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sinh(x) と exp(x)関連の母関数にテイラーシステムを適用した。
本道からすこし離れて、また別の母関数にテイラーシステムを適用してみよう。
ｆ(x)＝sinh(x/1^r)/1^s + sinh(x/2^r)/2^s + sinh(x/3^r)/3^s + sinh(x/4^r)/4^s + ・・・
この母関数を考える。条件は、これまでのテイラーシステムにならって、sinh[s＝a，r＝b，c代入，dテイラー]などとする。
ここにハイパボリックサインsinh(x)は、sinh(x)＝(e(x)-e(-x))/2である
今回は、sinh[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]の場合を考える。
すなわち、母関数は
ｆ(x)＝sinh(x/1)/1^2 + sinh(x/2)/2^2 + sinh(x/3)/3^2 + sinh(x/4)/4^2 + ・・・
を考える。
ｆ(1)と、0周りのテイラー展開を見るのである。早速、テイラーシステムを行ってみよう。
［導出］ sinh[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝sinh(x/1)/1^2 + sinh(x/2)/2^2 + sinh(x/3)/3^2 + sinh(x/4)/4^2 + ・・・ ------①
を考える。
ｆ(1)＝sinh(1/1)/1^2 + sinh(1/2)/2^2 + sinh(1/3)/3^2 + sinh(1/4)/4^2 + ・・・
となる。
さて、ｆ(0)＝0，ｆ´(0)＝ζ(3)，ｆ´´(0)＝0，ｆ´´´(0)＝ζ(5)，・・だから、①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝ζ(3)・x^1/1！ + ζ(5)・x^3/3！ + ζ(7)・x^5/5！ + ζ(9)・x^7/7！ + ・・・
ｆ(1)＝ζ(3)/1！ + ζ(5)/3！ + ζ(7)/5！ + ζ(9)/7！ + ζ(11)/9！+ ・・・ ------②
①と②は等しいから、
sinh(1/1)/1^2 + sinh(1/2)/2^2 + sinh(1/3)/3^2 + sinh(1/4)/4^2 + ・・・
＝ζ(3)/1！ + ζ(5)/3！ + ζ(7)/5！ + ζ(9)/7！ + ζ(11)/9！ + ・・・ ------③
これはもちろん、
｛e(1/1)-e(-1/1)｝/1^2 + ｛e(1/2)-e(-1/2)｝/2^2 + ｛e(1/3)-e(-1/3)｝/3^2 + ・・・
＝2｛ζ(3)/1！ + ζ(5)/3！ + ζ(7)/5！ + ζ(9)/7！ + ζ(11)/9！ + ・・・｝
ということである。
念のため、③の収束をみておこう。
左辺をExcelで１万項計算すると、③左辺＝1.383482・・
となる。これが目標である。
③右辺をみる。
右辺の１項まで＝1.2020569・・・
右辺の２項まで＝1.3748781・・
右辺の３項まで＝1.3832811・・・
となり、収束は異常に速い。分母の階乗が大きく効くからである。
以上。
今度は次の母関数を調べたい。
ｆ(x)＝e^(x/1^r)/1^s + e^(x/2^r)/2^s + e^(x/3^r)/3^s + e^(x/4^r)/4^s + ・・・
eはもちろん自然対数の底である。この母関数を考える。条件は、exp[s＝a，r＝b，c代入，dテイラー]などとする。
今回は、exp[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]の場合を考える。
すなわち、母関数は
ｆ(x)＝e^(x/1)/1^2 + e^(x/2)/2^2 + e^(x/3)/3^2 + e^(x/4)/4^2 + ・・・
を考える。
ｆ(1)と、0周りのテイラー展開を見るのである。早速、テイラーシステムを行ってみる。
［導出］ exp[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝e^(x/1)/1^2 + e^(x/2)/2^2 + e^(x/3)/3^2 + e^(x/4)/4^2 + ・・・ ------①
を考える。
ｆ(1)＝e^(1/1)/1^2 + e^(1/2)/2^2 + e^(1/3)/3^2 + e^(1/4)/4^2 + ・・・
となる。
さて、ｆ(0)＝ζ(2)，ｆ´(0)＝ζ(3)，ｆ´´(0)＝ζ(4)，ｆ´´´(0)＝ζ(5)，・・だから、①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝ζ(2) + ζ(3)・x^1/1！ + ζ(4)・x^2/2！ + ζ(5)・x^3/3！ + ζ(6)・x^4/4！ + ・・・
ｆ(1)＝ζ(2) + ζ(3)/1！ + ζ(4)/2！ + ζ(5)/3！ + ζ(6)/4！ + ζ(7)/5！+ ・・・ ------②
①と②は等しいから、次となる。
e^(1/1)/1^2 + e^(1/2)/2^2 + e^(1/3)/3^2 + e^(1/4)/4^2 + ・・・
