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[1/(2^n・1)+1/(3^n・2)+・・]型Cos級数/Sin級数をさらに調べた。
[1/(2^3・1)+1/(3^3・2)+・・]型Cos級数の場合を求めた --> 3-ζ(2)-ζ(3)の積分表示
[1/(2^3・1)+1/(3^3・2)+・・]型Sin級数の場合を求めた --> 3-ζ(2)-ζ(3)の積分表示
Sin-Cos移動の法則を示した。
[1/(2^4・1)+1/(3^4・2)+・・]型Cos級数の場合を求めた --> 4-(2)-ζ(3)-ζ(4)の積分表示
[1/(2^5・1)+1/(3^5・2)+・・]型Cos級数の場合を求めた --> 5-(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5)の積分表示
[1/(2^6・1)+1/(3^6・2)+・・]型Cos級数の場合を求めた --> 6-(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5)-ζ(6)の積分表示
「その３」で[1/(2^2・1)+1/(3^2・2)+・・]型Cos級数/Sin級数をフーリエシステムを用いて調べた。
これは[1/(2^n・1)+1/(3^n・2)+・・]型のn＝2の場合であるから、ここではn＝3，4の場合を調べてみることにする。
まずはn＝3の場合を調べる。Cos級数から。
[3-ζ(2)-ζ(3) の積分表示の導出]
1/(2^3・1) + 1/(3^3・2) + 1/(4^3・3) + 1/(5^3・4) + ・・・ ＝3 -ζ(2) - ζ(3) -----①
という式を利用する。
なぜこれが成り立つかを示す。
1/(2^3・1) + 1/(3^3・2) + 1/(4^3・3) + ・・・
＝(1/2^2)・(1/(2・1)) + (1/3^2)・(1/(3・2)) + (1/4^2)・(1/(4・3)) + ・・・
＝(1/2^2)・(1/1-1/2) + (1/3^2)・(1/2-1/3) + (1/4^2)・(1/3-1/4) + ・・・
＝｛1/(2^2・1) + 1/(3^2・2) + 1/(4^2・3) + ・・・｝ - ｛1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 +・・・｝
＝｛2-ζ(2)｝ - (ζ(3) - 1)
＝3 -ζ(2) - ζ(3)
途中で「その３」で示した 1/(2^2・1) + 1/(3^2・2) + 1/(4^2・3) + ・・・ ＝2-ζ(2) を用いた。
さて、①の形から関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝cos2x/(2^3・1) + cos3x/(3^3・2) + cos4x/(4^3・3) + cos5x/(5^3・4) + ・・・ ------②
を考える。
②のコサイン級数の直交性を用いて、
1/(2^3・1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^3・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^3・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。右辺を部分積分すると、ｆ(x)は②であるから簡単な計算により次となる。
1/(2^3・1)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^3・2)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^3・3)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・)・(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx
さらに、もう１回部分積分を行うと、次を得る。
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・｝｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・｝dx
これにフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 +・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0 <＝x<＝2π)
cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・＝cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))
(0 <＝x<＝ 2π)
を用いると、上式は次のようになる。
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛(x-π)^2/4-π^2/12-cosx｝｛cosx-((π-x)・sinx)/2+2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝dx
形を整えて、
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(1/π)∫(0～π) ｛(x-π)^2/4-π^2/12-cosx｝｛2cosx-(π-x)・sinx+(2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝dx ------③
3 -ζ(2)-ζ(3) の積分表示が求まった。
[終わり]
③の正しさは、フリーの計算ソフトBearGraphで検証済み。
Cos級数の次は、1/(2^3・1)+1/(3^3・2)+・・]型のSin級数を調べる。
[3-ζ(2)-ζ(3) の積分表示の導出]
1/(2^3・1) + 1/(3^3・2) + 1/(4^3・3) + 1/(5^3・4) + ・・・ ＝3 -ζ(2) - ζ(3) -----①
という式を利用する。この式の成立理由は一つ上で示した。
さて、①の形から関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + sin5x/(5^3・4) + ・・・ ------②
を考える。
②のサイン級数の直交性を用いて、
1/(2^3・1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
1/(3^3・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
1/(4^3・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin4x dx
・
・
となる。右辺を部分積分すると、ｆ(x)は②であるから簡単な計算により次となる。
1/(2^3・1)＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・)・(cos2x/2) dx
1/(3^3・2)＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・)・(cos3x/3) dx
1/(4^3・3)＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・)・(cos4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^2・1)+cos3x/(3^2・2)+cos4x/(4^2・3) + ・・｝｛cos2x/2+cos3x/3+cos4x/4+ ・・｝dx ----③
ここで、一ひねりの変形を加える。
