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テイラーシステムCos[ 2π/3代入, πテイラー]でζ(1/4)を導出した。Cos[ π/2代入, πテイラー]でもζ(1/4)を導出。
３条件で導出したζ(1/4)をまとめた。リーマン予想との関連で0<s<1のζ(ｓ)の興味深い挙動を述べた。
「マックノート彗星」で主体的に見ているテイラーシステムの条件Cos[ 2π/3代入, πテイラー]でζ(1/4)を導出する。
以下では ^(1/4) を ^0.25 などと表している場合もある。
［ζ(1/4)の導出］Cos[ s=1/4, 2π/3代入, πテイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^0.25 + (cos2x)/2^0.25 + (cos3x)/3^0.25 + (cos4x)/4^0.25 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
①で xに2π/3を代入すると
f(2π/3)
=-1/2・（1/1^0.25 + 1/2^0.25 - 2/3^0.25 + 1/4^0.25 + 1/5^0.25 - 2/6^0.25 + 1/7^0.25 + 1/8^0.25 - 2/9^0.25 + ・・・ ）
=-1/2・｛（1/1^0.25 + 1/2^0.25 + 1/3^0.25 + 1/4^0.25 + 1/5^0.25 + 1/6^0.25 + 1/7^0.25 + ・・・ ）
- (3/3^0.25 + 3/6^0.25 + 3/9^0.25 + 3/12^0.25 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(1/4) - 3/3^0.25(1/1^0.25 + 1/2^0.25 + 1/3^0.25 + 1/4^0.25 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(1/4) - 3^0.75・ζ(1/4)｝
=-1/2・(1 - 3^(3/4))・ζ(1/4) ------②
となりζ（1/4）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝-（1-2^(3/4)）・ζ(1/4) + （1-2^(11/4)）・ζ(-7/4)・(x-π)^2 /2！- （1-2^(19/4)）・ζ(-15/4)・(x-π)^4 /4！
+ （1-2^(27/4)）・ζ(-23/4)・(x-π)^6 /6！ - (1-2^(35/4))・ζ(-31/4)・(x-π)^8 /8！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
こちらにもζ(1/4)が出た。ここでζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
やガンマ関数Γ(s)の
Γ(s)＝(s-1)Γ(s-1) （s > 1）
を利用して変形し、さらにｘに2π/3を代入して整理整頓すると次のようになる。
f(2π/3)＝-（1-2^(3/4)）・ζ(1/4)
+ 2M・Γ(7/4)・π^(-3/4)・[（1-2^(-11/4)）・（7/4^1）ζ(11/4) /(3^2・2！)
+ （1-2^(-19/4)）・（15・11・7/4^3）ζ(19/4) /(3^4・4！)
+ （1-2^(-27/4)）・（23・19・15・11・7/4^5）ζ(27/4) /(3^6・6！)
+ （1-2^(-35/4)）・（31・27・23・19・15・11・7/4^5）ζ(35/4) /(3^8・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----④
ここで、M＝cos(3π/8)＝(√(2-√2))/2である。Γ(7/4)はガンマ関数Γ(s)の値である。
②と④は等しいのでζ(1/4)を左辺にまとめて整理すると次のようになる。
｛1/2-2^(3/4) + 1/(2・3^(3/4))｝・ζ(1/4)
＝2M・Γ(7/4)・π^(-3/4)・[（1-2^(-11/4)）・（7/4^1）ζ(11/4) /(3^2・2！)
+ （1-2^(-19/4)）・（15・11・7/4^3）ζ(19/4) /(3^4・4！)
+ （1-2^(-27/4)）・（23・19・15・11・7/4^5）ζ(27/4) /(3^6・6！)
+ （1-2^(-35/4)）・（31・27・23・19・15・11・7/4^5）ζ(35/4) /(3^8・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
これまでのものと違ったζ(1/4)の表式が得られた。
「エンケ彗星 その２」の＜ζ(1/4)を求める＞と比較されたい。収束は今回のほうがずっと速い。
ζ(1/4)は通常の意味では発散するが、解析接続された（繰り込まれた）意味をもつ。
