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さらに、次々と予想L-３の確認を続けましょう。π/19代入、π/21代入の場合を調べました。
①の統一的法則性（重回積分-重回微分の規則）の結果に、π/19を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
まずは①を重回積分-重回微分した結果を書き下します。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/19を代入すると、次のようになります。
２回積分のみ！を書き下します。それで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/19代入の式］
2回積分
-｛A・(1/1^2 + 1/18^2 - 1/20^2 - 1/37^2 + 1/39^2 + 1/56^2 - 1/58^2 - 1/75^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 + 1/17^2 - 1/21^2 - 1/36^2 + 1/40^2 + 1/55^2 - 1/59^2 - 1/74^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/16^2 - 1/22^2 - 1/35^2 + 1/41^2 + 1/54^2 - 1/60^2 - 1/73^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 + 1/15^2 - 1/23^2 - 1/34^2 + 1/42^2 + 1/53^2 - 1/61^2 - 1/72^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 + 1/14^2 - 1/24^2 - 1/33^2 + 1/43^2 + 1/52^2 - 1/62^2 - 1/71^2 +・・・)
+ F・(1/6^2 + 1/13^2 - 1/25^2 - 1/32^2 + 1/44^2 + 1/51^2 - 1/63^2 - 1/70^2 +・・・)
+ G・(1/7^2 + 1/12^2 - 1/26^2 - 1/31^2 + 1/45^2 + 1/50^2 - 1/64^2 - 1/69^2 +・・・)
+ H・(1/8^2 + 1/11^2 - 1/27^2 - 1/30^2 + 1/46^2 + 1/49^2 - 1/65^2 - 1/68^2 +・・・)
+ I・(1/9^2 + 1/10^2 - 1/28^2 - 1/29^2 + 1/47^2 + 1/48^2 - 1/66^2 - 1/67^2 +・・・)｝
＝∫(0～π/19) log(2sin(x/2))
となります。
ここで、A＝sin(π/19)、B＝sin(2π/19)、C＝sin(3π/19)、D＝sin(4π/19)、E＝sin(5π/19)、F＝sin(6π/19)、
G＝sin(7π/19)、H＝sin(8π/19)、I＝sin(9π/19)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/19の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
予想Ｌ－３を書きます。
さて、上のπ/19代入の結果が、この予想を支持しているか否か以下見ましょう。
いまπ/19代入ですから、もちろん、k＝19です。よって、導手NがN＝19であり、且つ19＝|m|である虚２次体Q(√-19)
に対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-19)が考察の対象ですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√-19)に対応するL(χ,s)は偶数回の
微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で２回積分のみに注目したのです。
さて上の２回積分の結果は予想L-３を成立させているのでしょうか？
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下詳しく説明します。
２回積分の４つの青字の級数はLU(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
Ls(s)は初出ですので定義を書きます。次のもので、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LU(s)＝(1/1^s - 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + 1/6^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/9^s
- 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s - 1/14^s - 1/15^s + 1/16^s + 1/17^s - 1/18^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LU(s)は、mod 19に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 or 5 or 6 or 7 or 9 or 11 or 16 or 17 mod 19-->χ(a)＝1、
a≡2 or 3 or 8 or 10 or 12 or 13 or 14 or 15 or 18 mod 19 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝19です。
じつは、LU(s)は虚２次体Ｑ（√-19）に対応するL（χ,s）となっています。
LU(s)がQ（√-19）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使ってx^2≡-19 mod p を