＝ζ(2) + ζ(3)/1！ + ζ(4)/2！ + ζ(5)/3！ + ζ(6)/4！ + ζ(7)/5！+ ・・・ ----③
念のため、③の収束をみておこう。
左辺をExcelで１０万項計算すると、③左辺＝3.61337・・
となる。これが目標である。
③右辺をみる。
右辺の３項まで＝3.38815・・・
右辺の５項まで＝3.60336・・・
右辺の７項まで＝3.61316・・・
となり、収束は極めて速い。たった７項でこれである。分母の階乗の効果である。
以上。
次には
ｆ(x)＝e^(x/1)/1 - e^(x/2)/2 + e^(x/3)/3 - e^(x/4)/4 + ・・・
を調べる。
交代級数的に+-が交互に出ていることに注意。exp交代[s＝1，r＝1，1代入，0テイラー]である。
［導出］ exp交代[s＝1，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝e^(x/1)/1 - e^(x/2)/2 + e^(x/3)/3 - e^(x/4)/4 + ・・・
を考える。
ｆ(1)＝e^(1/1)/1 - e^(1/2)/2 + e^(1/3)/3 - e^(1/4)/4 + ・・・ ------①
となる。
さて、ｆ(0)＝log2， ｆ´(0)＝(1-1/2^1)ζ(2)， ｆ´´(0)＝(1-1/2^2)ζ(3)， ｆ´´´(0)＝(1-1/2^3)ζ(4)，・・であるから、
①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝log2 + (1-1/2^1)ζ(2)・x^1/1！ + (1-1/2^2)ζ(3)・x^2/2！ + (1-1/2^3)ζ(4)・x^3/3！ + ・・・
よって、
ｆ(1)＝log2 + (1-1/2^1)ζ(2)/1！ + (1-1/2^2)ζ(3)/2！ + (1-1/2^3)ζ(4)/3！ + ・・・ ------②
①と②は等しいから、次が成り立つ。
e^(1/1)/1 - e^(1/2)/2 + e^(1/3)/3 - e^(1/4)/4 + ・・・
＝log2 + (1-1/2^1)ζ(2)/1！ + (1-1/2^2)ζ(3)/2！ + (1-1/2^3)ζ(4)/3！ + ・・・ ----③
ゼータの心でみると、log2＝(1-1/2^0)ζ(1)であるから、美しい秩序が出ている。
念のため、③の収束をみる。
左辺をExcelで１０万項計算すると、③左辺＝2.1745・・
となる。これが目標である。
③右辺をみる。
右辺の３項まで＝1.96638・・・
右辺の５項まで＝2.16472・・・
右辺の７項まで＝2.17432・・・
となり、収束は非常に速い。
以上。
今度は
ｆ(x)＝e^(x/1) - e^(x/2) + e^(x/3) - e^(x/4)/4^2 + ・・・
を調べる。
これも交代級数的なものである。exp交代[s＝0，r＝1，1代入，0テイラー]である。
［導出］ exp交代[s＝0，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝e^(x/1) - e^(x/2) + e^(x/3) - e^(x/4) + ・・・
を考える。
ｆ(1)＝e^(1/1) - e^(1/2) + e^(1/3) - e^(1/4) + ・・・ ------①
となる。
さて、ｆ(0)＝(1-2^1)ζ(0)， ｆ´(0)＝log2， ｆ´´(0)＝(1-1/2^1)ζ(2)， ｆ´´´(0)＝(1-1/2^2)ζ(3)，・・であるから、
①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝(1-2^1)ζ(0) + log2・x^1/1！ + (1-1/2^1)ζ(2)・x^2/2！ + (1-1/2^2)ζ(3)・x^3/3！ + ・・・
よって、
ｆ(1)＝(1-2^1)ζ(0) + (log2)/1！ + (1-1/2^1)ζ(2)/2！ + (1-1/2^2)ζ(3)/3！ + ・・・ ------②
①と②は等しいから、次となる。
e^(1/1) - e^(1/2) + e^(1/3) - e^(1/4) + ・・・
＝(1-2^1)ζ(0) + (log2)/1！ + (1-1/2^1)ζ(2)/2！ + (1-1/2^2)ζ(3)/3！ + ・・・ ----③
ゼータの心でみると、log2＝(1-1/2^0)ζ(1)であるから、規則だっている。
ここでζ(0)＝-1/2であり、この式は解析接続で成り立っているのである。左辺は各項の大きさが徐々に小さくなって
いる交代級数であるがゆえに、確実に収束する。それが右辺が解析接続で成り立つ一つの根拠である。
念のため、③の収束をみよう。
左辺は非常に収束が遅く１０万項まで＝1.303787・・であるのに対し、（１０万+１）項まで＝2.303797・・であり、まだまだ
振動しておりその収束はあまりにも遅い。ただし、ここまで遠くを見た場合、収束値はこれらの平均にほぼ等しくなるので、
収束値＝((1.303787・・)+ (2.303797・・))/2＝1.803792・・
としてよい。
さて③右辺をみる。
右辺の６項まで＝1.802198・・・
右辺の８項まで＝1.803764・・・
右辺の１０項まで＝1.803791・・・
となり、収束はたいへん速く、たった１０項でほとんど収束してしまう。
