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予想L-４に関して[4n+1]型の２次体Q(√m)の場合の具体的検証をつづけます。
π/15代入，π/17代入，π/19代入，π/21代入。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/15を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その２」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/15を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（「冥王星 その４」の「π/3代入」参照）に、π/15を代入した場合を記す
と次のようになります。
３回積分のみを書き下します。予想L-４を確認するにはこれで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/15代入の式］
3回積分
-｛ A・(1/1^3 + 1/14^3 - 1/16^3 - 1/29^3 + 1/31^3 + 1/44^3 - 1/46^3 - 1/59^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 + 1/13^3 - 1/17^3 - 1/28^3 + 1/32^3 + 1/43^3 - 1/47^3 - 1/58^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 + 1/12^3 - 1/18^3 - 1/27^3 + 1/33^3 + 1/42^3 - 1/48^3 - 1/57^3 +・・・)
+ D・(1/4^3 + 1/11^3 - 1/19^3 - 1/26^3 + 1/34^3 + 1/41^3 - 1/49^3 - 1/56^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 + 1/10^3 - 1/20^3 - 1/25^3 + 1/35^3 + 1/40^3 - 1/50^3 - 1/55^3 +・・・)
+ F・(1/6^3 + 1/9^3 - 1/21^3 - 1/24^3 + 1/36^3 + 1/39^3 - 1/51^3 - 1/54^3 +・・・)
+ G・(1/7^3 + 1/8^3 - 1/22^3 - 1/23^3 + 1/37^3 + 1/38^3 - 1/52^3 - 1/53^3 +・・・) ｝
+ ζ(2)・(π/15)
＝π/2・(π/15)^2/2！- 1/2・(π/15)^3/3！
ここで、A＝sin(π/15)、B＝sin(2π/15)、C＝sin(3π/15)、D＝sin(4π/15)、E＝sin(5π/15)、F＝sin(6π/15)、
G＝sin(7π/15)。
さて、上のπ/15代入の結果が、予想Ｌ-４を支持しているか否か以下見ましょう。
いまπ/15代入ですから、k＝15です。よって、導手NがN＝15であり、且つ15＝|m|である虚２次体Q(√-15)に対応
するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-15)が考察の対象ですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√-15)に対応するL(χ,s)は奇数回の
微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で３回積分のみに注目したのです。
上の３回積分の結果は、予想L-４を成立させているのでしょうか？
結論からいえば、ここでも予想L-４は成り立っているのですが、以下説明します。
３回積分の４つの青字の級数はLS(s)の分身とよぶべき級数（分割ゼータ）であったのです。
LS(s)の定義を書きます。次のもので、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LS(s)＝(1/1^s + 1/2^s + 1/4^s - 1/7^s + 1/8^s - 1/11^s - 1/13^s - 1/14^s)
+ (1/16^s + 1/17^s + 1/19^s - 1/22^s + 1/23^s - 1/26^s - 1/28^s - 1/29^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LS(s)は、mod 15に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 or 8 mod 15-->χ(a)＝1、
a≡7 or 11 or 13 or 14 mod 15 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝15です。
じつは、LS(s)はＱ（√-15）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LS(s)がQ（√-15）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使い、x^2≡-15 mod p
（pは素数）という合同方程式を解くことを経由して確認することができます。私は手計算で実際にそれを確めました。
さて、３回積分の４つの青字の級数たちがLS(s)の分身（分割ゼータ）であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，D，Gにかかる級数をそれぞれA1，B1，D1，G1と表すと、次のようになる。
