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テイラーシステムでCos[ s=s, 2π/3代入, πテイラー]からζ(3)とζ(5)を導出した。
またCos[ s=s, π/3代入, πテイラー]からζ(3)を導出。
これまで「百武彗星」でCos［ s=s，π/2代入、πテイラー］を、「エンケ彗星」でCos[ s=s, π代入, π/2テイラー]を
「フェイ彗星」でCos[ s=s, 0代入, πテイラー]を調べた。ここでは、Cos[ s=s, nπ/3代入, πテイラー]を見たい。
まずζ(3)を導出しよう。Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]を行う。
若干復習しておこう。
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テイラーシステムでの条件Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]とは
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・ ----①
という母関数を考えそれに2π/3代入したf(2π/3)と、①をx＝π周りテイラー展開したものにπ/3代入したf(2π/3)を
イコールとしてζ(3)を求めることをいう。
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これで現代数学で不明とされるζ(3)がいとも簡単に導出できるのである。私が独自に開発したこの手法を
テイラーシステムと名づけた。
早速、Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]でζ(3)を出すことにする。
［ζ(3)の導出］Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
まず①で xに2π/3を代入すると
f(2π/3)
=-1/2・（1/1^3 + 1/2^3 - 2/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 - 2/6^3 + 1/7^3 + 1/8^3 - 2/9^3 + ・・・ ）
=-1/2・｛（1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 + 1/8^3 + 1/9^3 + ・・・ ）
- (3/3^3 + 3/6^3 + 3/9^3 + 3/12^3 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(3) - 3/3^3(1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(3) - 1/3^2・ζ(3)｝
=-1/2・(1 - 1/3^2)・ζ(3) ------②
となりζ（3）が現れた。変形の妙を味わって頂きたい。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝ - （1-1/2^2）・ζ(3) + log2・(x-π)^2 /2！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^4 /4！ + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^8 /8！ + (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n）値が出た。こちらにもζ(3)が出ている。
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、③のζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると次のようになる。
f(x)＝-（1-1/2^2）・ζ(3)
+ 2｛(log2/2)・(x-π)^2 /2！- （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(x-π)^4 /(π^2・4！)
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(x-π)^6 /(π^4・6！) - （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(x-π)^8 /(π^6・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----④
これにx＝2π/3を代入して
f(2π/3)＝-（1-1/2^2）ζ(3)
+ 2π^2｛(log2/2)/(3^2・2！) - （1-1/2^2）・1！ζ(2)/(3^4・4！)
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)/(3^6・6！) - （1-1/2^6）・5！ζ(6)/(3^8・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
②と⑤は等しいので、ζ(3)を左辺にまとめて整理すると次のようになる。
ζ(3)＝(72/11)(π/3)^2｛log2/(2・2！) - （1-1/2^2）・1！ζ(2)/(3^2・4！)
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)/(3^4・6！) - （1-1/2^6）・5！ζ(6)/(3^6・8！)
- (1-1/2^8)・7！ζ(8)/(3^8・10！) - （1-1/2^10）・9！ζ(10)/(3^10・12！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑥
これまでのものと違ったζ(3)の表式が得られた。logは自然対数。
さて、ζ（3）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(3）＝1.2020569032・・
である。
この⑥右辺の収束は速く、初めからたったの４項で右辺＝1.2020585・・となる。
［終わり］
⑥は収束しているので確認の必要はないのであるが、念のため、「エンケ彗星 その２」で見た テイラーシステムの
成立条件をここで確認しておく。次である。
今回のCos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]では［Ⅰ］が成立していることを確かめよう。