⑤を眺めると、M > 0、Γ(7/4) > 0 であり右辺は正の値をとる。左辺の｛｝が負の値であるから、ζ(1/4)は負の値である
ことがわかる。
［終わり］
まとめておく。
「百武彗星」ではCos[ π/2代入, πテイラー]を主体に調べたが、そこではζ(1/4)を出していなかった。
上で出したついでに、Cos[ π/2代入, πテイラー]の条件でもζ(1/4)を導出しておこう。
一つ上の結果と比較する意味もある。
条件Cos[ s=1/4, π/2代入, πテイラー]でζ(1/4)を導出する。
［ζ(1/4)の導出］Cos[ s=1/4, π/2代入, πテイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^0.25 + (cos2x)/2^0.25 + (cos3x)/3^0.25 + (cos4x)/4^0.25 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
①で xにπ/2を代入すると
f(π/2)
=-1/2^0.25 + 1/4^0.25 - 1/6^0.25 + 1/7^0.25 + 1/8^0.25 - ・・・
=-1/2^0.25・（1/1^0.25 - 1/2^0.25 + 1/3^0.25 - 1/4^0.25 + ・・・)
=-1/2^(1/4)・(1-2^(3/4))・ζ(1/4) ------②
となりζ（1/4）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝-（1-2^(3/4)）・ζ(1/4) + （1-2^(11/4)）・ζ(-7/4)・(x-π)^2 /2！- （1-2^(19/4)）・ζ(-15/4)・(x-π)^4 /4！
+ （1-2^(27/4)）・ζ(-23/4)・(x-π)^6 /6！ - (1-2^(35/4))・ζ(-31/4)・(x-π)^8 /8！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
こちらにもζ(1/4)が出た。ここでζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
やガンマ関数Γ(s)の公式
Γ(s)＝(s-1)Γ(s-1) （s > 1）
を利用して変形し、さらにｘにπ/2を代入して整理整頓すると③は次のようになる。
f(π/2)＝-（1-2^(3/4)）・ζ(1/4)
+ M・Γ(7/4)・π^(-3/4)・[（1-2^(-11/4)）・（7/4^1）ζ(11/4) /(2^1・2！)
+ （1-2^(-19/4)）・（15・11・7/4^3）ζ(19/4) /(2^3・4！)
+ （1-2^(-27/4)）・（23・19・15・11・7/4^5）ζ(27/4) /(2^5・6！)
+ （1-2^(-35/4)）・（31・27・23・19・15・11・7/4^7）ζ(35/4) /(2^7・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----④
ここで、M＝cos(3π/8)＝(√(2-√2))/2である。Γ(7/4)はガンマ関数Γ(s)の値である。
②と④は等しいのでζ(1/4)を左辺にまとめて整理すると次となる。
(1-2^(3/4))・（1-2^(-1/4)）・ζ(1/4)
＝ M・Γ(7/4)・π^(-3/4)・[（1-2^(-11/4)）・（7/4^1）ζ(11/4) /(2^1・2！)
+ （1-2^(-19/4)）・（15・11・7/4^3）ζ(19/4) /(2^3・4！)
+ （1-2^(-27/4)）・（23・19・15・11・7/4^5）ζ(27/4) /(2^5・6！)
+ （1-2^(-35/4)）・（31・27・23・19・15・11・7/4^7）ζ(35/4) /(2^7・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ] -----⑤
またこれまでのものと違ったζ(1/4)の表式が得られた。
「エンケ彗星 その２」の＜ζ(1/4)を求める＞と比較すると、収束は今回のほうがずっと速い。
しかし、一つ上で求めたζ(1/4)より⑤はすこし収束が遅い。
［終わり］
まとめておく。
テイラーシステムの三つの条件で導出したζ(1/4)をここでまとめておきたい。
ここでは、リーマン予想にも若干関係することを述べる。
ζ(ｓ)のｓは複素数として考えるのが一般的だが、本サイトではsを実数とした場合を多く扱っている。
0<s<1でのζ(ｓ)やディリクレのＬ関数L(χ,s)の様々な値を計算して思うことがある。それは、とにか0 < s < 1での
ゼータの挙動が面白く、興味深いということである。
「ヘール・ボップ彗星 その１」で、私はζ(1/2)を次のように交代級数M(1/2)と関連づけて考えた。
その部分を抜粋しよう。
***********************************************************************
このζ(1/2)は、
ζ(1/2)＝1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ・・・