A1＝1/1^3 + 1/14^3 - 1/16^3 - 1/29^3 + 1/31^3 + 1/44^3 - 1/46^3 - 1/59^3 +・・・
B1＝1/2^3 + 1/13^3 - 1/17^3 - 1/28^3 + 1/32^3 + 1/43^3 - 1/47^3 - 1/58^3 +・・・
D1＝1/4^3 + 1/11^3 - 1/19^3 - 1/26^3 + 1/34^3 + 1/41^3 - 1/49^3 - 1/56^3 +・・・
G1＝1/7^3 + 1/8^3 - 1/22^3 - 1/23^3 + 1/37^3 + 1/38^3 - 1/52^3 - 1/53^3 +・・・
さて、A1- B1 - D1 - G1を計算すると、
A1- B1 - D1 - G1
＝(1/1^3 + 1/14^3 - 1/16^3 - 1/29^3 + 1/31^3 + 1/44^3 - 1/46^3 - 1/59^3 + ・・・)
- (1/2^3 + 1/13^3 - 1/17^3 - 1/28^3 + 1/32^3 + 1/43^3 - 1/47^3 - 1/58^3 + ・・・)
- (1/4^3 + 1/11^3 - 1/19^3 - 1/26^3 + 1/34^3 + 1/41^3 - 1/49^3 - 1/56^3 + ・・・)
- (1/7^3 + 1/8^3 - 1/22^3 - 1/23^3 + 1/37^3 + 1/38^3 - 1/52^3 - 1/53^3 + ・・・)
＝1/1^3 - 1/2^3 - 1/4^3 - 1/7^3 - 1/8^3 - 1/11^3 - 1/13^3 + 1/14^3
- 1/16^3 + 1/17^3 + 1/19^3 + 1/22^3 + 1/23^3 + 1/26^3 + 1/28^3 - 1/29^3 + ・・・
＝1/1^3 + 1/2^3 + 1/4^3 - 1/7^3 + 1/8^3 - 1/11^3 - 1/13^3 - 1/14^3
+ 1/16^3 + 1/17^3 + 1/19^3 - 1/22^3 + 1/23^3 - 1/26^3 - 1/28^3 - 1/29^3 + ・・・
+ (-2/2^3 - 2/4^3 - 2/8^3 + 2/14^3 - 2/16^3 + 2/22^3 + 2/26^3 + 2/28^3 + ・・・)
＝LS(3) - 2/2^3・(1/1^3 + 1/2^3 + 1/4^3 - 1/7^3 + 1/8^3 - 1/11^3 - 1/13^3 - 1/14^3 + ・・・)
＝LS(3) - 1/2^2・LS(3)
＝(1 - 1/2^2)・LS(3)
となり、上で定義したLS(s)の特殊値LS(3)が出てくるのである！
A1，B1，D1，G1を「A1- B1 - D1 - G1」のように組み合わせると、このようにLS(s)を構成することができるので
ある。
これで、A1，B1，D1，G1はLS(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-15）に対応するLS(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していること
がわかりました。
π/15代入でも、やはり予想L-４成立していました。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/17を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その３」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/17を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（「冥王星 その４」の「π/3代入」参照）に、π/17を代入した場合を記す
と次のようになります。
２回積分のみを書き下します。予想L-４を確認するにはこれで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/17代入の式］
2回積分
-｛ A・(1/1^2 - 1/16^2 - 1/18^2 + 1/33^2 + 1/35^2 - 1/50^2 - 1/52^2 + 1/67^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 - 1/15^2 - 1/19^2 + 1/32^2 + 1/36^2 - 1/49^2 - 1/53^2 + 1/66^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 - 1/14^2 - 1/20^2 + 1/31^2 + 1/37^2 - 1/48^2 - 1/54^2 + 1/65^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 - 1/13^2 - 1/21^2 + 1/30^2 + 1/38^2 - 1/47^2 - 1/55^2 + 1/64^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 - 1/12^2 - 1/22^2 + 1/29^2 + 1/39^2 - 1/46^2 - 1/56^2 + 1/63^2 +・・・)
+ F・(1/6^2 - 1/11^2 - 1/23^2 + 1/28^2 + 1/40^2 - 1/45^2 - 1/57^2 + 1/62^2 +・・・)