右辺の｛cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・｝に関して変形を行う。
cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・
＝cos2x/(2・(2・1)) + cos3x/(3・(3・2)) + cos4x/(4・(4・3)) + ・・
＝cos2x/(2・(2・1)) + cos3x/(3・(3・2)) + cos4x/(4・(4・3)) + ・・
＝(cos2x/2)・(1/1 - 1/2) + (cos3x/3)・(1/2 - 1/3) + (cos4x/4)・(1/3 - 1/4) + ・・・
＝｛cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・｝ - ｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2 + ・・｝
＝｛cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝ - ｛(x-π)^2/4 - π^2/12-cosx｝
＝2cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2)) - (x-π)^2/4 + π^2/12 ------④
途中でフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 +・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0 <＝x<＝2π)
cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・＝cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))
(0 <＝x<＝ 2π)
を用いた。
フーリエ級数の公式
cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 +・・＝-log(2sin(x/2)) (0 <x<2π)
と④を用いると、③は結局、次のようになる。
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛-cosx-log(2sin(x/2)) ｝｛2cosx-((π-x)sinx)/2+2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))-(x-π)^2/4+π^2/12｝dx
形を整えて、
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(1/π)∫(0～π) ｛cosx+log(2sin(x/2)) ｝｛-4cosx+(π-x)sinx-(2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))+(x-π)^2/2-π^2/6｝dx ---⑤
3 -ζ(2)-ζ(3)の積分表示が求まった。
[終わり]
③の正しさは、フリーの計算ソフトBearGraphで検証済み。
Sin級数では途中で一つひねりの変形を加えねばならず、最終式も、Cos級数の結果に比べ、あまり美しくない。
Sin級数の場合はなにかと苦労が多くなるのである。Cos級数の場合は、自然にきれいな結果が得られる。
一つ上でのCos級数の結果と合わせて、まとめておく。
もし、ここまで手計算をされた読者がおられたら、ある法則性に気づかれているかもしれない。
じつは、このフーリエシステムでは非常に面白い規則性が現れているのである。
例で説明しよう。冒頭のζ(3)を見ると、
****************
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx ----①
右辺を１回部分積分すると、
3 -ζ(2) - ζ(3)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・｝｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2+・・｝dx --②
****************
もう一例、「その４」＜ζ(4)の式 （1/(1^4・2)+1/(2^4・3)+・・）型Cos級数 ＞の場合を見よう。
途中を省略せずに書くと、
*******************
ζ(4) - ζ(3) + ζ(2) - 1
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^3・2) + sin2x/(2^3・3) + sin3x/(3^3・4) + ・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx
右辺を１回部分積分すると、
ζ(4) - ζ(3) + ζ(2) - 1
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2・2) + cos2x/(2^2・3) + cos3x/(3^2・4) + ・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・) dx
右辺をさらに１回部分積分して、
ζ(4) - ζ(3) + ζ(2) - 1
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・) dx
*********************
ここにある規則性が現れていることに気づかれることであろう。
右辺は、分母の累乗が規則的に増減している。sinとcosは交代で変わっている。すなわち、この規則により
逐一部分積分をやらなくても機械的に変形していけるのである！
例えば、分母が［1/(1^n・2) + 1/(2^n・3) +・・]型Cos級数の場合を一般的に書けば、右辺の積分部分は次の
ようになる。
∫(0～π) (sinx/(1^(n-1)・2) + sin2x/(2^(n-1)・3) + sin3x/(3^(n-1)・4) + ・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx
＝∫(0～π) (cosx/(1^(n-2)・2) + cos2x/(2^(n-2)・3) + cos3x/(3^(n-2)・4) + ・・)(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2+・・)dx
＝∫(0～π) (sinx/(1^(n-3)・2) + sin2x/(2^(n-3)・3) + sin3x/(3^(n-3)・4) + ・・)(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3+・・)dx
＝∫(0～π) (cosx/(1^(n-4)・2) + cos2x/(2^(n-4)・3) + cos3x/(3^(n-4)・4) + ・・)(cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4+・・)dx
・
・
と、規則的に変わっていくのである！
今後は面倒な部分積分をやらなくても、この法則を用いて機械的にどんどん式変形していけばよい。計算量を大幅に減ら
すことができ便利である。
これをフーリエシステムにおけるSin-Cos移動の法則と名づけ、今後大いに利用していくことにする。
次は、[1/(2^n・1)+1/(3^n・2)+・・]型のn＝4の場合を調べてみることにする。
ここからSin-Cos移動の法則を用いていく。まずはCos級数から。
[4-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4) の積分表示の導出]