解く作業を経由して私が手計算で確めました。
さて、２回積分の９つの青字の級数たちがLU(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，C，D，E，F，G，H，Iにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1と表すと、次のよう
になる。
A1＝1/1^2 + 1/18^2 - 1/20^2 - 1/37^2 + 1/39^2 + 1/56^2 - 1/58^2 - 1/75^2 +・・・
B1＝1/2^2 + 1/17^2 - 1/21^2 - 1/36^2 + 1/40^2 + 1/55^2 - 1/59^2 - 1/74^2 +・・・
C1＝1/3^2 + 1/16^2 - 1/22^2 - 1/35^2 + 1/41^2 + 1/54^2 - 1/60^2 - 1/73^2 +・・・
D1＝1/4^2 + 1/15^2 - 1/23^2 - 1/34^2 + 1/42^2 + 1/53^2 - 1/61^2 - 1/72^2 +・・・
E1＝1/5^2 + 1/14^2 - 1/24^2 - 1/33^2 + 1/43^2 + 1/52^2 - 1/62^2 - 1/71^2 +・・・
F1＝1/6^2 + 1/13^2 - 1/25^2 - 1/32^2 + 1/44^2 + 1/51^2 - 1/63^2 - 1/70^2 +・・・
G1＝1/7^2 + 1/12^2 - 1/26^2 - 1/31^2 + 1/45^2 + 1/50^2 - 1/64^2 - 1/69^2 +・・・
H1＝1/8^2 + 1/11^2 - 1/27^2 - 1/30^2 + 1/46^2 + 1/49^2 - 1/65^2 - 1/68^2 +・・・
I1＝1/9^2 + 1/10^2 - 1/28^2 - 1/29^2 + 1/47^2 + 1/48^2 - 1/66^2 - 1/67^2 +・・・
さて、A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1を計算すると、
A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1
＝(1/1^2 + 1/18^2 - 1/20^2 - 1/37^2 + 1/39^2 + 1/56^2 - 1/58^2 - 1/75^2 +・・・)
+(1/2^2 + 1/17^2 - 1/21^2 - 1/36^2 + 1/40^2 + 1/55^2 - 1/59^2 - 1/74^2 +・・・)
-(1/3^2 + 1/16^2 - 1/22^2 - 1/35^2 + 1/41^2 + 1/54^2 - 1/60^2 - 1/73^2 +・・・)
-(1/4^2 + 1/15^2 - 1/23^2 - 1/34^2 + 1/42^2 + 1/53^2 - 1/61^2 - 1/72^2 +・・・)
+(1/5^2 + 1/14^2 - 1/24^2 - 1/33^2 + 1/43^2 + 1/52^2 - 1/62^2 - 1/71^2 +・・・)
-(1/6^2 + 1/13^2 - 1/25^2 - 1/32^2 + 1/44^2 + 1/51^2 - 1/63^2 - 1/70^2 +・・・)
+(1/7^2 + 1/12^2 - 1/26^2 - 1/31^2 + 1/45^2 + 1/50^2 - 1/64^2 - 1/69^2 +・・・)
+(1/8^2 + 1/11^2 - 1/27^2 - 1/30^2 + 1/46^2 + 1/49^2 - 1/65^2 - 1/68^2 +・・・)
+(1/9^2 + 1/10^2 - 1/28^2 - 1/29^2 + 1/47^2 + 1/48^2 - 1/66^2 - 1/67^2 +・・・)
＝1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 + 1/5^2 - 1/6^2 + 1/7^2 + 1/8^2 + 1/9^2
+ 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2 + 1/14^2 - 1/15^2 - 1/16^2 + 1/17^2 + 1/18^2
-1/20^2 - 1/21^2 + 1/22^2 + 1/23^2 - 1/24^2 + 1/25^2 - 1/26^2 - 1/27^2 - 1/28^2
- 1/29^2 - 1/30^2 - 1/31^2 + 1/32^2 - 1/33^2 + 1/34^2 + 1/35^2 - 1/36^2 - 1/37^2 +・・・
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2
- 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2 - 1/14^2 - 1/15^2 + 1/16^2 + 1/17^2 - 1/18^2
+ 1/20^2 - 1/21^2 - 1/22^2 + 1/23^2 + 1/24^2 + 1/25^2 + 1/26^2 - 1/27^2 + 1/28^2
- 1/29^2 + 1/30^2 - 1/31^2 - 1/32^2 - 1/33^2 - 1/34^2 + 1/35^2 + 1/36^2 - 1/37^2 +・・・
+ (2/2^2 - 2/4^2 - 2/6^2 + 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 + 2/14^2 - 2/16^2 + 2/18^2
- 2/20^2 + 2/22^2 - 2/24^2 - 2/26^2 - 2/28^2 - 2/30^2 + 2/32^2 + 2/34^2 - 2/36^2 +・・・)
＝LU(2) - 2/2^2・(1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 + 1/6^2 + 1/7^2 - 1/8^2 + 1/9^2