+ G・(1/7^2 - 1/10^2 - 1/24^2 + 1/27^2 + 1/41^2 - 1/44^2 - 1/58^2 + 1/61^2 +・・・)
+ H・(1/8^2 - 1/9^2 - 1/25^2 + 1/26^2 + 1/42^2 - 1/43^2 - 1/59^2 + 1/60^2 +・・・)
- (1-1/2)ζ(2)/17^2 ｝ + ζ(2)
＝π/2・(π/17) - 1/2・(π/17)^2/2！
ここで、A＝cos(π/17)、B＝cos(2π/17)、C＝cos(3π/17)、D＝cos(4π/17)、E＝cos(5π/17)、F＝cos(6π/17)、
G＝cos(7π/17)、H＝cos(8π/17)。
さて、上の結果が、予想Ｌ-４を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/17代入ですから、k＝17です。よって、N＝17の導手Nをもち、且つ17＝|m|である実２次体Q(√17)に対応
するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√17)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√17)に対応する
L(χ,s)は偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で２回積分だけ注目したのです。
結論からいえば、ここでも予想L-４は成り立っているのですが、以下説明します。
２回積分の６つの青字の級数はLT(s)の分身とよぶべき級数（分割ゼータ）であったのです。
LT(s)の定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LT(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s - 1/7^s + 1/8^s
+ 1/9^s - 1/10^s - 1/11^s - 1/12^s + 1/13^s - 1/14^s + 1/15^s + 1/16^s ) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LT(s)は、mod 17に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 or 8 or 9 or 13 or 15 or 16 mod 17-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 or 7 or 10 or 11 or 12 or 14 mod 17 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)をもつL(χ,s)となります。このχ(a)の導手はN＝17です。
じつは、LT(s)が実２次体Ｑ（√17）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LT(s)がまさしくQ（√17）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って、x^2≡17 mod p
（pは素数）という合同方程式を解くことを経由して確認することができます。私は手計算で確めました。
さて、２回積分の６つの青字の級数たちがLT(s)の分身（分割ゼータ）であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，C，D，E，F，G，Hにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1と表すと、次のようになる。
A1=1/1^2 - 1/16^2 - 1/18^2 + 1/33^2 + 1/35^2 - 1/50^2 - 1/52^2 + 1/67^2 +・・・
B1=1/2^2 - 1/15^2 - 1/19^2 + 1/32^2 + 1/36^2 - 1/49^2 - 1/53^2 + 1/66^2 +・・・
C1＝1/3^2 - 1/14^2 - 1/20^2 + 1/31^2 + 1/37^2 - 1/48^2 - 1/54^2 + 1/65^2 +・・・
D1＝1/4^2 - 1/13^2 - 1/21^2 + 1/30^2 + 1/38^2 - 1/47^2 - 1/55^2 + 1/64^2 +・・・
E1＝1/5^2 - 1/12^2 - 1/22^2 + 1/29^2 + 1/39^2 - 1/46^2 - 1/56^2 + 1/63^2 +・・・
F1＝1/6^2 - 1/11^2 - 1/23^2 + 1/28^2 + 1/40^2 - 1/45^2 - 1/57^2 + 1/62^2 +・・・
G1＝1/7^2 - 1/10^2 - 1/24^2 + 1/27^2 + 1/41^2 - 1/44^2 - 1/58^2 + 1/61^2 +・・・
H1＝1/8^2 - 1/9^2 - 1/25^2 + 1/26^2 + 1/42^2 - 1/43^2 - 1/59^2 + 1/60^2 +・・・
さて、A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1を計算すると、次のようになります。
A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1