1/(2^4・1) + 1/(3^4・2) + 1/(4^4・3) + 1/(5^4・4) + ・・・ ＝4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) -----①
という式を利用する。
なぜこれが成り立つかを示す。
1/(2^4・1) + 1/(3^4・2) + 1/(4^4・3) + ・・・
＝(1/2^3)・(1/(2・1)) + (1/3^3)・(1/(3・2)) + (1/4^3)・(1/(4・3)) + ・・・
＝(1/2^3)・(1/1-1/2) + (1/3^3)・(1/2-1/3) + (1/4^3)・(1/3-1/4) + ・・・
＝｛1/(2^3・1) + 1/(3^3・2) + 1/(4^3・3) + ・・・｝ - ｛1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 +・・・｝
＝｛3-ζ(2)-ζ(3)｝ - (ζ(4) - 1)
＝4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
本頁の冒頭で示した 1/(2^3・1) + 1/(3^3・2) + 1/(4^3・3) + ・・・ ＝3-ζ(2)-ζ(3) を用いた。
さて、①の形から関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝cos2x/(2^4・1) + cos3x/(3^4・2) + cos4x/(4^4・3) + cos5x/(5^4・4) + ・・・ ------②
を考える。
②のコサイン級数の直交性を用いて、
1/(2^4・1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^4・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^4・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。右辺を部分積分すると、ｆ(x)は②であるから簡単な計算により次となる。
1/(2^4・1)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^4・2)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^4・3)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・)・(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx ---③
さて、ここで一つ上で示したSin-Cos移動の法則を使うと、次の３式が簡単に生み出せる。
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3)+ ・・｝｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2+・・｝dx
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2・1) + sin3x/(3・2) + sin4x/(4・3) + ・・｝｛sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + sin4x/4^3 + ・・｝dx
上から下に簡潔な規則に則って右辺式が生み出されていることを見ていただきたい。
この３式の内、利用できるのは２番目と３番目である。
まず３番目の式に注目しよう。フーリエ級数の公式
sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・＝｛π^3 - π^2・x + (x-π)^3｝/12 (0 <=x<= 2π)
sin2x/(2・1) + sin3x/(3・2) + sin4x/(4・3) + ・・＝sinx-(π-x)・(sin(x/2))^2 - sinx・log(2sin(x/2)) (0 <=x<= 2π)
を用いて整理すると、３番目の式は次のようになる。
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(1/π)∫(0～π) ｛sinx-(π-x)・(sin(x/2))^2 - sinx・log(2sin(x/2))｝｛(π^3-π^2・x+(x-π)^3)/6-2sinx｝dx
次に、２番目に式（cosの式）に着目する。
これにフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 +・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0 <＝x<＝2π)
と＜ζ(3)を求める （1/(2^3・1)+1/(3^3・2)+・・）型Sin級数 ＞ で示した次式を用いる。
cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3) + ・・
＝2cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2)) - (x-π)^2/4 + π^2/12
これらを用いて整理すると、２番目の式は次のようになる。
4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)
＝(1/π)∫(0～π) ｛4cosx-(π-x)sinx+(2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))-(x-π)^2/2+π^2/6｝｛(x-π)^2/4-π^2/12-cosx｝dx
以上より、4-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4) の２種類の積分表示が求まった。
[終わり]
導出した式の正しさは、フリーの計算ソフトBearGraphで検証済み。
ζ(4)の場合、Sin級数ではきれな結果にはならないので略す。
次に、[1/(2^n・1)+1/(3^n・2)+・・]型のn＝5の場合を調べる。
Sin級数ではきれいな結果がでないので、Cos級数の場合のみ調べる。
[5-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5) の積分表示の導出]
1/(2^5・1) + 1/(3^5・2) + 1/(4^5・3) + 1/(5^5・4) + ・・・ ＝5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)- ζ(5) -----①
という式を利用する。
なぜこれが成り立つかを示す。
1/(2^5・1) + 1/(3^5・2) + 1/(4^5・3) + ・・・
＝(1/2^4)・(1/(2・1)) + (1/3^4)・(1/(3・2)) + (1/4^4)・(1/(4・3)) + ・・・
＝(1/2^4)・(1/1-1/2) + (1/3^4)・(1/2-1/3) + (1/4^4)・(1/3-1/4) + ・・・
＝｛1/(2^4・1) + 1/(3^4・2) + 1/(4^4・3) + ・・・｝ - ｛1/2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 +・・・｝
＝｛4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4)｝ - (ζ(5) - 1)
＝5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
一つ上で示した 1/(2^4・1) + 1/(3^4・2) + 1/(4^4・3) + ・・・ ＝4 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) を用いた。
