|
フーリエシステムを用いて普通のCos級数からζ(4)、ζ(5)を求めた。
（1/(1^2・2)+・・）型Cos/Sin級数でζ(2)の２種類の積分表示を導出した。
「その１」でζ(2)、ζ(3)を求めたので、ここではζ(4)、ζ(5)を導出する。まずはζ(4)を求める。
[ζ(4)導出]
母関数
ｆ(x)＝cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + cos4x/4^4 + ・・・ ------①
を考える。右辺の係数1/1^4，1/2^4，1/3^4，・・がζ(4)＝1/1^4 + 1/2^4 + 1/3^4 + ・・の各項になっていることに
着目する。
フーリエ級数の直交性を用いて、
1/1^4＝(1/π)∫(-π～π) ｆ(x)・cosx dx
1/2^4＝(1/π)∫(-π～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^4＝(1/π)∫(-π～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
となることは容易にわかる。ｆ(x)はコサイン級数だから、右辺は次のように書き換えられる。
1/1^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/2^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
さらに、右辺を部分積分する。ｆ(x)は①であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・)・(sinx/1) dx
1/2^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・)・(sin2x/2) dx
1/3^4＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・)・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、
ζ(4)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 +・・)・(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx -----②
ここでフーリエ級数の公式
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 +・・＝π/2 - x/2 (0 <x< 2π)
sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 +・・＝(π^3 - π^2x + (x-π)^3)/12 (0 <=x<= 2π)
を用いると②は次のようになる。（これらの公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
ζ(4)＝(2/π)∫(0～π) ｛(π^3 - π^2x + (x-π)^3)/12｝・(π/2 - x/2) dx
右辺を計算して、
ζ(4)＝π^4/90
を得る。
[終わり]
次にζ(5)を求める。
[ζ(5)導出]
ζ(5)＝1/1^5 + 1/2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 +・・
であるから、この形から関数
ｆ(x)＝cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + cos4x/4^5 + ・・・ ------①
を考える。右辺の係数1/1^5，1/2^5，1/3^5，・・がζ(5)＝1/1^5 + 1/2^5 + 1/3^5 + ・・の各項になっていることに
着目する。
コサイン級数の直交性を用いて、
1/1^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/2^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/3^5＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
となる。さらに、右辺を部分積分する。ｆ(x)は①であるから、簡単な計算により次となる。
1/1^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・)・(sinx/1) dx
1/2^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・)・(sin2x/2) dx
1/3^5＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・)・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、
ζ(5)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 +・・)・(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 +・・)・(π/2 - x/2) dx ------②
途中で公式
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 +・・＝π/2 - x/2 (0 <x< 2π)
を用いた。
②に部分積分を２回行って次を得る。
ζ(5)＝(π^2/3)(1-1/2^2)ζ(3)
+ (2/π)∫(0～π) ｛(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 +・・)｝・(x^3/12 - πx^2/4) dx
右辺の後ろの項でさらに部分積分を行って、まとめると結局上式は次のようになる。
ζ(5)＝- (π^4/30)・log2 + (π^2/4)・ζ(3) - (1/6)∫(0～π) (x^3 - x^4/(4π))・log(sin(x/2)) dx ------③
あるいは、積分の箇所を変数変換して、次のようにも表現できる。
ζ(5)＝- (π^4/30)・log2 + (π^2/4)・ζ(3) - (8/3)∫(0～π/2) (x^3 - x^4/(2π))・log(sinx) dx -----④
途中で公式
cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・＝-log(2sin(x/2)) (0 <x< 2π)
を用いた。（この公式も、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
③、④の右辺の積分部分は、さらに変形して「偶数ゼータの無限和」にまでもっていくこともできるが、ζ(3)と同様に
このままにしておく。
[終わり]
過程を追うと分かるが、フーリエシステムでは何度も部分積分を行って、既存の公式を使えるようにするところが
ポイントである。
ζ(3)と一緒にまとめる。
ζ(2)＝π^2/6であるが、ζ(2)は奇数ゼータのような積分表示で表せるのだろうか。フーリエシステムを応用すると、
ζ(2)の積分表示を導出できたのでそれを示す。
いよいよ、ここからフーリエシステムの本領発揮といえる場面に入っていく。
[ζ(2)の積分表示の導出]
1/(1^2・2) + 1/(2^2・3) + 1/(3^2・4) + 1/(4^2・5) + ・・・ ＝ζ(2)-1 -----①
という式を利用する。
簡単だが、なぜこうなるかを示す。
1/(1^2・2) + 1/(2^2・3) + 1/(3^2・4) + ・・・
＝(1/1^2-1/(1^2・2)) + (1/2^2-2/(2^2・3)) + (1/3^2-3/(3^2・4)) +・・・
＝(1/1^2-1/(1・2)) + (1/2^2-1/(2・3)) + (1/3^2-1/(3・4)) +・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・) - ｛1/(1・2) + 1/(2・3) + 1/(3・4) + ・・｝