＝(1/1^2 - 1/16^2 - 1/18^2 + 1/33^2 + 1/35^2 - 1/50^2 - 1/52^2 + 1/67^2 +・・・)
-(1/2^2 - 1/15^2 - 1/19^2 + 1/32^2 + 1/36^2 - 1/49^2 - 1/53^2 + 1/66^2 +・・・)
-(1/3^2 - 1/14^2 - 1/20^2 + 1/31^2 + 1/37^2 - 1/48^2 - 1/54^2 + 1/65^2 +・・・)
-(1/4^2 - 1/13^2 - 1/21^2 + 1/30^2 + 1/38^2 - 1/47^2 - 1/55^2 + 1/64^2 +・・・)
-(1/5^2 - 1/12^2 - 1/22^2 + 1/29^2 + 1/39^2 - 1/46^2 - 1/56^2 + 1/63^2 +・・・)
+(1/6^2 - 1/11^2 - 1/23^2 + 1/28^2 + 1/40^2 - 1/45^2 - 1/57^2 + 1/62^2 +・・・)
-(1/7^2 - 1/10^2 - 1/24^2 + 1/27^2 + 1/41^2 - 1/44^2 - 1/58^2 + 1/61^2 +・・・)
-(1/8^2 - 1/9^2 - 1/25^2 + 1/26^2 + 1/42^2 - 1/43^2 - 1/59^2 + 1/60^2 +・・・)
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/7^2 - 1/8^2
+ 1/9^2 + 1/10^2 - 1/11^2 + 1/12^2 + 1/13^2 + 1/14^2 + 1/15^2 - 1/16^2
- 1/18^2 + 1/19^2 + 1/20^2 + 1/21^2 + 1/22^2 - 1/23^2 + 1/24^2 + 1/25^2
- 1/26^2 - 1/27^2 + 1/28^2 - 1/29^2 - 1/30^2 - 1/31^2 - 1/32^2 + 1/33^2 + ・・・
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 - 1/7^2 + 1/8^2
+ 1/9^2 - 1/10^2 - 1/11^2 - 1/12^2 + 1/13^2 - 1/14^2 + 1/15^2 + 1/16^2
+ 1/18^2 + 1/19^2 - 1/20^2 + 1/21^2 - 1/22^2 - 1/23^2 - 1/24^2 + 1/25^2
+ 1/26^2 - 1/27^2 - 1/28^2 - 1/29^2 + 1/30^2 - 1/31^2 + 1/32^2 + 1/33^2 + ・・・
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 + 2/14^2 - 2/16^2
- 2/18^2 + 2/20^2 + 2/22^2 + 2/24^2 - 2/26^2 + 2/28^2 - 2/30^2 - 2/32^2+ ・・・)
＝LT(2) - 2/2^2・( 1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 - 1/7^2 + 1/8^2 + ・・・)
＝LT(2) - 1/2・LT(2)
＝(1 - 1/2)・LT(2)
となり、上で定義したLT(s)の特殊値LT(2)が出てくるのである！
A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1を「A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1」のように組み合わせると、このようにLT(s)を
構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1はLT(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√17）に対応するLT(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していること
がわかりました。
以上より、π/17代入でも予想L-４は成立していることがわかりました。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/19を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その４」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/19を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（「冥王星 その４」の「π/3代入」参照）に、π/19を代入した場合を記す
と次のようになります。
３回積分のみを書き下します。予想L-４を確認するにはこれで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/19代入の式］
3回積分
-｛ A・(1/1^3 + 1/18^3 - 1/20^3 - 1/37^3 + 1/39^3 + 1/56^3 - 1/58^3 - 1/75^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 + 1/17^3 - 1/21^3 - 1/36^3 + 1/40^3 + 1/55^3 - 1/59^3 - 1/74^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 + 1/16^3 - 1/22^3 - 1/35^3 + 1/41^3 + 1/54^3 - 1/60^3 - 1/73^3 +・・・)
