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＜ まとめる ＞
「ゼータ関数のいくつかの点について その２」の結果を拡張した。
「ゼータ関数のいくつかの点について その２」ではいくつものゼータ関数を生み出す不思議な母関数を
見出していた。
それらを拡張する形でさらに面白い結果を得ることができたので報告したい。
まず＜偶数ゼータを係数にもつ級数と、奇数ゼータを係数にもつ級数＞の中から次をとり上げる。
1/(1-x) ＋ 1/(2-x) ＋ 1/(3-x)＋・・・
＝ζ(1) + ζ(2)x + ζ(3)x^2 + ζ(4)x^3 + ζ(5)x^4 +・・・ -------① （-1<x<1で成立）
不思議な式ではないか！この式は正しい式なのだが、右辺にζ(1)という極（特異点）が現れているのがすこし残念
な点である。ζ(1)＝∞なので、結局①を現実的に扱うことができないからである。私は、①を眺めているうちに左辺を
交代級数にすれば現実的な式が出ることに気づいた。
つまり、
ｆ(x)＝1/(1-x) - 1/(2-x) ＋ 1/(3-x) - 1/(4-x) + ・・・
を考えるのである。
右辺の各項を0周りテイラー展開して、それらをxの同次項同士足し合わせていけば次となる。
1/(1-x) - 1/(2-x) ＋ 1/(3-x) - 1/(4-x) + ・・・
＝log2 + (1-1/2)ζ(2)x + (1-1/2^2)ζ(3)x^2 + (1-1/2^3)ζ(4)x^3 + (1-1/2^4)ζ(5)x^4 +・・・ -----②
（-1 < x < 1）
美しい式が出た。これは現実的に正しい式となっている。logは自然対数。
左辺はすべての正の整数点でのζ(n)値を生み出す母関数となっている。これまで指摘してきたように
log2＝(1-1/2^0)ζ(1)という神秘の関係がありlog2はζ(1)と兄弟であるから上式はきわめて本質的である。
log2を(1-1/2^0)ζ(1)でおきかえればその不思議さにうたれるであろう。
左辺を１回微分した結果にx＝0を代入すればζ(2)が出る。２回微分した結果にx＝0を代入すればζ(3)が出る・・・という
ことを示している。もちろん、②でそのままx＝0を代入すればlog2が出る。簡単なので読者自身確認していただきたい。
「出る」とはいっても左辺から出現するのは、ζ(ｓ)の定義そのままζ(ｓ)＝1/1^s+1/2^s+・・なのであるが、それでも
やはり②は面白い式といえる。
まとめておこう。
さらに「ゼータ関数のいくつかの点について その２」での結果から上と同様に拡張していく。
＜類似の美しい形＞から次を取り上げる。
1/(1-x) + 2/(2-x) + 3/(3-x) + 4/(4-x) +・・・
＝ζ(0) + ζ(1)x + ζ(2)x^2 + ζ(3)x^3 + ζ(4)x^4 +・・・ -----①
（-1 < x < 1で成立）
きれいな形である。美しさを際立たせるために、もちろん次のように表現してもよい。
1/(1-x) + 2/(2-x) + 3/(3-x) + 4/(4-x) +・・・
＝ζ(0)x^0+ ζ(1)x^1 + ζ(2)x^2 + ζ(3)x^3 + ζ(4)x^4 +・・・
（-1 < x < 1で成立）
さて①の右辺にζ(ｓ)の極（特異点）が現れているのがすこし残念であるが、一つ上でやったのと同様に左辺を
交代級数にすることにより特異点の発生をうまく抑えることができる。
つまり、
ｆ(x)＝1/(1-x) - 2/(2-x) ＋ 3/(3-x) - 4/(4-x) + ・・・
を考えるのである。右辺の各項を0周りテイラー展開して、xの同次項同士足し合わせていけば次となる。
1/(1-x) - 2/(2-x) ＋ 3/(3-x) - 4/(4-x) +・・・
＝(1-2)ζ(0) + log2･x + (1-1/2)ζ(2)x^2 + (1-1/2^2)ζ(3)x^3 + (1-1/2^3)ζ(4)x^4 +・・・
（-1 < x < 1で成立）
一つ上と同様に、交代級数を考えたことにより現実的なlog2を出すことができた。
ζ(0)が見えることから、この式はもちろん解析接続された意味合いで成り立っていることはいうまでもない。
ゼータ研究では、交代級数を考えることが重要な観点の一つとなる。
まとめておこう。
さらに同様に「ゼータ関数のいくつかの点について その２」での結果を拡張する。
＜類似の美しい形＞から次を取り上げる。
1^(-1)/(1-x) ＋ 2^(-1)/(2-x) ＋ 3^(-1)/(3-x)＋ 4^(-1)/(4-x)＋・・・
＝ζ(2) + ζ(3)x + ζ(4)x^2 + ζ(5)x^3 +・・・
