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テイラーシステムで、Cos[s＝s、π/4代入、π/2テイラー]の条件を調べた。L1(1)を求めた。
L1(2)、L1(4)、L1(6)を求めた。現代数学で不明とされるL1(3)を導出。
しばらくテイラーシステムの変形例などを調べていたが、本道にもどる。
母関数
ｆ(x)＝(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s ・・・
または
ｆ(x)＝(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s + (sin4x)/4^s ・・・
の形に戻って、まだやっていない条件をいろいろ調べることにする。
ここでは、cos級数のほうを使い、条件Cos[ s=s, π/4代入, π/2テイラー]を調べてみたい。
この条件では、ゼータ関数L1(s)が出てくる。このL1(s)をζ(ｓ)やL(s)で表現する形になるのだが、これまで何度か出て
きたL1(s)ゼータがどんなものかを再び示しておく。
L1(s)は次で定義されるゼータ関数である。
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s ) + ・・・ ----①
これはディリクレのL関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
の一種のゼータである。
L1(s)はmod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に対応
したL(χ,s)となる。mod 8なので、このχ(a)の導手は8である。
①をさらに長く書くと、
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s )
+ (1/17^s - 1/19^s - 1/21^s + 1/23^s) + (1/25^s - 1/27^s - 1/29^s + 1/31^s) + ・・・----②
となることはいうまでもない。
ディリクレ指標χ(ａ)の定義を書いておく。
χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」が、
この３条件を満たしていることは容易にわかる。
最小単位の導手8でもってL1(s)は特徴づけられていることが①や②からわかるであろう。
L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応するゼータ関数である。
では早速L1(1)から求めてみよう。
L1(1)を求める。
［L1(1)導出］ Cos型[ s=1， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1 + (cos2x)/2 + (cos3x)/3 + (cos4x)/4 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1 - 1/3 - 1/5 + 1/7) + (1/9 - 1/11 - 1/13 + 1/15) + ・・・｝
- 1/4・(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ・・)
＝L1(1)/√2 - (log2)/4 ----------②
となりL1(1)が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-1/2・log2 - L(0)・(x-π/2)^1 /1！ + 2^1・(1-2^2)ζ(-1)・(x-π/2)^2 /2！
+ L(-2)・(x-π/2)^3 /3！- 2^3・(1-2^4)ζ(-3)・(x-π/2)^4 /4！
- L(-4)・(x-π/2)^5 /5！+ 2^5・(1-2^6)ζ(-5)・(x-π/2)^6 /6！ -------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、L(s)は
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・
である。ζ(ｓ)はリーマン・ゼータζ(ｓ)である。
さて、L(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
とζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用すると、③は次のように書き換えられる。
f(x)＝-1/2・log2 - 2^1・(L(1)/π^1)・(x-π/2)^1 /1 + (2^2-1)(ζ(2)/π^2)・(x-π/2)^2 /2
- 2^3・(L(3)/π^3)・(x-π/2)^3 /3 + (2^4-1)(ζ(4)/π^4)・(x-π/2)^4 /4
- 2^5・(L(5)/π^5)・(x-π/2)^5 /5 + (2^6-1)(ζ(6)/π^6)・(x-π/2)^6 /6
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
xにπ/4を代入して、次を得る。
f(π/4)＝-1/2・log2 + L(1)/(1・2^1) + (1-1/2^2)・ζ(2)/(2・2^2)
+ L(3)/(3・2^3) + (1-1/2^4)・ζ(4)/(4・2^4)
+ L(5)/(5・2^5) + (1-1/2^6)・ζ(6)/(6・2^6) ------④
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
②と④は等しいから、
L1(1)/√2 - (log2)/4 ＝-(log2)/2 + L(1)/(1・2^1) + (1-1/2^2)・ζ(2)/(2・2^2)