+ D・(1/4^3 + 1/15^3 - 1/23^3 - 1/34^3 + 1/42^3 + 1/53^3 - 1/61^3 - 1/72^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 + 1/14^3 - 1/24^3 - 1/33^3 + 1/43^3 + 1/52^3 - 1/62^3 - 1/71^3 +・・・)
+ F・(1/6^3 + 1/13^3 - 1/25^3 - 1/32^3 + 1/44^3 + 1/51^3 - 1/63^3 - 1/70^3 +・・・)
+ G・(1/7^3 + 1/12^3 - 1/26^3 - 1/31^3 + 1/45^3 + 1/50^3 - 1/64^3 - 1/69^3 +・・・)
+ H・(1/8^3 + 1/11^3 - 1/27^3 - 1/30^3 + 1/46^3 + 1/49^3 - 1/65^3 - 1/68^3 +・・・)
+ I・(1/9^3 + 1/10^3 - 1/28^3 - 1/29^3 + 1/47^3 + 1/48^3 - 1/66^3 - 1/67^3 +・・・) ｝
+ ζ(2)・(π/19)
＝π/2・(π/19)^3/2！- 1/2・(π/19)^3/3！
ここで、A＝sin(π/19)、B＝sin(2π/19)、C＝sin(3π/19)、D＝sin(4π/19)、E＝sin(5π/19)、F＝sin(6π/19)、
G＝sin(7π/19)、H＝sin(8π/19)、I＝sin(9π/19)。
さて、上のπ/19代入の結果が、予想L-４を支持しているか否か見ましょう。
いまπ/19代入ですから、もちろんk＝19です。よって、導手NがN＝19であり且つ19＝|m|である虚２次体Q(√-19)
に対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-19)が考察の対象ですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√-19)に対応するL(χ,s)は奇数回の
微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で３回積分のみに注目したのです。
さて上の結果は予想L-４を成立させているのでしょうか？
結論からいえば、ここでも予想L-４は成り立っているのですが、以下詳しく説明します。
３回積分の４つの青字の級数はLU(s)の分身とよぶべき級数（分割ゼータ）であったのです。
Ls(s)の定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LU(s)＝(1/1^s - 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/9^s
- 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s - 1/14^s - 1/15^s + 1/16^s + 1/17^s - 1/18^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LU(s)は、mod 19に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 or 5 or 6 or 7 or 9 or 11 or 16 or 17 mod 19-->χ(a)＝1、
a≡2 or 3 or 8 or 10 or 12 or 13 or 14 or 15 or 18 mod 19 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝19です。
じつは、LU(s)は虚２次体Ｑ（√-19）に対応するL（χ,s）となっています。
LU(s)がQ（√-19）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って、x^2≡-19 mod p
（pは素数）という合同方程式を解く作業を経由して私が手計算で確めました。
さて、３回積分の９つの青字の級数たちがLU(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，C，D，E，F，G，H，Iにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1と表すと、次のよう
になる。
A1＝1/1^3 + 1/18^3 - 1/20^3 - 1/37^3 + 1/39^3 + 1/56^3 - 1/58^3 - 1/75^3 +・・・
B1＝1/2^3 + 1/17^3 - 1/21^3 - 1/36^3 + 1/40^3 + 1/55^3 - 1/59^3 - 1/74^3 +・・・
C1＝1/3^3 + 1/16^3 - 1/22^3 - 1/35^3 + 1/41^3 + 1/54^3 - 1/60^3 - 1/73^3 +・・・
D1＝1/4^3 + 1/15^3 - 1/23^3 - 1/34^3 + 1/42^3 + 1/53^3 - 1/61^3 - 1/72^3 +・・・
E1＝1/5^3 + 1/14^3 - 1/24^3 - 1/33^3 + 1/43^3 + 1/52^3 - 1/62^3 - 1/71^3 +・・・
F1＝1/6^3 + 1/13^3 - 1/25^3 - 1/32^3 + 1/44^3 + 1/51^3 - 1/63^3 - 1/70^3 +・・・
