|
テイラーシステムで、Sin[s＝s、π/4代入、π/2テイラー]の条件を調べた。L2(1)、L2(3)、L2(5)を求めた。
現代数学で不明とされるL2(2)を求めた。
「その２」ではcos級数をやったので、ここでは
ｆ(x)＝(sinx)/1^s + (sin2x)/2^s + (sin3x)/3^s + (sin4x)/4^s ・・・
のSin級数を調べる。
条件Sin[ s=s, π/4代入, π/2テイラー]をみる。
この条件ではゼータ関数L2(s)が出てくる。このL2(s)をζ(ｓ)やL(s)で表現する形になるのだが、これまで何度か出て
きたL2(s)ゼータがどんなものかを再び示しておく。
L2(s)は次で定義される。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・ ----①
これはディリクレのL関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
の一種のゼータである。
L2(s)はmod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもち、
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に対応
したL(χ,s)となる。mod 8なので、このχ(a)の導手は8である。
①をさらに長く書くと、
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s )
+ (1/17^s + 1/19^s - 1/21^s - 1/23^s) + (1/25^s + 1/27^s - 1/29^s - 1/31^s) + ・・・
となることはいうまでもない。
最小単位の導手8でもってL2(s)は特徴づけられているのである。
ディリクレ指標χ(ａ)の定義を書いておく。
χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たすものである。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
①のディリクレ指標は、この３条件を満たしている。
L2(s)ゼータは「ロニオス彗星 その７」でも調べた。L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応するゼータ関数である。
では早速L2(1)から求めてみよう。
L2(1)を求める。
［L2(1)導出］ Sin型[ s=1， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1 + (sin2x)/2 + (sin3x)/3 + (sin4x)/4 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1 + 1/3 - 1/5 - 1/7) + (1/9 + 1/11 - 1/13 - 1/15) + ・・・｝
- 1/2・(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 - ・・)
＝L2(1)/√2 + L(1)/2 ----------②
となりL2(1)が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝L(1) - 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^1 /1！
- L(-1)・(x-π/2)^2 /2！+ 2^2・(1-2^3)ζ(-2)・(x-π/2)^3 /3！
+ L(-3)・(x-π/2)^4 /4！- 2^4・(1-2^5)ζ(-4)・(x-π/2)^5 /5！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、L(s)ゼータはL(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s + 1/7^s - ・・・であり、ζ(ｓ)はリーマン・ゼータである。
ζ(-2)、ζ(-4)、・・ と L(-1)、L(-3)、・・は全て0であるから、結局、次のようになる。
f(x)＝L(1) - 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^1 /1！ -------③
xにπ/4を代入して、
f(π/4)＝L(1) + 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^1 /1！ -------④
②と④は等しいから、
L2(1)/√2 + L(1)/2＝L(1) + 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^1 /1！
すなわち、
L2(1)/√2＝(1-1/2)L(1) + 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^1 /1！
L2(1)が、L(1)とζ(0)で表現された。
検証しておこう。L1(1)は類数公式よりL2(1)＝√2・π/4である。L(1)＝π/4、ζ(0)＝-1/2であるから、右辺は左辺に
一致する。OKである。
以上。
L2(3)、L2(5)を求める。
［L2(3)導出］ Sin型[ s=3， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1^3 + (sin2x)/2^3 + (sin3x)/3^3 + (sin4x)/4^3 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 - 1/7^3) + (1/9^3 + 1/11^3 - 1/13^3 - 1/15^3) + ・・・｝
- 1/2・(1/1^3 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 - ・・)
＝L2(3)/√2 + L(3)/2^3 ----------②
となりL2(3)が現れた。
次に、①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝L(3) - 1/2^2・(1-1/2)ζ(2)・(x-π/2)^1 /1！
- L(1)・(x-π/2)^2 /2！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^3 /3！
+ L(-1)・(x-π/2)^4 /4！ - 2^4・(1-2^5)ζ(-2)・(x-π/2)^5 /5！
- L(-3)・(x-π/2)^6 /6！ + 2^6・(1-2^7)ζ(-4)・(x-π/2)^7 /7！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
ここで、L(s)ゼータはL(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s + 1/7^s - ・・・であり、ζ(ｓ)はリーマン・ゼータである。
ζ(-2)、ζ(-4)、・・ と L(-1)、L(-3)、・・は全て0であるから、結局、次のようになる。