さて、①の形から関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝cos2x/(2^5・1) + cos3x/(3^5・2) + cos4x/(4^5・3) + cos5x/(5^5・4) + ・・・ ------②
を考える。
②のコサイン級数の直交性を用いて、
1/(2^5・1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^5・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^5・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。右辺を部分積分すると、ｆ(x)は②であるから簡単な計算により次となる。
1/(2^5・1)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^4・1) + sin3x/(3^4・2) + sin4x/(4^4・3) + ・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^5・2)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^4・1) + sin3x/(3^4・2) + sin4x/(4^4・3) + ・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^5・3)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^4・1) + sin3x/(3^4・2) + sin4x/(4^4・3) + ・・)・(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^4・1) + sin3x/(3^4・2) + sin4x/(4^4・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx ---③
ここでSin-Cos移動の法則を使うと、次の４式が出る（一番上は③そのもの）。
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^4・1) + sin3x/(3^4・2) + sin4x/(4^4・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^3・1) + cos3x/(3^3・2) + cos4x/(4^3・3)+ ・・｝｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2+・・｝dx
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^2・1) + sin3x/(3^2・2) + sin4x/(4^2・3) + ・・｝｛sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + sin4x/4^3 + ・・｝dx
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3)+ ・・｝｛cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4+・・｝dx
上から下に簡潔な規則に則って式が生み出されていることを見ていただきたい。
この４式の内、利用できるのは４番目のみである。（なぜなら、適当な次式のようなフーリエ級数が利用できるのが
これのみであるから）
ここで、フーリエ級数の公式
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 +・・＝｛2π^2・(x-π)^2 - (x-π)^4 - 7π^4/15｝/48 (0 <＝x<＝2π)
cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・＝cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))
(0 <＝x<＝ 2π)
を用いて整理すると、４番目の式は次のようになる。
5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)
＝(1/π)∫(0～π) ｛(2π^2・(x-π)^2-(x-π)^4-7π^4/15)/48-cosx｝｛2cosx-(π-x)sinx+ (2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝dx
以上より、5-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5) の積分表示が求まった。
[終わり]
次に[1/(2^n・1)+1/(3^n・2)+・・]型のn＝6の場合を調べる。Cos級数の場合のみ求めた。
[6-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5)-ζ(6) の積分表示の導出]
1/(2^6・1) + 1/(3^6・2) + 1/(4^6・3) + 1/(5^6・4) + ・・・＝6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6) -----①
という式を利用する。
なぜこれが成り立つかを示す。
1/(2^6・1) + 1/(3^6・2) + 1/(4^6・3) + ・・・
＝(1/2^5)・(1/(2・1)) + (1/3^5)・(1/(3・2)) + (1/4^5)・(1/(4・3)) + ・・・
＝(1/2^5)・(1/1-1/2) + (1/3^5)・(1/2-1/3) + (1/4^5)・(1/3-1/4) + ・・・
＝｛1/(2^5・1) + 1/(3^5・2) + 1/(4^5・3) + ・・・｝ - ｛1/2^6 + 1/3^6 + 1/4^6 +・・・｝
＝｛5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5)｝ - (ζ(6) - 1)
＝6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
一つ上で示した 1/(2^5・1) + 1/(3^5・2) + 1/(4^5・3) + 1/(5^5・4) + ・・・＝5 -ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) を用いた。
さて、①の形から関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝cos2x/(2^6・1) + cos3x/(3^6・2) + cos4x/(4^6・3) + cos5x/(5^6・4) + ・・・ ------②
を考える。
②のコサイン級数の直交性を用いて、
1/(2^6・1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^6・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^6・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
となる。右辺を部分積分すると、ｆ(x)は②であるから簡単な計算により次となる。
