜xである。 （注意）右辺は∫G(x)dx+∫∫G(x)dxdx+∫∫∫G(x)dxdxdx +・・を略した書き方である。∫^2は∫∫の2回積分、∫^3は∫∫∫の3回積分・・など 　　　の重回積分を表す。

　「その６」では、2π代入、π代入、kπ/2代入を見た。

ここでは「その６」と同じやり方でkπ/3代入、kπ/4代入を調べることにする。ここから本当に驚くような等式が導出され

ていく。

　導出される式は「その４」、「その５」で見たものと同じだが、「その６」で行った工夫（定理３へのフーリエ級数の適用を

左辺・右辺をそれまでと逆にして行う）で「その５」以前より計算が簡単にスマートになった。ここでもその同様の計算を行

うわけである。

例えば、次のような式は息を呑むような驚くべき式だといえるだろう。

　1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 15/(15^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　

　1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

　この式がいったいどのようにして求められるのか。

これらが、美しい構造の中から自然に湧き上がってくる様をご覧ください。

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2009/4/16　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/3，5π/3代入＞

次にπ/3と5π/3代入を調べる。まずπ/3代入から。

［計算（π/3代入）］

フーリエ級数の公式

　　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・ 　　　 　 ----�@

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)

に定理３を適用する。

　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）　　　 　 ----�A

　この定理３の�A左辺に�@右辺を、そして�A右辺に�@左辺を適用していく。

まず�A左辺に�@右辺を適用する。

e^x∫e^(-x) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

＝e^x∫e^(-x) sinx/1dx + e^x∫e^(-x) sin2x/2 dx + e^x∫e^(-x) sin3x/3dx + e^x∫e^(-x) sin4x/4dx + ・・　　 　 ----�B

さて、 e^x∫e^(-x) sin(nx/n) dx　を計算しよう。部分積分を行った結果のxにπ/3を代入すると簡単に

　 e^(π/3)∫(0〜π/3) e^(-x) sin(nx/n) dx＝e^(π/3)/(n^2+1) - sin(nπ/3)/(n(n^2+1)) - cos(nπ/3)/(n^2+1)

が出る。これより�Bは、

　e^(π/3)∫(0〜π/3) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

　　　＝e^(π/3)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝

　　　　　-(√3/2)｛1/(1(1^2+1)) + 1/(2(2^2+1)) - 1/(4(4^2+1)) - 1/(5(5^2+1))

　　　　　　　　　　　　　　+ 1/(7(7^2+1)) + 1/(8(8^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・｝

　　　　　　　　- (1/2)[｛1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + ・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　-3｛1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・｝]　　 　 　 ----�C

となる。

　次に�A右辺に�@左辺を適用しよう。2π代入の結果を利用して、

（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2

＝∫(π-x)/2 dx + ∫∫(π-x)/2 dxdx + ∫∫∫(π-x)/2 dxdxdx + ・・・

＝(πe^x-e^x-π+1+x)/2

となる。この式のxにπ/3を代入して（左辺は重回積分をした最後の結果のxにπ/3を代入）、

　（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2 dx＝｛πe^(π/3)-e^(π/3) - 2π/3 + 1｝/2　　　　　　 　 ----�D

となる。

定理３より、�C＝�Dであるから、

e^(π/3)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝

　　- (√3/2)｛1/(1(1^2+1)) + 1/(2(2^2+1)) - 1/(4(4^2+1)) - 1/(5(5^2+1))

　　　　　　　　+ 1/(7(7^2+1)) + 1/(8(8^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・｝

　　- (1/2)[｛1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + ・・・｝

　　　　-3｛1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・｝]＝｛πe^(π/3)-e^(π/3) - 2π/3 + 1｝/2　----�E

　ここで、

　1/(1(1^2+1)) + 1/(2(2^2+1)) - 1/(4(4^2+1)) - 1/(5(5^2+1))

　　　　　　　　+ 1/(7(7^2+1)) + 1/(8(8^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・＝A

　1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・＝B

とおき、これとさらに2π代入の結果、

1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・＝-1/2 + (π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝

とπ代入の結果

1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + ・・・＝1/2 - π・e^π/(e^(2π)-1)