さて、Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]であるから、条件と比較してp＝2π/3、q＝πである。
次に、④の収束半径Rを求めよう。
f(x)＝-（1-1/2^2）・ζ(3)
+ 2｛(log2/2)・(x-π)^2 /2！- （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(x-π)^4 /(π^2・4！)
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(x-π)^6 /(π^4・6！) - （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(x-π)^8 /(π^6・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----④
より、右辺の｛｝内をみて、（x-π）^2＝XとしてXのべき級数としての係数Anは
An＝(1-1/2^(2n-2))ζ(2n-2)/｛2n・(2n-1)・(2n-2)・π^(2n-2)｝
である。収束半径R1は、収束に関するダランベールの定理より、
R1＝lim An/An+1＝π^2
(n-->∞)
となる。いまX＝（x-π）^2としているから
結局
収束半径R＝π
となる。
以上より、
p＝2π/3、q＝π、R＝π
とわかった。
明らかに、[Ⅰ]の| p - q | < R が成立している。Cos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]は成立条件を満たしていること
がわかった。よって意味のある正しい（すなわち収束する）式⑥が得られたのである。
まとめておこう。
次にCos[ s=3, π/3代入, πテイラー]でζ(3)を導出する。
［ζ(3)の導出］Cos[ s=3, π/3代入, πテイラー]
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
まず①で xにπ/3を代入すると
f(π/3)
=1/2・（1/1^3 - 1/2^3 - 2/3^3 - 1/4^3 + 1/5^3 + 2/6^3
+ 1/7^3 - 1/8^3 - 2/9^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 2/12^3 + ・・・ ）
=1/2・｛（1/1^3 - 1/2^3 + 1/3^3 - 1/4^3 + 1/5^3 - 1/6^3
+ 1/7^3 - 1/8^3 + 1/9^3 - 1/10^3 + 1/11^3 - 1/12^3 + ・・・ ） + (-3/3^3 + 3/6^3 - 3/9^3 + 3/12^3 -・・)｝
=1/2・｛(1-1/2^2)ζ(3) + (-3/3^3 + 3/6^3 - 3/9^3 + 3/12^3 -・・)｝
=1/2・｛(1-1/2^2)ζ(3) - 1/3^2・(1-1/2^2)ζ(3)｝
=1/2・(1-1/2^2)・(1-1/3^2)ζ(3) ------②
となりζ（3）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝ - （1-1/2^2）・ζ(3) + log2・(x-π)^2 /2！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^4 /4！ + (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^8 /8！ + (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・ -------③
無限個のζ（-n）値が出た。こちらにもζ(3)が出ている。logは自然対数。
この③は当然ながら一つ上のCos[ s=s, 2π/3代入, πテイラー]のものと同じである。
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、③のζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると次のようになる。
f(x)＝-（1-1/2^2）・ζ(3)
+ 2｛(log2/2)・(x-π)^2 /2！- （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(x-π)^4 /(π^2・4！)
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(x-π)^6 /(π^4・6！) - （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(x-π)^8 /(π^6・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----④
これにx＝π/3を代入して
f(π/3)＝-（1-1/2^2）ζ(3)
+ 2(2π/3)^2｛log2 /(2・2！) - （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(2/3)^2 /4！
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(2/3)^4 /6！ - （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(2/3)^6 /8！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
②と⑤は等しいので、ζ(3)を左辺にまとめて整理すると次のようになる。
ζ(3)
＝(24/13)・(2π/3)^2・｛log2 /(2・2！) - （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(2/3)^2 /4！
- (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(2/3)^4 /6！ - （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(2/3)^6 /8！
- (1-1/2^8)・7！ζ(8)・(2/3)^8 /10！ - （1-1/2^10）・9！ζ(10)・(2/3)^10 /12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑥
これまでのものと違ったζ(3)の表式が得られた。