以上。
次に
ｆ(x)＝e^(x/1^r)/1^s - e^(x/3^r)/3^s + e^(x/5^r)/5^s - e^(x/7^r)/7^s + ・・・
の形を調べてみる。
L(s)ゼータと似た形をしていることに注目されたい。
条件はexp-L(s)[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]となる。すなわち、
ｆ(x)＝e^(x/1)/1^2 - e^(x/3)/3^2 + e^(x/5)/5^2 - e^(x/7)/7^2 + ・・・
を母関数としたテイラーシステムを行ってみるのである。
ｆ(1)と、0周りのテイラー展開を見るのであるが、早速、やってみる。
［導出］ exp-L(s)[s＝2，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝e^(x/1)/1^2 - e^(x/3)/3^2 + e^(x/5)/5^2 - e^(x/7)/7^2 + ・・・
を考える。
ｆ(1)＝e^(1/1)/1^2 - e^(1/3)/2^2 + e^(1/5)/5^2 - e^(1/7)/7^2 + ・・・ ------①
となる。
さて、ｆ(0)＝L(2)， ｆ´(0)＝L(3)， ｆ´´(0)＝L(4)， ｆ´´´(0)＝L(5)，・・だから、①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝L(2) + L(3)・x^1/1！ + L(4)・x^2/2！ + L(5)・x^3/3！ + L(6)・x^4/4！ + ・・・
よって、
ｆ(1)＝L(2) + L(3)/1！ + L(4)/2！ + L(5)/3！ + L(6)/4！ + ・・・ ------②
ここにL(s)は、もちろん
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
のことである。
①と②は等しいから、次が成り立つ。
e^(1/1)/1^2 - e^(1/3)/3^2 + e^(1/5)/5^2 - e^(1/7)/7^2 + ・・・
＝L(2) + L(3)/1！ + L(4)/2！ + L(5)/3！ + L(6)/4！ + ・・・ ----③
収束性をみておく。
左辺をExcelで１０万項計算すると、③左辺＝2.596966・・ となる。これが目標である。
③右辺をみる。
右辺の２項まで＝1.884911・・・
右辺の４項まで＝2.545410・・・
右辺の６項まで＝2.595351・・・
となり、目標に速く収束していく。
以上。
次に
ｆ(x)＝e^(x/1^r)/1^s - e^(x/3^r)/3^s + e^(x/5^r)/5^s - e^(x/7^r)/7^s + ・・・
の条件exp-L(s)[s＝0，r＝1，1代入，0テイラー]を調べよう。すなわち、
ｆ(x)＝e^(x/1) - e^(x/3) + e^(x/5) - e^(x/7) + ・・・
を母関数としたテイラーシステムを行う。
［導出］ exp-L(s)[s＝0，r＝1，1代入，0テイラー]
ｆ(x)＝e^(x/1) - e^(x/3) + e^(x/5) - e^(x/7) + ・・・
を考える。
ｆ(1)＝e^(1/1) - e^(1/3) + e^(1/5) - e^(1/7) + ・・・ ------①
となる。
さて、ｆ(0)＝L(0)， ｆ´(0)＝L(1)， ｆ´´(0)＝L(2)， ｆ´´´(0)＝L(3)，・・だから、①のx＝0周りのテイラー展開は次となる。
ｆ(x)＝L(0) + L(1)・x^1/1！ + L(2)・x^2/2！ + L(3)・x^3/3！ + L(4)・x^4/4！ + ・・・
よって、
ｆ(1)＝L(0) + L(1)/1！ + L(2)/2！ + L(3)/3！ + L(4)/4！ + ・・・ ------②
①と②は等しいから、次が成り立つ。
e^(1/1) - e^(1/3) + e^(1/5) - e^(1/7) + ・・・
＝L(0) + L(1)/1！ + L(2)/2！ + L(3)/3！ + L(4)/4！ + ・・・ ----③
美しい形である。
収束性をみておく。
ここでL(0)＝1/2であり、この式は解析接続で成り立っているのである。③左辺は各項の大きさが徐々に小さくなって
いる交代級数であるがゆえに、確実に収束する。それが右辺が解析接続で成り立つ一つの根拠である。
③の収束性をみておく。
左辺は非常に収束が遅く１０万項＝1.4559900・・であるのに対し、（１０万+１）項＝2.4559950・・であり、まだまだ振動
しておりその収束はきわめて遅い。ただし、ここまで遠くを見た場合、収束値はこれらの平均にほぼ等しくなるので、
収束値＝((1.4559900・・)+ (2.4559950・・))/2＝1.955992・・
としてよい。これが目標である。
さて③右辺をみる。
右辺の２項まで＝1.285398・・
右辺の４項まで＝1.904871・・
右辺の６項まで＝1.954379・・
と収束は非常に速く、たった６項でほとんど目標に近づく。
③の左辺の収束は極端に遅く、対して右辺の収束は極端に速いのである。
以上。
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