G1＝1/7^3 + 1/12^3 - 1/26^3 - 1/31^3 + 1/45^3 + 1/50^3 - 1/64^3 - 1/69^3 +・・・
H1＝1/8^3 + 1/11^3 - 1/27^3 - 1/30^3 + 1/46^3 + 1/49^3 - 1/65^3 - 1/68^3 +・・・
I1＝1/9^3 + 1/10^3 - 1/28^3 - 1/29^3 + 1/47^3 + 1/48^3 - 1/66^3 - 1/67^3 +・・・
さて、A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1を計算すると、
A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1
＝(1/1^3 + 1/18^3 - 1/20^3 - 1/37^3 + 1/39^3 + 1/56^3 - 1/58^3 - 1/75^3 +・・・)
+(1/2^3 + 1/17^3 - 1/21^3 - 1/36^3 + 1/40^3 + 1/55^3 - 1/59^3 - 1/74^3 +・・・)
-(1/3^3 + 1/16^3 - 1/22^3 - 1/35^3 + 1/41^3 + 1/54^3 - 1/60^3 - 1/73^3 +・・・)
-(1/4^3 + 1/15^3 - 1/23^3 - 1/34^3 + 1/42^3 + 1/53^3 - 1/61^3 - 1/72^3 +・・・)
+(1/5^3 + 1/14^3 - 1/24^3 - 1/33^3 + 1/43^3 + 1/52^3 - 1/62^3 - 1/71^3 +・・・)
-(1/6^3 + 1/13^3 - 1/25^3 - 1/32^3 + 1/44^3 + 1/51^3 - 1/63^3 - 1/70^3 +・・・)
+(1/7^3 + 1/12^3 - 1/26^3 - 1/31^3 + 1/45^3 + 1/50^3 - 1/64^3 - 1/69^3 +・・・)
+(1/8^3 + 1/11^3 - 1/27^3 - 1/30^3 + 1/46^3 + 1/49^3 - 1/65^3 - 1/68^3 +・・・)
+(1/9^3 + 1/10^3 - 1/28^3 - 1/29^3 + 1/47^3 + 1/48^3 - 1/66^3 - 1/67^3 +・・・)
＝1/1^3 + 1/2^3 - 1/3^3 - 1/4^3 + 1/5^3 - 1/6^3 + 1/7^3 + 1/8^3 + 1/9^3
+ 1/10^3 + 1/11^3 + 1/12^3 - 1/13^3 + 1/14^3 - 1/15^3 - 1/16^3 + 1/17^3 + 1/18^3
-1/20^3 - 1/21^3 + 1/22^3 + 1/23^3 - 1/24^3 + 1/25^3 - 1/26^3 - 1/27^3 - 1/28^3
- 1/29^3 - 1/30^3 - 1/31^3 + 1/32^3 - 1/33^3 + 1/34^3 + 1/35^3 - 1/36^3 - 1/37^3 +・・・
＝1/1^3 - 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 - 1/8^3 + 1/9^3
- 1/10^3 + 1/11^3 - 1/12^3 - 1/13^3 - 1/14^3 - 1/15^3 + 1/16^3 + 1/17^3 - 1/18^3
+ 1/20^3 - 1/21^3 - 1/22^3 + 1/23^3 + 1/24^3 + 1/25^3 + 1/26^3 - 1/27^3 + 1/28^3
- 1/29^3 + 1/30^3 - 1/31^3 - 1/32^3 - 1/33^3 - 1/34^3 + 1/35^3 + 1/36^3 - 1/37^3 +・・・
+ (2/2^3 - 2/4^3 - 2/6^3 + 2/8^3 + 2/10^3 + 2/12^3 + 2/14^3 - 2/16^3 + 2/18^3
- 2/20^3 + 2/22^3 - 2/24^3 - 2/26^3 - 2/28^3 - 2/30^3 + 2/32^3 + 2/34^3 - 2/36^3 +・・・)
＝LU(3) - 2/2^3・(1/1^3 - 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 + 1/5^3 + 1/6^3 + 1/7^3 - 1/8^3 + 1/9^3
- 1/10^3 + 1/11^3 - 1/12^3 - 1/13^3 - 1/14^3 - 1/15^3 + 1/16^3 + 1/17^3 - 1/18^3+・・・)
＝LU(3) - 1/2^2・LU(3)
＝(1 - 1/2^2)・LU(3)
となり、上で定義したLU(s)の特殊値LU(3)が出てくるのである！
A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1を「A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1」のように組み合わせると、このように
LU(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1はLU(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-19）に対応するLU(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していること