を�Eに代入して整理すると、次式を得る。

　-√3A + 3B＝-2π/3 + 3/2 - π(e^π+2e^(π/3)))/(e^(2π) -1)　　　----�F

［計算（5π/3代入）］

同様にして、5π/3代入では次式が得られる。

　　√3A + 3B＝2π/3 + 3/2 - π(e^π+2e^(5π/3)))/(e^(2π) -1)　----�G

［連立方程式］

　�F、�GはA，Bに関する連立方程式となっているので、これを解いて

　A＝2π/(3√3) - (π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π) -1)

　B＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)

すなわち、

　1/(1(1^2+1)) + 1/(2(2^2+1)) - 1/(4(4^2+1)) - 1/(5(5^2+1))

　　　　　　　　+ 1/(7(7^2+1)) + 1/(8(8^2+1)) - 1/(10(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝2π/(3√3) - (π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π) -1)　----�H

　1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)　　　----�I

が求まった。

「その４」の＜究極の姿を求めて＞でも行ったとおり、�Hはさらに本質的な形に変形できるのである。

まず次のように簡単に変形できる。

1/(1(1^2+1)) + 1/(2(2^2+1)) - 1/(4(4^2+1)) - 1/(5(5^2+1)) + 1/(7(7^2+1)) + 1/(8(8^2+1))

　　　　　　　　　- 1/(10(10^2+1)) - 1/(11(11^2+1)) + 1/(13(13^2+1)) + 1/(14(14^2+1)) - ・・・

＝｛1 + 1/2 - 1/4 - 1/5 + 1/7 + 1/8 -1/10 - 1/11 + 1/13 + 1/14 - ・・・・｝

　　　　- ｛1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) - ・・・｝　　 　 ----�J

　前の方の｛｝の級数はじつはディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種で、虚２次体Q(√-3)のゼータ関数

LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + ・・・

の特殊値LA(1)の２倍の値になるのである！その理由を次に示す。

1 + 1/2 - 1/4 - 1/5 + 1/7 + 1/8 - 1/10 - 1/11 + 1/13 + 1/14 - ・・・・

＝｛1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + 1/10 - 1/11 + 1/13 - 1/14 + ・・・｝

　　　　+ ｛2/2 - 2/4 + 2/8 - 2/10 + 2/14 - 2/16 + ・・・｝

＝LA(1) + ｛1 - 1/2 + 1/4 - 1/5 + 1/7 - 1/8 + ・・・｝

＝LA(1) + LA(1)

＝2LA(1)

と、このように変形ができるのである！

　LA(1)＝π/(3√3)とディリクレの類数公式よりわかるから、

　　1 + 1/2 - 1/4 - 1/5 + 1/7 + 1/8 - 1/10 - 1/11 + 1/13 + 1/14 - ・・・・＝2π/(3√3)　　　-------�K

となる。

　よって�H、�J、�Kより、

1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1)

　　　　　　　　+ 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) - 10/(10^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1)　

という式が求まった。

[π/3代入<->5π/3代入]対称性より導いたわけだが、右辺分子にπ/3、5π/3が見えている。面白い。

作用素の定理３から導出(π/3、5π/3代入) 　1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) - 10/(10^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)　 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝0〜∞)　(-1)^(n+2)・｛(3n+1)/((3n+1)^2+1) + (3n+2)/((3n+2)^2+1)｝＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((3n)^2+1)＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)

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2009/4/18　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、2π/3，4π/3代入＞

　2π/3と4π/3代入も、上の<π/3代入、5π/3>とまったく同様にできる。結論だけ書いておく。

　1/(1^2+1) - 2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・

　1/(3^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) + 1/(12^2+1) + 1/(15^2+1) + 1/(18^2+1) + ・・・

　これも素晴らしい式といえる。

作用素の定理３から導出(2π/3、4π/3代入) 　1/(1^2+1) - 2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ (π/√3)｛e^(4π/3)-e^(2π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(3^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) + 1/(12^2+1) + 1/(15^2+1) + 1/(18^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ -1/2 + π/6 + (π/3)(1+e^(2π/3)+e^(4π/3))/(e^(2π)-1)　 　�萩L号で表すと次のようになる。 　��(n＝0〜∞)　｛(3n+1)/((3n+1)^2+1) - (3n+2)/((3n+2)^2+1)｝＝ (π/√3)｛e^(4π/3)-e^(2π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝1〜∞)　1/((3n)^2+1) ＝ -1/2 + π/6 + (π/3)(1+e^(2π/3)+e^(4π/3))/(e^(2π)-1)