1/(2^6・1)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^5・1) + sin3x/(3^5・2) + sin4x/(4^5・3) + ・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^6・2)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^5・1) + sin3x/(3^5・2) + sin4x/(4^5・3) + ・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^6・3)＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^5・1) + sin3x/(3^5・2) + sin4x/(4^5・3) + ・・)・(sin4x/4) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^5・1) + sin3x/(3^5・2) + sin4x/(4^5・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx ---③
ここでSin-Cos移動の法則を使うと、次の５式が出る（一番上は③そのもの）。
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^5・1) + sin3x/(3^5・2) + sin4x/(4^5・3) + ・・｝｛sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・｝dx
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^4・1) + cos3x/(3^4・2) + cos4x/(4^4・3)+ ・・｝｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2+・・｝dx
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2^3・1) + sin3x/(3^3・2) + sin4x/(4^3・3) + ・・｝｛sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + sin4x/4^3 + ・・｝dx
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3)+ ・・｝｛cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4+・・｝dx
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2・1) + sin3x/(3・2) + sin4x/(4・3) + ・・｝｛sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + sin4x/4^5 + ・・｝dx
上から下に簡潔な規則に則って式が生み出されていることを見ていただきたい。
５式の内、利用できるのは下の二つ、すなわち、４番目と５番目の式のみである。（なぜなら、適当な次式のようなフーリエ
級数が利用できるのがこれらのみであるから）
５番目の式から見よう。
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛sin2x/(2・1) + sin3x/(3・2) + sin4x/(4・3) + ・・｝｛sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + sin4x/4^5 + ・・｝dx
これにフーリエ級数の公式
sinx/1^5 + sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + ・・＝x｛8π^4-20π^2・x^2+15πx^3-3x^4｝/720 (0 <=x<= 2π)
sin2x/(2・1) + sin3x/(3・2) + sin4x/(4・3) + ・・＝sinx-(π-x)・(sin(x/2))^2 - sinx・log(2sin(x/2)) (0 <=x<= 2π)
を代入して整理すると、結局、５番目の式は次式となる。
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(1/π)∫(0～π) ｛x(8π^4-20π^2・x^2+15πx^3-3x^4)/360-2sinx ｝｛sinx-(π-x)・(sin(x/2))^2 - sinx・log(2sin(x/2))｝dx
次に４番目の式を見る。
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)
＝(2/π)∫(0～π) ｛cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3)+ ・・｝｛cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4+・・｝dx
さて、右辺の∫内の第一番目の｛｝の関数をＡとおく。
Ａ＝cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3)+ ・・
すると、 次のように式変形できる。
Ａ＝cos2x/(2^2・1) + cos3x/(3^2・2) + cos4x/(4^2・3)+ ・・
＝(cos2x/2)(1/(2・1)) + (cos3x/3)(1/(3・2)) + (cos4x/4)(1/(4・3))+ ・・
＝(cos2x/2)(1/1-1/2) + (cos3x/3)(1/2-1/3) + (cos4x/4)(1/3-1/4)+ ・・
＝cos2x/(2・1) - cos2x/2^2 + cos3x/(3・2) - cos3x/3^2 + cos4x/(4・3) - cos4x/4^2 + ・・
＝｛cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・｝-｛cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + cos4x/4^2+ ・・｝ ----④
ここでフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 +・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0 <＝x<＝2π)
cos2x/(2・1) + cos3x/(3・2) + cos4x/(4・3) + ・・＝cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))
(0 <＝x<＝ 2π)
を④に代入すると、
Ａ＝｛cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝ - ｛(x-π)^2/4 - π^2/12-cosx｝
＝2cosx - ((π-x)sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2)) - (x-π)^2/4 + π^2/12 ------⑤
フーリエ級数の公式
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 +・・＝｛2π^2・(x-π)^2 - (x-π)^4 - 7π^4/15｝/48 (0 <＝x<＝2π)
と、⑤を４番目の式の∫のそれぞれの｛｝に代入して整理すると、結局４番目の式は、次のようになる。
6 - ζ(2) - ζ(3) - ζ(4) - ζ(5) - ζ(6)＝(1/π)∫(0～π) A・Bdx
ここに、
A＝4cosx - (π-x)sinx + (2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2)) - (x-π)^2/2 + π^2/6
B＝｛2π^2・(x-π)^2 - (x-π)^4 - 7π^4/15｝/48 - cosx
以上より、6-ζ(2)-ζ(3)-ζ(4)-ζ(5)-ζ(6) の積分表示が二つ求まった。
[終わり]
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