さて、ζ（3）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(3）＝1.2020569032・・
である。
この⑥右辺の収束も速く、初めから４項で右辺＝1.20220384・・となる。電卓で確認した。
［終わり］
⑥は実際に収束しているので確認の必要はないが、念のため、「エンケ彗星 その２」で見た テイラーシステムの
成立条件を確認しておく。一つ上の場合と同様にする。
今回のCos[ s=3, π/3代入, πテイラー]でも［Ⅰ］が成立していることを確かめよう。
Cos[ s=3, π/3代入, πテイラー]であるから、条件Cos［s＝s， p代入，qテイラー］と比較してp＝π/3、q＝πである。
また、べき級数④は一つ上でみた④と同じなので、その収束半径Rは
収束半径R＝π
となる。
以上より、
p＝π/3、q＝π、R＝π
とわかる。明らかに、[Ⅰ]の| p - q | < R が成立している。Cos[ s=3, π/3代入, πテイラー]は成立条件を満たしてい
ることがわかった。よって意味のある正しい（すなわち収束する）式⑥が得られたのである。
まとめておこう。
一つ上のCos[ s=3, 2π/3代入, πテイラー]のと一所に並べておこう。
次にCos[ s=5, 2π/3代入, πテイラー]でζ(5)を導出する。
［ζ(5)の導出］Cos[ s=5, 2π/3代入, πテイラー]
f(x)=(cosx)/1^5 + (cos2x)/2^5 + (cos3x)/3^5 + (cos4x)/4^5 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
まず①で xに2π/3を代入すると
f(2π/3)
=-1/2・（1/1^5 + 1/2^5 - 2/3^5 + 1/4^5 + 1/5^5 - 2/6^5 + 1/7^5 + 1/8^5 - 2/9^5 + ・・・ ）
=-1/2・｛（1/1^5 + 1/2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 + 1/5^5 + 1/6^5 + 1/7^5 + 1/8^5 + 1/9^5 + ・・・ ）
- (3/3^5 + 3/6^5 + 3/9^5 + 3/12^5 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(5) - 3/3^5(1/1^5 + 1/2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 + ・・・)｝
=-1/2・｛ζ(5) - 1/3^4・ζ(5)｝
=-1/2・(1 - 1/3^4)・ζ(5) ------②
となりζ（5）が現れた。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝ - （1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^2 /2！- log2・(x-π)^4 /4！
+ （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^6 /6！ - (1-2^4)・ζ(-3)・(x-π)^8 /8！
+ （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^10 /10！ - (1-2^8)・ζ(-7)・(x-π)^12 /12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
こちらにもζ(5)が出た。ここでζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、③のζ(-1)，ζ(-3)・・・をすべて現実的なζ(2) ，ζ(4)，・・・に直して整理整頓すると次のようになる。
f(x)＝-（1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^2 /2！
+ 2｛-(log2/2)・(x-π)^4 /4！+ （1-1/2^2）・1！ζ(2)・(x-π)^6 /(π^2・6！)
+ (1-1/2^4)・3！ζ(4)・(x-π)^8 /(π^4・8！) + （1-1/2^6）・5！ζ(6)・(x-π)^10 /(π^6・10！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----④
これにx＝2π/3を代入して
f(2π/3)＝-（1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(π/3)^2 /2！
+ 2π^4｛-log2 /(2・3^4・4！) + （1-1/2^2）・1！ζ(2)/(3^6・6！)
+ (1-1/2^4)・3！ζ(4)/(3^8・8！) + （1-1/2^6）・5！ζ(6)/(3^10・10！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
②と⑤は等しいのでζ(3)を左辺にまとめて整理すると次のようになる。
｛（1-1/2^4） - 1/2・(1 - 1/3^4)｝ζ(5)
＝ （1-1/2^2）・ζ(3)・(π/3)^2 /2！
+ 2(π/3)^4｛-log2 /(2・4！) + （1-1/2^2）・1！ζ(2)/(3^2・6！)
+ (1-1/2^4)・3！ζ(4)/(3^4・8！) + （1-1/2^6）・5！ζ(6)/(3^6・10！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑥
さらに左辺をまとめて
ζ(5)
＝ (1296/575)[（1-1/2^2）・ζ(3)・(π/3)^2 /2！
+ 2(π/3)^4｛-log2 /(2・4！) + （1-1/2^2）・1！ζ(2)/(3^2・6！)
+ (1-1/2^4)・3！ζ(4)/(3^4・8！) + （1-1/2^6）・5！ζ(6)/(3^6・10！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝] ---⑦
これまでのものと違ったζ(5)の表式が得られた。logは自然対数。
さて、ζ（5）の精密な値は、math worldによれば、
ζ(5）＝1.0369277551・・
です。
この⑦右辺の収束は速く、初めからたったの３項で右辺＝1.03691739・・となる。
［終わり］
まとめておこう。
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