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2009/4/18 ＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/4，3π/4，5π/4，7π/4代入＞

　kπ/4代入もやり方は全く同じなので大幅に省略するが、ここでもうまく連立方程式がたつのである。

今度はπ/4，3π/4，5π/4，7π/4代入の４つに関しての連立方程式となり、

α1＝1/(1(1^2+1)) + 1/(3(3^2+1)) - 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1))

　　　　　　　　　　+ 1/(9(9^2+1)) + 1/(11(11^2+1)) - 1/(13(13^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) +　・・・

α2＝1/(2(2^2+1)) - 1/(6(6^2+1)) + 1/(10(10^2+1)) - 1/(14(14^2+1)) +　・・・　

β1＝1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 1/(15^2+1) + ・・・　

β2＝1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) +　・・・　

という級数α1，α2，β1，β2について次の連立方程式が成り立つ。

π/4代入

　-α1/√2 - α2 - β1/√2 + β2＝-3π/8 + 1/2 - πe^(π/4)/｛e^(2π)-1｝

3π/4代入

　-α1/√2 + α2 + β1/√2 + β2＝-π/8 + 1/2 - πe^(3π/4)/｛e^(2π)-1｝

5π/4代入

　α1/√2 - α2 + β1/√2 + β2＝π/8 + 1/2 - πe^(5π/4)/｛e^(2π)-1｝

7π/4代入

　α1/√2 + α2 - β1/√2 + β2＝3π/8 + 1/2 - πe^(7π/4)/｛e^(2π)-1｝

　未知数４つに対して４つの式があるからこれは解け、次の結果となる。

α1＝π√2/4 - (π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　

α2＝π/8 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　

β1＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　

β2＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

すなわち、

α1＝1/(1(1^2+1)) + 1/(3(3^2+1)) - 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1))

　　　　　　　　　+ 1/(9(9^2+1)) + 1/(11(11^2+1)) - 1/(13(13^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) +　・・・

　　　　　　　　　　　　　＝π√2/4 - (π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　 ----�@

α2＝1/(2(2^2+1)) - 1/(6(6^2+1)) + 1/(10(10^2+1)) - 1/(14(14^2+1)) +　・・・

　　　　　　　　　　　　　　＝π/8 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　　　　 　----�A

β1＝1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 1/(15^2+1) + ・・・　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)

β2＝1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) +　・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

　「その５」でも示したが、α2とα1はさらに次のようにより本質的な形に変形できる。

α2＝1/(2(2^2+1)) - 1/(6(6^2+1)) + 1/(10(10^2+1)) - 1/(14(14^2+1)) +　・・・　

＝-｛2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) +　・・｝ +　(1/2)・(1 - 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/7 - ・・・)

ここで、1 - 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/7 - ・・・＝π/4 より、

α2＝-｛2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) +　・・｝ + π/8　　 　 　　　　　------�B

となる。

また、

α1＝1/(1(1^2+1)) + 1/(3(3^2+1)) - 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1))

　　　　　　　　　　　　　+ 1/(9(9^2+1)) + 1/(11(11^2+1)) - 1/(13(13^2+1)) - 1/(15(15^2+1)) +　・・・

＝｛-1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 9/(9^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (1 + 1/3 - 1/5 - 1/7 + 1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15 - ・・・)

となる。ここでディリクレの類数公式より青字の値がわかり、それはπ√2/4となる。

よって、

α1＝-｛1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - ・・・｝ + π√2/4　　 　----�C

したがって、�Cと�@、�Bと�Aから容易に次の式を得る。

1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　

　上側が冒頭に掲げた式の一つである。

　kπ/4代入の間には際立った美しい対称性が存在し、その対称性によってこれら貴重な級数が

導出できたといえる。（kπ/3代入、kπ/2代入も同様）

作用素の定理３から導出した式（π/4、3π/4、5π/4、7π/4代入） 　1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 1/(15^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) 　1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　�萩L号で表すとそれぞれ次のようになる。 　��(n＝0〜∞)　｛1/((8n+1)^2+1) - 1/((8n+3)^2+1) - 1/((8n+5)^2+1) + 1/((8n+7)^2+1)｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝0〜∞)　｛(8n+1)/((8n+1)^2+1) + (8n+3)/((8n+3)^2+1) - (8n+5)/((8n+5)^2+1) - (8n+7)/((8n+7)^2+1)｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((4n)^2+1)＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝0〜∞)　(-1)^(n+2)・(4n+2)/((4n+2)^2+2)＝(π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

