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mが4n+1のときの２次体の場合の規則性（予想L-３）を見出しました。π/3，π/5，π/7代入の場合を確認。
火星、木星、土星において考察したのは、「mが4n+2 または 4n+3の整数とき（ただしmは平方数でない）」の
２次体Q（√m）についてでした。
mが4n+1のときの２次体の場合はよくわからなかったのです。
しかし、ついに、mが4n+1の場合も、規則性があることを見出しました。
特殊値が非明示の場合（現代数学で不明な場合）を先に考察します。
結論を先にいえば、mが4n+1の場合も予想L-２の類似が成り立っていました。次です。
予想L-２との完全な類似であることに気付くでしょう。
なお予想L-２の場合は”k＝2|m|で、導手NはN＝2k （つまりN＝4|m|）”でしたが、上は”k＝|m|＝N”となっているところ
に注目してください。
と根をあげかかっていたものが、じつはL(χ,s)がちゃんと出る！と気付いたというわけです。
π/5代入で、「ただ私が間違っている可能性もゼロではなく、万が一「いや、こんな変形でＬ(χ,ｓ)が出るよ！」などと
いうことが読者で見つかったら、すぐに知らせてください。」といっていた、その予言が的中しました。
よって、「火星 その７、その８」の表Ａは間違いということになります（注意を追加しましたが）。
たのですが、式変形のうっかりから、どうしてもL(χ,s)を引き出すことができなかったのですが、今回その見落とし
ていた変形を発見することで、めでたく予想L-３に到達することができました。
それでは、早速、具体例で上の予想L-３を確めたいのですが、π/３代入からいきましょう。
π/3代入は、「火星 その３」のπ/3代入で既に計算だけはやっているので、それをそのまま再掲します。
（2π/3代入も同類の結果となりますが、それは、2π/3代入を見てください。）
①の統一的法則性の結果に、π/3を代入した場合を調べます。
（この結果は「金星 その１」の＜cosx/sin(x/2)＝2(sin2x + sin4x +・・にπ/6を代入＞と本質的に同値です。）
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/3を代入すると、次のようになります。
［π/3代入の式］
・
・
4回微分
LA(-4)＝2/3
3回微分
ζ(-3)＝1/120
2回微分
LA(-2)＝-2/9
1回微分
ζ(-1)＝-1/12
0回積分
LA(0)＝1/3
１回積分
0 ＝ 0
2回積分
-√3/2・(1+1/2)LA(2)＝∫(0～π/3) log(2sin(x/2))
3回積分
(1-1/2^2)(1-1/3^2)ζ(3)/2 -ζ(3)＝∫(0～π/3)∫log(2sin(x/2))
4回積分
√3/2・(1+1/2^3)LA(4) - ζ(3)・(π/3)＝∫(0～π/3)∫∫log(2sin(x/2))
5回積分
- (1-1/2^4)(1-1/3^4)ζ(5)/2 + ζ(5) - ζ(3)・(π/3)^2/2！
＝∫(0～π/3)∫∫∫log(2sin(x/2))
6回積分
-√3/2・(1+1/2^5)LA(6) + ζ(5)・(π/3) - ζ(3)・(π/3)^3/3！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
7回積分
(1-1/2^6)(1-1/3^6)ζ(7)/2 - ζ(7) + ζ(5)・(π/3)^2/2！- ζ(3)・(π/3)^4/4！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
8回積分
√3/2・(1+1/2^7)LA(8) - ζ(7)・(π/3) + ζ(5)・(π/3) ^3/3！- ζ(3)・(π/3)^5/5！
＝∫(0～π/3)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
・
・
と、このようになり、またζ(2n+1)とLA(2n)が飛び出してきました。
上で右辺の重回積分は一番最後の∫だけが0～π/3の定積分で、その他の∫はすべて0～xの定積分。
LA(s)は
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
であり、またζ(s)はもちろんリーマン・ゼータです。
ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)です。
LA(s)は、a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1としたときのL(χ,s)に一致します。χ(a)はディリクレ指標。
以上再掲ですが、この結果で冒頭の予想L-３が成り立っていることを見てみましょう。
再度、予想L-３をかかげます。
さて、上ではπ/3代入をやったわけですから、q π/kと比較して、もちろんk＝3です。
予想より、導手NがN＝k＝3 で、且つk＝|m|すなわち3＝|m|を満たす虚2次体Q（√-3）に対応するL（χ,s）が出現する
はずだ、ということになります。
上では、LA(s)が出現していますが、これが、はたしてQ（√-3）に対応するL（χ,s）なのでしょうか？
答えはYes.
