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ここでは、「m＝4n+2 or 4n+3 の２次体Q（√m）」に対応するqπ/14の場合を調べます（分子の方に注目）。
ここでは、「m＝4n+2 or 4n+3 のQ（√m）」におけるqπ/14の場合を調べます。
「その６」、「その７」では「m＝4n+1のQ（√m）」の場合の挙動をみました。「m＝4n+2 or 4n+3 のQ（√m）」の場合は、
「m＝4n+1の場合」ほど興味ある動きをとりませんが、後々に抽象的な場合を考察していく際の参考になりますので、
一例だけ（qπ/14代入）を調べておきます。
具体的には、π/14，3π/14，5π/14，9π/14，11π/14，13π/14の場合を見ます。
次の予想L-２（木星 その２で提示）からわかる通り、qπ/14代入はもちろん「m＝4n+2 or 4n+3 の２次体Ｑ（√m）」
の場合に相当し、π/kのｋとｑは互いに素ですから、上の６つの値を調べればよいのです。
「m＝4n+1の場合」に比べすべての計算で本質的は差はなく、かなり単調なものになるのですが、こういうふう
に具体例を並べておくのは、後々いろいろと役にたつものです。
（また当然ながら、今回の考察は、予想L-２Bにも本質的に同じように適用できます。）
「その６」、「その７」と同様の方針でいきます。
すなわち、上の予想L-３の成立を確認する際の「分身たちからゼータを構成していく際の計算部分に注目する」という
形で進んでいきます。
それでは、π/14，3π/14，5π/14，9π/14，11π/14，13π/14の場合を見ます。
以下で、π/14，3π/14，5π/14，9π/14，11π/14，13π/14の場合をすべて載せます。
分子によって「ゼータの分身たちからゼータを構成するし方」に注目する形で、その計算のエッセンスの部分だけ
を見ることにします。
上の予想より、いまqπ/14代入ですから、k＝14です。よって、導手ＮがN＝28で且つ7＝|m|である実２次体Q(√7)に
対応します。実２次体が考察の対象になっていますから、奇数回の微分・積分の所に注目すればよいわけです。
よって、以下３回積分の結果だけを載せます。
順番にすべての場合を並べていきます。
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［π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果にπ/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
A・(1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・)
+ B・1/2^3・(1/1^3 - 1/6^3 - 1/8^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/27^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 +・・・)
+ D・1/2^3・(1/2^3 - 1/5^3 - 1/9^3 + 1/12^3 + 1/16^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/26^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・)
+ F・1/2^3・(1/3^3 - 1/4^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～π/14)∫log(2sin(x/2))
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/14の定積分で、他の∫は0～xの定積分。
またA＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
じつは、次のLJ(s)が虚２次体Ｑ（√7）に対応するL（χ,s）となります。
次のLJ(s)が実２次体Q（√7）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則とその補充則を使えば、
確認することができます。私は、手計算で確認しました。
LJ(s)はディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種で、定義は次の通りです。
LJ(s)＝(1/1^s + 1/3^s - 1/5^s + 1/9^s - 1/11^s - 1/13^s
- 1/15^s - 1/17^s + 1/19^s - 1/23^s + 1/25^s + 1/27^s) +・・・・
(注意： + - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
LJ(s)は、mod 28に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 3 or 9 or 19 or 25 or 27 mod 28-->χ(a)＝1、
a≡5 or 11 or 13 or 15 or 17 or 23 mod 28 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)です。このχ(a)の導手はN＝28です。
さて、上の３回積分の結果で、三つの青字の級数たちがLJ(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，C，Eにかかる級数をそれぞれA1，C1，E1と表すと、次のようになる。
A1＝1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・
C1＝1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 +・・・
E1＝1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・
さて、A1+ C1- E1を計算すると、
A1+ C1- E1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。このように簡単に出るのです。
A1，C1，E1を「A1+ C1- E1」のように組み合わせれば、このようにLJ(s)を構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1はLJ(s)の分身とよべる存在であることがわかった。
終わり。
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［3π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果に3π/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
C・(1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・)
+ F・1/2^3・(1/1^3 - 1/6^3 - 1/8^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/27^3 +・・・)
+ E・(-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・)
+ B・1/2^3・(-1/2^3 + 1/5^3 + 1/9^3 - 1/12^3 - 1/16^3 + 1/19^3 + 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
+ A・(-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 +・・・)
+ D・1/2^3・(-1/3^3 + 1/4^3 + 1/10^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/18^3 + 1/24^3 - 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～3π/14)∫log(2sin(x/2))
A＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
上の３回積分の３つの青字の級数がじつはLJ(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLJ(s)を構成できることを
示します。LJ(s)の定義は上のπ/14代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，E，Aにかかる級数をそれぞれC1，E1，A1と表すと、次のようになる。
C1＝1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・
E1＝-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・
A1＝-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 +・・・
さて、C1- E1+ A1を計算すると、
C1- E1+ A1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［5π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果に5π/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
E・(1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・)
+ D・1/2^3・(-1/1^3 + 1/6^3 + 1/8^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/20^3 + 1/22^3 - 1/27^3 +・・・)
+ A・(-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・)
+ F・1/2^3・(-1/2^3 + 1/5^3 + 1/9^3 - 1/12^3 - 1/16^3 + 1/19^3 + 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
+ C・(1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・)