がわかりました。
π/19代入でも予想L-４は成立しています。
②の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/21を代入した場合を調べます。
（ここは、天王星「その４」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/21を代入＞の
論理をそのまま利用しています。）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
まず②を重回積分-重回微分した結果（「冥王星 その４」の「π/3代入」参照）に、π/21を代入した場合を記す
と次のようになります。
２回積分のみを書き下します。予想L-４を確認するにはこれで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/21代入の式］
2回積分
-｛ A・(1/1^2 - 1/20^2 - 1/22^2 + 1/41^2 + 1/43^2 - 1/62^2 - 1/64^2 + 1/83^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 - 1/19^2 - 1/23^2 + 1/40^2 + 1/44^2 - 1/61^2 - 1/65^2 + 1/82^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 - 1/18^2 - 1/24^2 + 1/39^2 + 1/45^2 - 1/60^2 - 1/66^2 + 1/81^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 - 1/17^2 - 1/25^2 + 1/38^2 + 1/46^2 - 1/59^2 - 1/67^2 + 1/80^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 - 1/16^2 - 1/26^2 + 1/37^2 + 1/47^2 - 1/58^2 - 1/68^2 + 1/79^2 +・・・)
+ F・(1/6^2 - 1/15^2 - 1/27^2 + 1/36^2 + 1/48^2 - 1/57^2 - 1/69^2 + 1/78^2 +・・・)
+ G・(1/7^2 - 1/14^2 - 1/28^2 + 1/35^2 + 1/49^2 - 1/56^2 - 1/70^2 + 1/77^2 +・・・)
+ H・(1/8^2 - 1/13^2 - 1/29^2 + 1/34^2 + 1/50^2 - 1/55^2 - 1/71^2 + 1/76^2 +・・・)
+ I・(1/9^2 - 1/12^2 - 1/30^2 + 1/33^2 + 1/51^2 - 1/54^2 - 1/72^2 + 1/75^2 +・・・)
+ J・(1/10^2 - 1/11^2 - 1/31^2 + 1/32^2 + 1/52^2 - 1/53^2 - 1/73^2 + 1/74^2 +・・・)
- (1-1/2)ζ(2)/21^2 ｝ + ζ(2)
＝π/2・(π/21) - 1/2・(π/21)^2/2！
ここで、A＝cos(π/21)、B＝cos(2π/21)、C＝cos(3π/21)、D＝cos(4π/21)、E＝cos(5π/21)、F＝cos(6π/21)、
G＝cos(7π/21)、H＝cos(8π/21)、I＝cos(9π/21)、J＝cos(10π/21)。
さて、上のπ/21代入の結果が、予想L-４を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/21代入ですから、k＝21です。よって、N＝21の導手Nをもち、且つ21＝|m|である実２次体Q(√21)に対応
するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√21)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-４の後半からQ(√21)に対応する
L(χ,s)は偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で２回積分にだけ注目したのです。
結論からいえば、ここでも予想L-４は成り立っているのですが、以下説明します。
２回積分の６つの青字の級数はLV(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LV(s)の定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LV(s)＝(1/1^s - 1/2^s + 1/4^s + 1/5^s - 1/8^s - 1/10^s - 1/11^s
- 1/13^s + 1/16^s + 1/17^s - 1/19^s + 1/20^s) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LV(s)は、mod 21に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 or 5 or 16 or 17 or 20 mod 21-->χ(a)＝1、
a≡2 or 8 or 10 or 11 or 13 or 19 mod 21 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)をもつL(χ,s)となります。このχ(a)の導手はN＝21です。