+ L(3)/(3・2^3) + (1-1/2^4)・ζ(4)/(4・2^4)
+ L(5)/(5・2^5) + (1-1/2^6)・ζ(6)/(6・2^6) ------⑤
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
L1(1)が、L(s)とζ(ｓ)の無限和で表現できた。
念のため、検証しておこう。L1(1)は類数公式よりL1(1)＝(log(√2+1))/√2であるから、左辺＝0.2673999・・ ------⑥
となる。これが目標である。
右辺では、
⑤の右辺５項まで＝0.256565・・・
⑤の右辺７項まで＝0.265399・・・
⑤の右辺９項まで＝0.267003・・・
このように速い速度で⑥に収束していく。
⑤で左辺をL1(1)だけにした形に整えておく。
L1(1)/√2 ＝-(log2)/4 + L(1)/(1・2^1) + (1-1/2^2)・ζ(2)/(2・2^2)
+ L(3)/(3・2^3) + (1-1/2^4)・ζ(4)/(4・2^4)
+ L(5)/(5・2^5) + (1-1/2^6)・ζ(6)/(6・2^6) ------⑥
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
なんともシンプルで美しい形である。
以上。
まとめておく。
L1(2)、L1(4)、L1(6)を求める。
［L1(2)導出］ Cos型[ s=1， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1^2 + (cos2x)/2^2 + (cos3x)/3^2 + (cos4x)/4^2 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1^2 - 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2) + (1/9^2 - 1/11^2 - 1/13^2 + 1/15^2) + ・・・｝
- 1/4^2・(1/1^2 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ・・)
＝L1(2)/√2 - 1/4^2・(1-1/2)・ζ(2) ----------②
となりL1(2)が現れた。
次に①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-1/2^2・(1-1/2)ζ(2) - L(1)・(x-π/2)^1 /1！
+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^2 /2！+ L(-1)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^2・(1-2^3)ζ(-2)・(x-π/2)^4 /4！- L(-3)・(x-π/2)^5 /5！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここでζ(-2)、ζ(-4)、・・とL(-1)、L(-3)、・・は0であるから、結局、次のようになる。
f(x)＝-1/2^2・(1-1/2)ζ(2) - L(1)・(x-π/2)^1 /1！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^2 /2！ ------③
xにπ/4を代入して、
f(π/4)＝-1/2^2・(1-1/2)ζ(2) + L(1)・(π/4)^1 /1！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^2 /2！ ------④
②と④は等しいから、
L1(2)/√2 - 1/4^2・(1-1/2)・ζ(2) ＝-1/2^2・(1-1/2)ζ(2) + L(1)・(π/4)^1 /1！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^2 /2！
左辺のζ(2)を右辺に移して、
L1(2)/√2＝(1/4^2-1/2^2)・(1-1/2^1)ζ(2)
+ L(1)・(π/4)^1 /1！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^2 /2！
L1(2)が、L(1)とζ(2)、ζ(0)で表現できた。ζ(2)＝π^2/6、L(1)＝π/4であるから、L1(2)＝A・π^2となることがわかる。
数値的に計算してももちろんこの等式は成り立っている。
以上。
同様にしてL1(4)、L1(6)、・・を求めることができる。L1(4)、L1(6)だけ書いておく。
L1(4)/√2 ＝(1/4^4-1/2^4)・(1-1/2^3)ζ(2)
+ L(3)・(π/4)^1 /1！+ 1/2^2・(1-1/2^1)ζ(2)・(π/4)^2 /2！
- L(1)・(π/4)^3 /3！+ 1/2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^4 /4！
L1(6)/√2 ＝(1/4^6-1/2^6)・(1-1/2^5)ζ(6)
+ L(5)・(π/4)^1 /1！+ 1/2^4・(1-1/2^3)ζ(4)・(π/4)^2 /2！
- L(3)・(π/4)^3 /3！+ 1/2^2・(1-1/2)ζ(2)・(π/4)^4 /4！
- L(1)・(π/4)^5 /5！+ 1/2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^6 /6！
まとめておく。
参考までに、「ロニオス彗星 その６」での結果も載せておく。
今回の結果と「ロニオス彗星」の結果の対比の妙を味わっていただきたい。