+ B・1/2^3・(1/3^3 - 1/4^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～5π/14)∫log(2sin(x/2))
A＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
上の３回積分の３つの青字の級数がじつはLJ(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLJ(s)を構成できることを
示します。LJ(s)の定義は上のπ/14代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数E，A，Cにかかる級数をそれぞれE1，A1，C1と表すと、次のようになる。
E1＝1/1^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/27^3 + 1/29^3 - 1/41^3 - 1/43^3 + 1/55^3 +・・・
A1＝-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・
C1＝1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・
さて、E1- A1- C1を計算すると、
E1- A1- C1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。
終わり。
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［9π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果に9π/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
E・(-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 -・・・)
+ D・1/2^3・(-1/1^3 + 1/6^3 + 1/8^3 - 1/13^3 - 1/15^3 + 1/20^3 + 1/22^3 - 1/27^3 +・・・)
+ A・(1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 -・・・)
+ F・1/2^3・(-1/2^3 + 1/5^3 + 1/9^3 - 1/12^3 - 1/16^3 + 1/19^3 + 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
+ C・(-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 -・・・)
+ B・1/2^3・(1/3^3 - 1/4^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～9π/14)∫log(2sin(x/2))
A＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
上の３回積分の３つの青字の級数がじつはLJ(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLJ(s)を構成できることを
示します。LJ(s)の定義は上のπ/14代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数E，A，Cにかかる級数をそれぞれE1，A1，C1と表すと、次のようになる。
E1＝-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 -・・・
A1＝1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 -・・・
C1＝-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 -・・・)
さて、-E1+ A1+ C1を計算すると、
-E1+ A1+ C1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［11π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果に11π/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
C・(-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 +・・・)
+ F・1/2^3・(1/1^3 - 1/6^3 - 1/8^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/27^3 +・・・)
+ E・(1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 +・・・)
+ B・1/2^3・(-1/2^3 + 1/5^3 + 1/9^3 - 1/12^3 - 1/16^3 + 1/19^3 + 1/23^3 - 1/26^3 +・・・)
+ A・(1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・)
+ D・1/2^3・(-1/3^3 + 1/4^3 + 1/10^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/18^3 + 1/24^3 - 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～11π/14)∫log(2sin(x/2))
A＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
上の３回積分の３つの青字の級数がじつはLJ(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLJ(s)を構成できることを
示します。LJ(s)の定義は上のπ/14代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数C，E，Aにかかる級数をそれぞれC1，E1，A1と表すと、次のようになる。
C1＝-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 +・・・
E1＝1/3^3 - 1/11^3 - 1/17^3 + 1/25^3 + 1/31^3 - 1/39^3 - 1/45^3 + 1/53^3 +・・・
A1＝1/5^3 - 1/9^3 - 1/19^3 + 1/23^3 + 1/33^3 - 1/37^3 - 1/47^3 + 1/51^3 +・・・
さて、-C1+ E1- A1を計算すると、
-C1+ E1- A1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
［13π/14代入］
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①の３回積分の結果に13π/14を代入すると、次のようになります。
３回積分
A・(-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 +・・・)
+ B・1/2^3・(1/1^3 - 1/6^3 - 1/8^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/20^3 - 1/22^3 + 1/27^3 +・・・)
+ C・(-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・)
+ D・1/2^3・(1/2^3 - 1/5^3 - 1/9^3 + 1/12^3 + 1/16^3 - 1/19^3 - 1/23^3 + 1/26^3 +・・・)
+ E・(-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 +・・・)
+ F・1/2^3・(1/3^3 - 1/4^3 - 1/10^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/18^3 - 1/24^3 + 1/25^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/14^3 -ζ(3) ＝∫(0～13π/14)∫log(2sin(x/2))
A＝cos(π/14)、B＝cos(2π/14)、C＝cos(3π/14)、D＝cos(4π/14)、E＝cos(5π/14)、F＝cos(6π/14)。
上の３回積分の３つの青字の級数がじつはLJ(s)の分身であり、それらを組み合わせることでLJ(s)を構成できることを
示します。LJ(s)の定義は上のπ/14代入を参照のこと。
［分身であることを示す］
係数A，C，Eにかかる級数をそれぞれA1，C1，E1と表すと、次のようになる。
A1＝-1/1^3 + 1/13^3 + 1/15^3 - 1/27^3 - 1/29^3 + 1/41^3 + 1/43^3 - 1/55^3 +・・・
C1＝-1/3^3 + 1/11^3 + 1/17^3 - 1/25^3 - 1/31^3 + 1/39^3 + 1/45^3 - 1/53^3 +・・・
E1＝-1/5^3 + 1/9^3 + 1/19^3 - 1/23^3 - 1/33^3 + 1/37^3 + 1/47^3 - 1/51^3 +・・・
さて、-A1- C1+ E1を計算すると、
-A1- C1+ E1
＝1/1^3 + 1/3^3 - 1/5^3 + 1/9^3 - 1/11^3 - 1/13^3
- 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/23^3 + 1/25^3 + 1/27^3 + ・・・
＝LJ(s)
となり、上で定義したLJ(s)が出てきます。
終わり。
*************************************************************************************
以上のような結果となります。
すべての場合において同じように単純に（簡単に）出てくることがわかります。
これはqπ/14代入のみならず、qπ/20代入，qπ/22代入など・・予想L-３を通じて「m＝4n+2 or 4n+3 の
２次体Ｑ（√m）」に対応する全てのqπ/kについても、上のqπ/14代入と同じようになっていると予想されます。
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