じつは、LV(s)は実２次体Q(√21)に対応するL（χ,s）となっています。
LV(s)がまさしくQ（√21）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使ってx^2≡21 mod p
（p は素数）を解く作業を経由して手計算で確めました。
さて、２回積分の６つの青字の級数たちがLV(s)の分身（分割ゼータ）であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，D，E，H，Jにかかる級数をそれぞれA1，B1，D1，E1，H1，J1と表すと、次のようになる。
A1=1/1^2 - 1/20^2 - 1/22^2 + 1/41^2 + 1/43^2 - 1/62^2 - 1/64^2 + 1/83^2 +・・・
B1=1/2^2 - 1/19^2 - 1/23^2 + 1/40^2 + 1/44^2 - 1/61^2 - 1/65^2 + 1/82^2 +・・・
D1＝1/4^2 - 1/17^2 - 1/25^2 + 1/38^2 + 1/46^2 - 1/59^2 - 1/67^2 + 1/80^2 +・・・
E1＝1/5^2 - 1/16^2 - 1/26^2 + 1/37^2 + 1/47^2 - 1/58^2 - 1/68^2 + 1/79^2 +・・・
H1＝1/8^2 - 1/13^2 - 1/29^2 + 1/34^2 + 1/50^2 - 1/55^2 - 1/71^2 + 1/76^2 +・・・
J1＝1/10^2 - 1/11^2 - 1/31^2 + 1/32^2 + 1/52^2 - 1/53^2 - 1/73^2 + 1/74^2 +・・・
さて、A1+B1-D1+E1+H1+J1を計算すると、次のようになる。
A1+B1-D1+E1+H1+J1
＝(1/1^2 - 1/20^2 - 1/22^2 + 1/41^2 + 1/43^2 - 1/62^2 - 1/64^2 + 1/83^2 +・・・)
+ (1/2^2 - 1/19^2 - 1/23^2 + 1/40^2 + 1/44^2 - 1/61^2 - 1/65^2 + 1/82^2 +・・・)
- (1/4^2 - 1/17^2 - 1/25^2 + 1/38^2 + 1/46^2 - 1/59^2 - 1/67^2 + 1/80^2 +・・・)
+ (1/5^2 - 1/16^2 - 1/26^2 + 1/37^2 + 1/47^2 - 1/58^2 - 1/68^2 + 1/79^2 +・・・)
+ (1/8^2 - 1/13^2 - 1/29^2 + 1/34^2 + 1/50^2 - 1/55^2 - 1/71^2 + 1/76^2 +・・・)
+ (1/10^2 - 1/11^2 - 1/31^2 + 1/32^2 + 1/52^2 - 1/53^2 - 1/73^2 + 1/74^2 +・・・)
＝1/1^2+1/2^2-1/4^2 + 1/5^2 + 1/8^2 + 1/10^2 - 1/11^2- 1/13^2 - 1/16^2 + 1/17^2 - 1/19^2 - 1/20^2
-1/22^2- 1/23^2 + 1/25^2 - 1/26^2 - 1/29^2- 1/31^2+ 1/32^2+ 1/34^2 + 1/37^2- 1/38^2+ 1/40^2+ 1/41^2+・・
＝1/1^2 - 1/2^2 + 1/4^2 + 1/5^2 - 1/8^2 - 1/10^2 - 1/11^2- 1/13^2 + 1/16^2 + 1/17^2 - 1/19^2 + 1/20^2
+ 1/22^2 - 1/23^2 + 1/25^2+ 1/26^2- 1/29^2- 1/31^2- 1/32^2- 1/34^2+ 1/37^2+ 1/38^2- 1/40^2+ 1/41^2+・・
+(2/2^2 - 2/4^2 + 2/8^2 + 2/10^2 - 2/16^2 - 2/20^2 - 2/22^2- 2/26^2 + 2/32^2+ 2/34^2- 2/38^2+ 2/40^2+・・)
＝LV(2)
+2/2^2・(1/1^2- 1/2^2+ 1/4^2+ 1/5^2- 1/8^2- 1/10^2- 1/11^2- 1/13^2+ 1/16^2+ 1/17^2- 1/19^2+ 1/20^2+・・)
＝LV(2) + 2/2^2・LV(2)
＝(1 + 1/2)・LV(2)
となり、上で定義したLV(s)の特殊値LV(2)が出てくるのである！
A1，B1，D1，E1，H1，J1を「A1+B1-D1+E1+H1+J1」のように組み合わせると、このようにLV(s)を
構成することができるのである。
これで、A1，B1，D1，E1，H1，J1はLV(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんとＱ（√21）に対応するLV(s)が分身の姿（分割ゼータ）で出現していることがわか
りました。
π/21代入でも、やはり予想L-４は成立していました。
-----------------------------------------------------------------------------------
以上、非明示の場合の[4n+1]型の２次体Q（√m）の場合は、このπ/21代入まで調べていました。
よって、[4n+1]型Q（√m）対応の明示的な場合もここまでとします。
予想L-４はこのように完璧に成り立っているのです。
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