LA(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√-3）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られているのです。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
LA(s)＝1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s + 1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s + ・・・
さらに予想L-３の後半部分では「2次体Q(√m)が虚２次体であるならばそれに対応するL(χ,s)は偶数回の微分・
積分の所に現れ、・・」となっていますが、これも成り立っているでしょうか？
上の計算結果をながめてください。
虚２次体Q（√-3）に対応するLA(s)は、すべて偶数回の微分・積分のところに現れています。
よって、この予想の後半も成り立っている。
以上より、π/３代入では、予想L-３は成立していることがわかりました。
（2π/3代入も成り立っているのですが、それは2π/3代入を見て確めてください。）
次は、π/5代入を確める予定です。
π/5代入は、「火星 その６」のπ/5代入で既に計算だけはやっているので、その２回積分と３回積分の結果を
利用しましょう。（本質的に２回積分と３回積分だけみれば十分ですので、それだけ見ます。）
①の統一的法則性の結果（一つ上を参照）に、π/5を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
２回積分と３回積分の場合のみを記します。
［π/5代入の式］
・
・
2回積分
-L・(1 + 1/4^2 - 1/6^2 - 1/9^2 + 1/11^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/19^2 +・・・)
-M・(1/2^2 + 1/3^2 - 1/7^2 - 1/8^2 + 1/12^2 + 1/13^2 - 1/17^2 - 1/18^2 +・・・)
＝∫(0～π/5) log(2sin(x/2))
3回積分
E・(1 - 1/4^3 - 1/6^3 + 1/9^3 + 1/11^3 - 1/14^3 - 1/16^3 + 1/19^3 +・・・)
+ F・(1/2^3 - 1/3^3 - 1/7^3 + 1/8^3 + 1/12^3 - 1/13^3 - 1/17^3 + 1/18^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/5^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/5)∫log(2sin(x/2))
・
・
ここで、L＝sin(π/5)、M＝sin(2π/5) またE＝cos(π/5)、F＝cos(2π/5) です。
このようになります。
火星のπ/5代入では、上の結果が、「ディリクレのＬ関数L(χ,s)にはならないようだ・・」と結論づけたのですが、
それは私の勘違いで、じつは、上から予想Ｌ－３を成立させるＬ(χ,ｓ)がちゃんと出るのです！
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/5代入の結果が、この予想を支持していることを見ましょう。
まず、いまπ/5代入ですから、もちろん、k＝5となります。よって、導手ＮがN＝5で且つ5＝|m|である実２次体Q(√5)に
対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずだということになります。
いま実２次体Ｑ(√5)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ－３の後半から、Q(√5)に対応するL(χ,s)は
奇数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/5代入の式］の３回積分の箇所だけに注目すればよいわけです（２回積分の方は無視）。
結論を先にいえば、ここでも予想L-３は成り立っているのですが、詳しく説明します。
３回積分の二つの青字の級数はLN(s)の分身ともよべる級数であったのです。
その前にLN(s)は初出ですので、定義を書きます。次の通りでディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LN(s)＝(1/1^s - 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s) + (1/6^s - 1/7^s - 1/8^s + 1/9^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていきます。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LN(s)は、mod 5に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 4 mod 5-->χ(a)＝1、
a≡2 or 3 mod 5 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝5です。
注意：LN(s)という呼称は私が勝手につけたものですので、ご注意ください。
じつは、LN(s)は実２次体Ｑ（√5）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LN(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√5）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られているのです。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
さて、３回積分の二つの青字の級数たちがLN(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
係数E，Fにかかる級数をそれぞれE1，F1と表すと、次のようになる。
E1＝1 - 1/4^3 - 1/6^3 + 1/9^3 + 1/11^3 - 1/14^3 - 1/16^3 + 1/19^3 +・・・
F1＝1/2^3 - 1/3^3 - 1/7^3 + 1/8^3 + 1/12^3 - 1/13^3 - 1/17^3 + 1/18^3 +・・・
さて、E1+ F1を計算すると、
E1+ F1
＝(1 - 1/4^3 - 1/6^3 + 1/9^3 + 1/11^3 - 1/14^3 - 1/16^3 + 1/19^3 +・・・)
+ (1/2^3 - 1/3^3 - 1/7^3 + 1/8^3 + 1/12^3 - 1/13^3 - 1/17^3 + 1/18^3 +・・・)
＝1 + 1/2^3 - 1/3^3 - 1/4^3 - 1/6^3 - 1/7^3 + 1/8^3 + 1/9^3
+ 1/11^3 + 1/12^3 - 1/13^3 - 1/14^3 - 1/16^3 - 1/17^3 + 1/18^3 + 1/19^3 + ・・・
＝1 - 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 + 1/6^3 - 1/7^3 - 1/8^3 + 1/9^3
+ 1/11^3 - 1/12^3 - 1/13^3 + 1/14^3 + 1/16^3 - 1/17^3 - 1/18^3 + 1/19^3 + ・・・
+ (2/2^3 - 2/4^3 - 2/6^3 + 2/8^3 + 2/12^3 - 2/14^3 - 2/16^3 + 2/18^3 +・・・)
＝LN(3) + 2/2^3・(1 - 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 + 1/6^3 - 1/7^3 - 1/8^3 + 1/9^3 +・・・)
＝LN(3) + 1/2^2・LN(3)
＝(1 + 1/2^2)・LN(3)
となり、上で定義したLN(s)が出てくるのです！
E1とF1を「E1+ F1」のように組み合わせれば、このようにLN(s)を構成することができるのである。
これで、E1とF1はLN(s)の分身とよべる存在であることがわかった。
終わり。
３回積分の二つの青字の級数たちがLN(s)の分身とよべる存在であることがわかりました。
予想中の「ここで複数の分身とは、それらを足したり引いたりして上の条件を満たすL(χ,s)を導出できる級数を指す。」
ということが、上で成立していることがわかるでしょう。