1^(-2)/(1-x) ＋ 2^(-2)/(2-x) ＋ 3^(-2)/(3-x)＋ 4^(-2)/(4-x)＋・・・
＝ζ(3) + ζ(4)x + ζ(5)x^2 + ζ(6)x^3 +・・・
1^(-3)/(1-x) ＋ 2^(-3)/(2-x) ＋ 3^(-3)/(3-x)＋ 4^(-3)/(4-x)＋・・・
＝ζ(4) + ζ(5)x + ζ(6)x^2 + ζ(7)x^3 +・・・
・
・
（-1<x<1で成立）
これらの左辺の交代級数版を考えるのである。この頁の上方と同様に計算して、
1^(-1)/(1-x) - 2^(-1)/(2-x) + 3^(-1)/(3-x) - 4^(-1)/(4-x) +・・・
＝(1-1/2^1)ζ(2) + (1-1/2^2)ζ(3)x^1 + (1-1/2^3)ζ(4)x^2 +・・・
1^(-2)/(1-x) - 2^(-2)/(2-x) + 3^(-2)/(3-x) - 4^(-2)/(4-x) +・・・
＝(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^3)ζ(4)x^1 + (1-1/2^4)ζ(5)x^2 +・・・
1^(-3)/(1-x) - 2^(-3)/(2-x) + 3^(-3)/(3-x) - 4^(-3)/(4-x) +・・・
＝(1-1/2^3)ζ(4) + (1-1/2^4)ζ(5)x^1 + (1-1/2^5)ζ(6)x^2 +・・・
・
・
（-1<x<1で成立）
このように美しい規則性でもって、どんどんと織り上げられていくのである。
本頁上方の結果とあわせて、まとめておこう。
同様に「ゼータ関数のいくつかの点について その２」での結果を拡張していく。
＜類似の美しい形＞から、一つ上とは逆方向の次を取り上げる。
1^2/(1-x) ＋ 2^2/(2-x) ＋ 3^2/(3-x)＋ 4^2/(4-x)＋・・・
＝ζ(-1) + ζ(0)x + ζ(1)x^2 + ζ(2)x^3 + ζ(3)x^4 + ・・・
1^3/(1-x) ＋ 2^3/(2-x) ＋ 3^3/(3-x)＋ 4^3/(4-x)＋・・・
＝ζ(-2) + ζ(-1) x + ζ(0)x^2 + ζ(1)x^3 + ζ(2)x^4 + ・・・
・
・
（-1<x<1で成立）
これも上方と全く同様に左辺の交代級数版を考えると、右辺にζ(1)という特異点が現れない形にできる。
これまでと同様に計算して次を得る。
1^2/(1-x) - 2^2/(2-x) + 3^2/(3-x) - 4^2/(4-x) + ・・・
＝(1-2^2)ζ(-1) + (1-2^1)ζ(0)x + log2・x^2
+ (1-1/2^1)ζ(2)x^3 + (1-1/2^2)ζ(3)x^4 + ・・・
1^3/(1-x) - 2^3/(2-x) + 3^3/(3-x) - 4^3/(4-x) + ・・・
＝(1-2^3)ζ(-2) + (1-2^2)ζ(-1)x + (1-2^1)ζ(0)x^2 + log2・x^3
+ (1-1/2^1)ζ(2)x^4 + (1-1/2^2)ζ(3)x^5 + ・・・
1^4/(1-x) - 2^4/(2-x) + 3^4/(3-x) - 4^4/(4-x) +・・・
＝(1-2^4)ζ(-3) + (1-2^3)ζ(-2)x + (1-2^2)ζ(-1)x^2 + (1-2^1)ζ(0)x^3
+ log2・x^4 + (1-1/2^1)ζ(2)x^5 + (1-1/2^2)ζ(3)x^6 + ・・・
・
・
（-1<x<1で成立）
ζ(0)、ζ(-1)・・などが現れているので、これらはもちろん解析接続的な（繰り込み的な）意味で成り立っている。
本頁上から二つ目(n＝1)の結果とこれらを合わせて、ここでの結果をまとめておこう。
（2007/5/27改）
この頁の全体をまとめて記しておく。
つまり、
ｆ(x)＝1^n/(1-x) - 2^n/(2-x) ＋ 3^n/(3-x) - 4^n/(4-x) + ・・・
のnをすべての整数で考えた場合であり、列挙すると以下となる。これは、解析接続された（繰り込みの）場合をも意味
のある式と解釈した場合である。秩序を味わっていただきたい。
上は、
ｆ(x)＝1^n/(1-x) - 2^n/(2-x) ＋ 3^n/(3-x) - 4^n/(4-x) + ・・・
のnがすべての整数の場合、つまり、解析接続された（繰り込みの）ζ(ｓ)値の場合をも包含した式を書いたのであるが、
現実的に収束する場合のみを扱うならば、nはn＝0，-1，-2，-3，・・・の場合だけとなる。
すなわち、次のようになる。
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