次に現代数学で不明とされるL1(3)求める。L1(5)、L1(7)、・・は略す。
［L1(3)導出］ Cos型[ s=3， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1^3 - 1/3^3 - 1/5^3 + 1/7^3) + (1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3 + 1/15^3) + ・・・｝
- 1/4^3・(1/1^3 - 1/2^3 + 1/3^3 - 1/4^3 + ・・)
＝L1(3)/√2 - 1/4^3・(1-1/2^2)・ζ(3) ----------②
となりL1(3)とζ(3)が現れた。
次に①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-1/2^3・(1-1/2^2)ζ(3) - L(2)・(x-π/2)^1 /1！
+ (log2 /2)・(x-π/2)^2 /2！+ L(0)・(x-π/2)^3 /3！
- 2^1・(1-2^2)ζ(-1)・(x-π/2)^4 /4！- L(-2)・(x-π/2)^5 /5！
+ 2^3・(1-2^4)ζ(-3)・(x-π/2)^6 /6！+ L(-4)・(x-π/2)^7 /7！ ------③
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、L(s)は
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・
である。ζ(ｓ)はリーマン・ゼータζ(ｓ)である。
さて、L(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
とζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用してゼータ値を反転させ、さらにxにπ/4を代入すると、次のようになる。
f(π/4)＝-1/2^3・(1-1/2^2)ζ(3) + L(2)・(π/4)^1 /1！+ ((log2)/2)・(π/4)^2 /2！- L(0)・(π/4)^3 /3！
-π^2｛(1！/4！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^4 + (2！/5！)・2^3・L(3)/4^5
+ (3！/6！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^6 + (4！/7！)・2^5・L(5)/4^7
+ (5！/8！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^8 + (6！/9！)・2^7・L(7)/4^9 ------④
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
②と④は等しいから、
L1(3)/√2 - 1/4^3・(1-1/2^2)・ζ(3)
＝-1/2^3・(1-1/2^2)ζ(3) + L(2)・(π/4)^1 /1！+ ((log2)/2)・(π/4)^2 /2！- L(0)・(π/4)^3 /3！
-π^2｛(1！/4！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^4 + (2！/5！)・2^3・L(3)/4^5
+ (3！/6！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^6 + (4！/7！)・2^5・L(5)/4^7
+ (5！/8！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^8 + (6！/9！)・2^7・L(7)/4^9
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
左辺のζ(3)を右辺に移項して
L1(3)/√2
＝(1/4^3-1/2^3)・(1-1/2^2)ζ(3) + L(2)・(π/4)^1 /1！+ ((log2)/2)・(π/4)^2 /2！- L(0)・(π/4)^3 /3！
-π^2｛(1！/4！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^4 + (2！/5！)・2^3・L(3)/4^5
+ (3！/6！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^6 + (4！/7！)・2^5・L(5)/4^7
+ (5！/8！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^8 + (6！/9！)・2^7・L(7)/4^9 ------⑤
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝
L1(3)が、現代数学で不明なL(2)とζ(3)と、無限個の自明なゼータで表現できた。
検証しておこう。数値計算より⑤の左辺＝0.6776773・・ ------⑥
となる。これが目標である。 右辺では、 ⑤の右辺３項まで＝0.7276834・・・ ⑤の右辺５項まで＝0.6793835・・・ ⑤の右辺７項まで＝0.6778123・・・ このように非常に速い速度で⑥に収束していく。
以上。
まとめておく。
参考までに、「ロニオス彗星 その６」での結果も載せておく。
二つを比較して対比の妙を味わっていただきたい。上はCOS級数から導出され、下はSIN-L(s)級数から導出されてい
る点も興味深い。
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