予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√5）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかりました。
以上より、π/5代入でも、予想L-３は成立していることがわかりました。
さて、「mが4n+1」の2次体Q(√m)に関する予想Ｌ-３の具体的な検証を２例でやったわけですが、表Ａにまとめて
下表では、L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
表A
注意１：L（χ,s）欄は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
π/7代入も、「火星 その６」のπ/7代入で既に計算はやっているので、その結果を利用しましょう。
①の統一的法則性の結果（二つ上を参照）に、π/7を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
［π/7代入の式］
・
・
2回積分
-A・(1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
- B・(1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
- C・(1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)
＝∫(0～π/7) log(2sin(x/2))
3回積分
L・(1 - 1/6^3 - 1/8^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/27^3 +・・・)
+ M・(1/2^3 - 1/5^3 - 1/9^3 + 1/12^3 + 1/16^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/26^3 +・・・)
+ N・(1/3^3 - 1/4^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/7^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/7)∫log(2sin(x/2))
・
・
ここでA＝sin(π/7)、B＝sin(2π/7)、C＝sin(3π/7)、L＝cos(π/7)、M＝cos(2π/7)、N＝cos(3π/7)です。
このようになります。
火星のπ/7代入では、上の結果が、「ディリクレのＬ関数L(χ,s)にはならない・・」と結論づけたのですが、それは
私の間違いで、じつは、上から予想Ｌ－３を成立させるＬ(χ,ｓ)がきちんと出るのです！
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/7代入の結果が、この予想を支持していることを以下見ましょう。
いまπ/7代入ですから、もちろん、k＝7です。よって、導手ＮがN＝7で且つ7＝|m|である虚２次体Q(√-7)に対応する
Ｌ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-7)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ－３の後半からQ(√-7)に対応する
L(χ,s)は偶数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。
よって、上の［π/7代入の式］の２回積分の箇所だけに注目すればよいのです（３回積分の方は無視）。
結論を先にいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下詳しく説明します。
２回積分の三つの青字の級数はLP(s)の分身ともよべる級数であったのです。
LP(s)は初出ですので、定義を書きます。次の通りでディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LP(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s)
+ (1/8^s + 1/9^s - 1/10^s + 1/11^s - 1/12^s - 1/13^s)・・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LP(s)は、mod 7に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 mod 7-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 mod 7 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝7です。
注意：LP(s)という呼称は私が勝手につけたものですので、ご注意ください。
じつは、LP(s)が、虚２次体Ｑ（√-7）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LP(s)は、ディリクレのL関数L（χ,s）の一種ですが、これがQ（√-7）に対応するL（χ,s）であることは、現代数学で
知られているのです。例えば、「解決！フェルマーの最終定理」（加藤和也著、日本評論社）のp.74参照。
さて、２回積分の三つの青字の級数たちがLP(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，Cにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1と表すと、次のようになる。
A1＝1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・
B1＝1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・
C1＝1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・
さて、A1- B1 -C1を計算すると、
A1- B1 -C1
＝(1 + 1/6^2 - 1/8^2 - 1/13^2 + 1/15^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/27^2 +・・・)
- (1/2^2 + 1/5^2 - 1/9^2 - 1/12^2 + 1/16^2 + 1/19^2 - 1/23^2 - 1/26^2 +・・・)
- (1/3^2 + 1/4^2 - 1/10^2 - 1/11^2 + 1/17^2 + 1/18^2 - 1/24^2 - 1/25^2 +・・・)
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/3^2 - 1/4^2 - 1/5^2 + 1/6^2 - 1/8^2 + 1/9^2 + 1/10^2 + 1/11^2 + 1/12^2 - 1/13^2+・・・
＝(1/1^2 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + 1/8^2 + 1/9^2 - 1/10^2 + 1/11^2 - 1/12^2 - 1/13^2+・・・)
+ (-2/2^2 - 2/4^2 + 2/6^2 - 2/8^2 + 2/10^2 + 2/12^2 +・・・)
＝LP(2) - 2/2^2・(1 + 1/2^2 - 1/3^2 + 1/4^2 - 1/5^2 - 1/6^2 + ・・・)
＝LP(2) - 1/2・LP(2)
＝(1 - 1/2)・LP(2)
となり、上で定義したLP(s)が出てくるのです！
A1，B1，C1を「A1- B1 -C1」のように組み合わせれば、このようにLP(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1はLP(s)の分身とよべる存在であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-7）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかりました。
以上より、π/7代入でも、予想L-３は成立していることがわかりました。
さて、π/7代入の場合もわかりましたので、さらに上の表Aに追加しましょう。
下表では、L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
表A
注意１：L（χ,s）欄は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
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