f(x)＝L(3) - 1/2^2・(1-1/2)ζ(2)・(x-π/2)^1 /1！
- L(1)・(x-π/2)^2 /2！+ 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(x-π/2)^3 /3！ -------③
xにπ/4を代入して、
f(π/4)＝L(3) + 1/2^2・(1-1/2)ζ(2)・(π/4)^1 /1！
- L(1)・(π/4)^2 /2！- 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^3 /3！ -------④
②と④は等しいから、
L2(3)/√2 + L(3)/2^3＝L(3) + 1/2^2・(1-1/2)ζ(2)・(π/4)^1 /1！
- L(1)・(π/4)^2 /2！- 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^3 /3！
すなわち、
L2(3)/√2＝(1-1/2^3)・L(3) + 1/2^2・(1-1/2^1)ζ(2)・(π/4)^1 /1！
- L(1)・(π/4)^2 /2！- 2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^3 /3！
L2(3)が、L(3)とζ(2)とL(1)とζ(0)で表現された。
検証しておこう。L1(3)は数値計算より、L2(3)＝0.7267096・・である。
L(1)＝π/4、ζ(0)＝-1/2、L(3)＝π^3/32、ζ(2)＝π^2/6であるから計算して右辺は左辺に一致する。ＯＫである。
計算から
L2(3)＝3√2π^3/128
とわかる。
以上。
同様にして、L2(5)は、次のようになる。
L2(5)/√2＝(1-1/2^5)・L(5) + 1/2^4・(1-1/2^3)ζ(4)・(π/4)^1 /1！
- L(3)・(π/4)^2 /2！- 1/2^2・(1-1/2^1)ζ(2)・(π/4)^3 /3！
+ L(1)・(π/4)^4 /4！+ 1/2^0・(1-2^1)ζ(0)・(π/4)^5 /5！
これは、右辺の形から、L2(5)＝Ａ√2・π^5の形になる。計算がたいへんなのでやっていないが、L(5)＝5π^5/1536、
ζ(4)＝π^4/90であるから、誰でも計算できる。
L2(1)も含めてまとめる。きれいな秩序で成り立っている。
現代数学で不明とされるL2(2)を求める。
［L2(2)導出］ Sin型[ s=2， π/4代入，π/2テイラー］
ｆ(x)＝(sinx)/1^2 + (sin2x)/2^2 + (sin3x)/3^2 + (sin4x)/4^2 +・・・ ------①
という母関数を考える。
①でx=π/4を代入すると
ｆ(π/4)＝(1/√2)｛(1/1^2 + 1/3^2 - 1/5^2 - 1/7^2) + (1/9^2 + 1/11^2 - 1/13^2 - 1/15^2) + ・・・｝
- 1/2・(1/1^2 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 - ・・)
＝L2(2)/√2 + L(2)/2^2 ----------②
となりL2(2)が現れた。
次に①の右辺をx＝π/2の周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝L(2) - 1/2・log2・(x-π/2)^1 /1！
- L(0)・(x-π/2)^2 /2！+ 2^1・(1-2^2)ζ(-1)・(x-π/2)^3 /3！
+ L(-2)・(x-π/2)^4 /4！ - 2^3・(1-2^4)ζ(-3)・(x-π/2)^5 /5！ ------③
- L(-4)・(x-π/2)^6 /6！ + 2^5・(1-2^6)ζ(-5)・(x-π/2)^7 /7！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、L(s)の関数等式
L(1-s)＝π^(-s)・2^s・Γ(s)・sin(πs/2)・L(s)
とζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して置き換え、さらにxにπ/4を代入すると③は次のようになる。
f(π/4)＝L(2) + 1/2・log2・(π/4)^1 /1！- L(0)・(π/4)^2 /2！
- π｛ (1！/3！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^3 + (2！/4！)・2^3・L(3)/4^4
+ (3！/5！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^5 + (4！/6！)・2^5・L(5)/4^6
+ (5！/7！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^7 + (6！/8！)・2^7・L(7)/4^8 ------④
･････････････････････････････････････････････・ ｝
②と④は等しいから、
L2(2)/√2 + L(2)/2^2
＝L(2) + 1/2・log2・(π/4)^1 /1！- L(0)・(π/4)^2 /2！
- π｛ (1！/3！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^3 + (2！/4！)・2^3・L(3)/4^4
+ (3！/5！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^5 + (4！/6！)・2^5・L(5)/4^6
+ (5！/7！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^7 + (6！/8！)・2^7・L(7)/4^8
･････････････････････････････････････････････・ ｝
左辺のL(2)を右辺に移して、
L2(2)/√2＝(1-1/2^2)L(2) + 1/2・log2・(π/4)^1 /1！- L(0)・(π/4)^2 /2！
- π｛ (1！/3！)・(2^2-1)・ζ(2)/4^3 + (2！/4！)・2^3・L(3)/4^4
+ (3！/5！)・(2^4-1)・ζ(4)/4^5 + (4！/6！)・2^5・L(5)/4^6
+ (5！/7！)・(2^6-1)・ζ(6)/4^7 + (6！/8！)・2^7・L(7)/4^8
････････････････････････････････････････････・・ ｝
L2(3)がL(2)、L(0)と「自明なζ(2n)、L(2n+1)の無限和」で表現された。
検証しておこう。L1(2)は数値計算より、L2(2)＝0.75288075・・である。これが目標である。
右辺の３項まで＝0.80495988・・
右辺の５項まで＝0.75665995・・
右辺の７項まで＝0.75335458・・
このように目標に速く収束していく。
以上。
L1(4)、L1(6)、・・ももちろん同様に求められる。
|