念のため、Excelを用いて左辺と右辺の数値的な一致の検証も行ったがＯＫであった。

　これらの興味深い式が

　　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　　　　( 0 < x < 2π)

という単純な式と定理３から次々に導き出されることを改めて思い出そう。

　これらは地下鉱脈に潜む巨大な対称性の存在を示しているといえるだろう。

定理３ 　　Ｇ(x)は、べき級数展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて、次が成り立つ。 　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x） 　ここで∫の積分範囲はすべて0〜xである。 （注意）右辺は∫G(x)dx+∫∫G(x)dxdx+∫∫∫G(x)dxdxdx +・・を略した書き方である。∫^2は∫∫の2回積分、∫^3は∫∫∫の3回積分・・など 　　　の重回積分を表す。

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2009/4/18　　　　　　 ＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx のまとめ＞

　フーリエ級数の公式

　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　　　　( 0 < x < 2π)

に定理３を適用したこれまでの結果をすべてまとめておく。

作用素の定理３から導出（2π代入） 　1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) 　または�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　1/(n^2+1)＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)

作用素の定理３から導出(π代入) 　1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) 　1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・＝-/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　1/((2n-1)^2+1)＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) 　��(n＝1〜∞)　1/((2n)^2+1)＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1)

作用素の定理３から導出（π/2，3π/2代入） 　1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) 　1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1) 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)・(2n-1)/((2n-1)^2+1)＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((2n)^2+1)＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)

作用素の定理３から導出(π/3、5π/3代入) 　1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) - 10/(10^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(3^2+1) - 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(12^2+1) + ・・・＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)　 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝0〜∞)　(-1)^(n+2)・｛(3n+1)/((3n+1)^2+1) + (3n+2)/((3n+2)^2+1)｝＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((3n)^2+1)＝1/2 - (π/3)｛e^π+e^(π/3)+e^(5π/3)｝/(e^(2π) -1)

作用素の定理３から導出(2π/3、4π/3代入) 　1/(1^2+1) - 2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ (π/√3)｛e^(4π/3)-e^(2π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(3^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(9^2+1) + 1/(12^2+1) + 1/(15^2+1) + 1/(18^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ -1/2 + π/6 + (π/3)(1+e^(2π/3)+e^(4π/3))/(e^(2π)-1)　 　�萩L号で表すと次のようになる。 　��(n＝0〜∞)　｛(3n+1)/((3n+1)^2+1) - (3n+2)/((3n+2)^2+1)｝＝ (π/√3)｛e^(4π/3)-e^(2π/3)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝1〜∞)　1/((3n)^2+1) ＝ -1/2 + π/6 + (π/3)(1+e^(2π/3)+e^(4π/3))/(e^(2π)-1)

作用素の定理３から導出した式（π/4、3π/4、5π/4、7π/4代入） 　1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 1/(15^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) 　1/(4^2+1) - 1/(8^2+1) + 1/(12^2+1) - 1/(16^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　2/(2^2+1) - 6/(6^2+1) + 10/(10^2+1) - 14/(14^2+1) + ・・・ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　�萩L号で表すとそれぞれ次のようになる。 　��(n＝0〜∞)　｛1/((8n+1)^2+1) - 1/((8n+3)^2+1) - 1/((8n+5)^2+1) + 1/((8n+7)^2+1)｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝0〜∞)　｛(8n+1)/((8n+1)^2+1) + (8n+3)/((8n+3)^2+1) - (8n+5)/((8n+5)^2+1) - (8n+7)/((8n+7)^2+1)｝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((4n)^2+1)＝1/2 - (π/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)+e^(3π/4)+e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)　 　��(n＝0〜∞)　(-1)^(n+2)・(4n+2)/((4n+2)^2+2)＝(π/4)｛e^(7π/4)+e^(3π/4)-e^(5π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

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その３

その１

ゼータ系の彗星群

数学の研究