- 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2 - 1/14^2 - 1/15^2 + 1/16^2 + 1/17^2 - 1/18^2+・・・)
＝LU(2) - 1/2・LU(2)
＝(1 - 1/2)・LU(2)
となり、上で定義したLU(s)の特殊値LU(2)が出てくるのである！
A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1を「A1+B1-C1-D1+E1-F1+G1+H1+I1」のように組み合わせると、このように
LU(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1，I1はLU(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-19）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかり
ました。
π/19代入でも、やはり予想L-３は成立していました。
次の①の統一的法則性の結果に、π/21を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
一つ上のπ/19の［重回積分、重回微分した一連の式］の x にπ/21を代入すると、次のようになります。
π/21代入の計算はこれがはじめてです。
３回積分のみ！を書き下しますが、それで十分なことは（一つ上でも述べましたが）すぐ後で説明します。
［π/21代入の式］
・
・
3回積分
A・(1/1^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/62^3 - 1/64^3 + 1/83^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/40^3 + 1/44^3 - 1/61^3 - 1/65^3 + 1/82^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/60^3 - 1/66^3 + 1/81^3 +・・・)
+ D・(1/4^3 - 1/17^3 - 1/25^3 + 1/38^3 + 1/46^3 - 1/59^3 - 1/67^3 + 1/80^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 - 1/16^3 - 1/26^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/58^3 - 1/68^3 + 1/79^3 +・・・)
+ F・(1/6^3 - 1/15^3 - 1/27^3 + 1/36^3 + 1/48^3 - 1/57^3 - 1/69^3 + 1/78^3 +・・・)
+ G・(1/7^3 - 1/14^3 - 1/28^3 + 1/35^3 + 1/49^3 - 1/56^3 - 1/70^3 + 1/77^3 +・・・)
+ H・(1/8^3 - 1/13^3 - 1/29^3 + 1/34^3 + 1/50^3 - 1/55^3 - 1/71^3 + 1/76^3 +・・・)
+ I・(1/9^3 - 1/12^3 - 1/30^3 + 1/33^3 + 1/51^3 - 1/54^3 - 1/72^3 + 1/75^3 +・・・)
+ J・(1/10^3 - 1/11^3 - 1/31^3 + 1/32^3 + 1/52^3 - 1/53^3 - 1/73^3 + 1/74^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/21^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/21)∫log(2sin(x/2))
・
・
となります。
ここで、A＝cos(π/21)、B＝cos(2π/21)、C＝cos(3π/21)、D＝cos(4π/21)、E＝cos(5π/21)、F＝cos(6π/21)、
G＝cos(7π/21)、H＝cos(8π/21)、I＝cos(9π/21)、J＝cos(10π/21)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/21の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/21代入の結果が、この予想を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/21代入ですから、もちろん、k＝21です。よって、N＝21の導手Nをもち、且つ21＝|m|である実２次体Q(√21)
に対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√21)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√21)に対応する
L(χ,s)は奇数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で３回積分だけ注目したのです。
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下説明します。
３回積分の６つの青字の級数はLV(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LV(s)は初出ですので定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LV(s)＝(1/1^s - 1/2^s + 1/4^s + 1/5^s - 1/8^s - 1/10^s - 1/11^s
- 1/13^s + 1/16^s + 1/17^s - 1/19^s + 1/20^s) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LV(s)は、mod 21に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 or 5 or 16 or 17 or 20 mod 21-->χ(a)＝1、