であり、常識的には発散していますが（”1+1/2+1/3・・”が発散するので当然）、しかし、解析接続で意味づけがなされ
ると考えられ、⑤の値に収束する。解析接続とは複素関数論での関数の定義域を次々に広げる強力な概念ですが、
この場合、もっとわかりやすく説明することができます。
いま
M(1/2)＝1 - 1/√2 + 1/√3 - 1/√4 + 1/√5 - 1/√6 +・・・ ------⑥
という交代級数を考えます。これは、各項が徐々に小さくなっているので収束します。グラフの上で幾何学的に考え
れば、ある値に収束することはすぐにわかる。
さて、ここでゼータで頻繁にあらわれる”ある変形”を用いて、⑥を次のように変形します。
M(1/2)
＝1 - 1/√2 + 1/√3 - 1/√4 + 1/√5 - 1/√6 +・・・
＝1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + 1/√5 + 1/√6 +・・・ - 2( 1/√2 + 1/√4 + 1/√6 +・・・)
＝1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + 1/√5 + 1/√6 +・・・ - (2/√2)・( 1+ 1/√2 + 1/√3 +・・・)
＝ζ(1/2) - √2・ζ(1/2)
＝（1 - √2)・ζ(1/2)
つまり、
M(1/2)＝（1 - √2)・ζ(1/2) ------⑦
となります。
この式より、ζ(1/2)はM(1/2)/（1 - √2) として計算されるというわけです。
⑤にはこのような意味合いが隠されているのです。
******************************************************************************
このように記述した。
ζ(1/2)＝1 + 1/√2 + 1/√3 + ・・は常識的には発散しているが、それが、収束する交代級数M(1/2)で意味づけされ
るという話である。これはζ(1/2)の解析接続を、またある別の側面から説明していると考えることができる。
そして、ζ(1/2)は、
ζ(1/2)=-1.46035450880・・・
となるのであった。（math worldにも載っている）
この考えはζ(1/4)にも同様に適用でき、
ζ(1/4)＝1 + 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) + 1/4^(1/4) + 1/5^(1/4) + 1/6^(1/4) +・・・
の交代級数
N(1/4)＝1 - 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) - 1/4^(1/4) + 1/5^(1/4) - 1/6^(1/4) +・・・
を考える。
これを
N(1/4)
＝1 - 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) - 1/4^(1/4) + 1/5^(1/4) - 1/6^(1/4) +・・・
＝1 + 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) + 1/4^(1/4) + 1/5^(1/4) + 1/6^(1/4) +・・・
- ｛2/2^(1/4) + 2/4^(1/4) + 2/6^(1/4) +・・・｝
＝1 + 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) + 1/4^(1/4) + 1/5^(1/4) + 1/6^(1/4) +・・・
- 2/2^(1/4)・｛1 + 1/2^(1/4) + 1/3^(1/4) +・・・｝
＝ζ(1/4) - 2/2^(1/4)・ζ(1/4)
＝(1- 2^(3/4))・ζ(1/4)
と変形して、結局、
(1- 2^(3/4))・ζ(1/4)＝N(1/4)
とできる。ここでも現実に収束するN(1/4)によって、発散級数ζ(1/4)に、ある値が与えられるということになる。
そして、この話は、ζ(3/4)やζ(2/5)などでも全く同じであって、結局、発散する級数は、現実に収束する級数（交代級数）
でもって、値が与えられることになるのである。
簡単に書けば、
［発散する級数］＝A・［現実に収束する級数］ ----⑧
となっている。
そして、こんな興味深いことになっているのは、0 < s < 1という範囲だけでなのである！
これは
［霊界］＝A・［現実界］
という図式のようにも感じられる。
これらを考えると、つくづく 0 < s < 1 の不思議さをおもわずにおられない。
この領域は、ｓを複素数とするとリーマン予想で本質的に重要な範囲critical stripと呼ばれる領域0 <Re(s) <1に
対応しており、よって、その意味からもこの⑧が意味するところは重大であり、深い何かがこもっているのである。
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