＝ζ(2) - ｛(1/1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + ・・・・｝
＝ζ(2) - 1
さて、①の形から関数
ｆ(x)＝cosx/(1^2・2) + cos2x/(2^2・3) + cos3x/(3^2・4) + cos4x/(4^2・5) + ・・・ ------②
を考える。
右辺の係数1/(1^2・2)，1/(2^2・3) ，1/(3^2・4)，・・が①の 1/(1^2・2) + 1/(2^2・3) + 1/(3^2・4) + ・・・の各項になって
いることに着目する。
②のコサイン級数の直交性を用いて、
1/(1^2・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(2^2・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^2・4)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
となる。さらに、右辺を部分積分する。ｆ(x)は①であるから、簡単な計算により次となる。
1/(1^2・2)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・)・(sinx/1) dx
1/(2^2・3)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^2・4)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・)・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）、
ζ(2)-1
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・)・(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + ・・) dx
＝(2/π)∫(0～π)｛(π-x)・(sin(x/2))^2-sinx・log(2sin(x/2))｝・(π/2 - x/2) dx ------③
途中で公式
sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 +・・＝π/2 - x/2 (0 <x< 2π)
sinx/(1・2) + sin2x/(2・3) + sin3x/(3・4) + ・・＝(π-x)・(sin(x/2))^2-sinx・log(2sin(x/2)) (0 <＝x<＝ 2π) -----④
を用いた。
③より、形を整えて
ζ(2)＝1 + (1/π)∫(0～π)｛(π-x)^2・(sin(x/2))^2 - (π-x)sinx・log(2sin(x/2))｝dx ------⑤
ζ(2)の積分表示が求まった。
最初に①の形を考えたことが、導出の過程で有効に効いていることを確認されたい。つまり、①をわざわざはじめに
考えたのは、④のフーリエ級数を利用できるからである。
[終わり]
⑤の右辺は、もちろんπ^2/6に一致する。(フリーの計算ソフトBearGraphで検証済み。）
「タットル彗星 その３」で偶数ゼータζ(2n)を「偶数ゼータの無限和」で表すことに成功したが、⑤の積分表示はその
事実に対応していると考えられる。なぜなら、∫の中のlog(2sin(x/2)が「偶数ゼータの無限和」で表現されるものだから
である。例えば、「ゼータ関数のいくつかの点について」の「その４」を参照。
log（πx/sinπx）＝ 2｛1/2・ζ(2) x^2+ 1/4・ζ(4)x^4 + 1/6・ζ(6)x^6 + ・・・ ｝ ( 0 < |x| < 1 ）
ここでは②のCos級数を出発点として求めた。ではSin級数では同様に求まるのだろうか？
答えは、Yesである。次に、それを求める。
Sin級数からζ(2)の積分表示を導出する。
[ζ(2)の積分表示の導出]
1/(1^2・2) + 1/(2^2・3) + 1/(3^2・4) + 1/(4^2・5) + ・・・ ------①
＝ζ(2)-1
という変形を利用する。（なぜこうなるかは一つ上を参照）
①の形に着目して母関数
ｆ(x)＝sinx/(1^2・2) + sin2x/(2^2・3) + sin3x/(3^2・4) + sin4x/(4^2・5) + ・・・ ------②
を考える。
サイン級数の直交性を用いて、
1/(1^2・2)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
1/(2^2・3)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
1/(3^2・4)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
・
・
となる。さらに右辺を部分積分する。ｆ(x)は①であるから、簡単な計算により次となる。
1/(1^2・2)＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1・2) + cos2x/(2・3) + cos3x/(3・4) + ・・)・(cosx/1) dx
1/(2^2・3)＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1・2) + cos2x/(2・3) + cos3x/(3・4) + ・・)・(cos2x/2) dx
1/(3^2・4)＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1・2) + cos2x/(2・3) + cos3x/(3・4) + ・・)・(cos3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、
1/(1^2・2) + 1/(2^2・3) + 1/(3^2・4) + 1/(4^2・5) + ・・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1・2) + cos2x/(2・3) + cos3x/(3・4) + ・・)・(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・) dx
＝(2/π)∫(0～π)｛1 - ((π-x)・sinx)/2 - 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝・(-log(2sin(x/2))) dx
＝(2/π)∫(0～π)｛-1 + ((π-x)・sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝・log(2sin(x/2)) dx ------③
途中で公式
cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・＝-log(2sin(x/2)) (0 <x< 2π)
cosx/(1・2) + cos2x/(2・3) + cos3x/(3・4) + ・・＝1 - ((π-x)・sinx)/2 - 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2)) (0 <＝x<＝ 2π)
を用いた。
①と③より結局
ζ(2)-1＝(2/π)∫(0～π)｛-1 + ((π-x)・sinx)/2 + 2(sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝・log(2sin(x/2)) dx
である。
形を整えて、
ζ(2)＝1 + (1/π)∫(0～π)｛-2 + (π-x)・sinx + (2sin(x/2))^2・log(2sin(x/2))｝・log(2sin(x/2)) dx ------④
ζ(2)の積分表示が求まった。
[終わり]
このようにSin級数からも、また異なった表示としてζ(2)が導出された。
④の右辺は、もちろんπ^2/6に一致する。(フリーの計算ソフトBearGraphで数値計算的にも検証済み。）
Cos級数での結果と合わせてまとめておく。
|