a≡2 or 8 or 10 or 11 or 13 or 19 mod 21 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)をもつL(χ,s)となります。このχ(a)の導手はN＝21です。
じつは、LV(s)は実２次体Q(√21)に対応するL（χ,s）となっています。
LV(s)がまさしくQ（√21）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使ってx^2≡21 mod pを
解く作業を経由して手計算で確めました。
さて、３回積分の６つの青字の級数たちがLV(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，D，E，H，Jにかかる級数をそれぞれA1，B1，D1，E1，H1，J1と表すと、次のようになる。
A1=1/1^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/62^3 - 1/64^3 + 1/83^3 +・・・
B1=1/2^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/40^3 + 1/44^3 - 1/61^3 - 1/65^3 + 1/82^3 +・・・
D1＝1/4^3 - 1/17^3 - 1/25^3 + 1/38^3 + 1/46^3 - 1/59^3 - 1/67^3 + 1/80^3 +・・・
E1＝1/5^3 - 1/16^3 - 1/26^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/58^3 - 1/68^3 + 1/79^3 +・・・
H1＝1/8^3 - 1/13^3 - 1/29^3 + 1/34^3 + 1/50^3 - 1/55^3 - 1/71^3 + 1/76^3 +・・・
J1＝1/8^3 - 1/13^3 - 1/29^3 + 1/34^3 + 1/50^3 - 1/55^3 - 1/71^3 + 1/76^3 +・・・
さて、A1+B1-D1+E1+H1+J1を計算すると、次のようになる。
A1+B1-D1+E1+H1+J1
＝(1/1^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/62^3 - 1/64^3 + 1/83^3 +・・・)
+ (1/2^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/40^3 + 1/44^3 - 1/61^3 - 1/65^3 + 1/82^3 +・・・)
- (1/4^3 - 1/17^3 - 1/25^3 + 1/38^3 + 1/46^3 - 1/59^3 - 1/67^3 + 1/80^3 +・・・)
+ (1/5^3 - 1/16^3 - 1/26^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/58^3 - 1/68^3 + 1/79^3 +・・・)
+ (1/8^3 - 1/13^3 - 1/29^3 + 1/34^3 + 1/50^3 - 1/55^3 - 1/71^3 + 1/76^3 +・・・)
+ (1/8^3 - 1/13^3 - 1/29^3 + 1/34^3 + 1/50^3 - 1/55^3 - 1/71^3 + 1/76^3 +・・・)
＝1/1^3+1/2^3-1/4^3 + 1/5^3 + 1/8^3 + 1/10^3 - 1/11^3- 1/13^3 - 1/16^3 + 1/17^3 - 1/19^3 - 1/20^3
-1/22^3- 1/23^3 + 1/25^3 - 1/26^3 - 1/29^3- 1/31^3+ 1/32^3+ 1/34^3 + 1/37^3- 1/38^3+ 1/40^3+ 1/41^3+・・
＝1/1^3 - 1/2^3 + 1/4^3 + 1/5^3 - 1/8^3 - 1/10^3 - 1/11^3- 1/13^3 + 1/16^3 + 1/17^3 - 1/19^3 + 1/20^3
+ 1/22^3 - 1/23^3 + 1/25^3+ 1/26^3- 1/29^3- 1/31^3- 1/32^3- 1/34^3+ 1/37^3+ 1/38^3- 1/40^3+ 1/41^3+・・
+(2/2^3 - 2/4^3 + 2/8^3 + 2/10^3 - 2/16^3 - 2/20^3 - 2/22^3- 2/26^3 + 2/32^3+ 2/34^3- 2/38^3+ 2/40^3+・・)
＝LV(3)
+2/2^3・(1/1^3- 1/2^3+ 1/4^3+ 1/5^3- 1/8^3- 1/10^3- 1/11^3- 1/13^3+ 1/16^3+ 1/17^3- 1/19^3+ 1/20^3+・・)
＝LV(3) + 2/2^3・LV(3)
＝(1 + 1/2^2)・LV(3)
となり、上で定義したLV(s)の特殊値LV(3)が出てくるのである！
A1，B1，D1，E1，H1，J1を「A1+B1-D1+E1+H1+J1」のように組み合わせると、このようにLV(s)を
構成することができるのである。
これで、A1，B1，D1，E1，H1，J1はLV(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんとＱ（√21）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかりました。
π/21代入でも、やはり予想L-３は成立していました。
π/19代入とπ/21代入がわかりましたので、「その３」でみた最新の表Aに追加しておきましょう。
下表では、L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
表A
注意１：L（χ,s）欄は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
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