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予想Ｌ-１を拡張した予想L-２を提示しました。π/22代入も確認。出現する分身の個数に関する規則性を調べました。
「その１」で発見した美しい規則性と組み合わせ、予想L－１をさらに拡張（強化）します。
まず、その規則性（厳密にはこれも予想です）を書きます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
①を中心母等式とした場合、「偶奇性の規則」は次のようになっている。
さらに、予想L-１を書きます。
これら二つを組み合わせることで、次の予想L-２が生まれました。
予想L－２を検証した具体例をのせた表Bも再度掲げておきましょう。
L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
これまでの例ではすべて成立しています。
表B
注意１：青字は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
ここまでやったのですから、さらに、もう一つQ(√11)の具体例（π/22代入）も調べておきましょう。
次に記します。
①の統一的法則性の結果（重回積分-重回微分の結果）に、π/22を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
２回積分と３回積分の場合を記すと、次のようになります。
［π/22代入の式］
・
・
2回積分
-｛A・(1/1^2 + 1/21^2 - 1/23^2 - 1/43^2 + 1/45^2 + 1/65^2 - 1/67^2 - 1/87^2 +・・・)
+ B・1/2^2・(1 + 1/10^2 - 1/12^2 - 1/21^2 + 1/23^2 + 1/32^2 - 1/34^2 - 1/43^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/19^2 - 1/25^2 - 1/41^2 + 1/47^2 + 1/63^2 - 1/69^2 - 1/85^2 +・・・)
+ D・1/2^2・(1/2^2 + 1/9^2 - 1/13^2 - 1/20^2 + 1/24^2 + 1/31^2 - 1/35^2 - 1/42^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 + 1/17^2 - 1/27^2 - 1/39^2 + 1/49^2 + 1/61^2 - 1/71^2 - 1/83^2 +・・・)
+ F・1/2^2・(1/3^2 + 1/8^2 - 1/14^2 - 1/19^2 + 1/25^2 + 1/30^2 - 1/36^2 - 1/41^2 +・・・)
+ G・(1/7^2 + 1/15^2 - 1/29^2 - 1/37^2 + 1/51^2 + 1/59^2 - 1/73^2 - 1/81^2 +・・・)
+ H・1/2^2・(1/4^2 + 1/7^2 - 1/15^2 - 1/18^2 + 1/26^2 + 1/29^2 - 1/37^2 - 1/40^2 +・・・)
+ I・(1/9^2 + 1/13^2 - 1/31^2 - 1/35^2 + 1/53^2 + 1/57^2 - 1/75^2 - 1/79^2 +・・・）
+ J・1/2^2・(1/5^2 + 1/6^2 - 1/16^2 - 1/17^2 + 1/27^2 + 1/28^2 - 1/38^2 - 1/39^2 +・・・)
+ 1/11^2・L(2) ｝＝∫(0～π/22) log(2sin(x/2))
3回積分
L・(1/1^3 - 1/21^3 - 1/23^3 + 1/43^3 + 1/45^3 - 1/65^3 - 1/67^3 + 1/87^3 +・・・)
+ M・1/2^3・(1/1^3 - 1/10^3 - 1/12^3 + 1/21^3 + 1/23^3 - 1/32^3 - 1/34^3 + 1/43^3 +・・・)
+ N・(1/3^3 - 1/19^3 - 1/25^3 + 1/41^3 + 1/47^3 - 1/63^3 - 1/69^3 + 1/85^3 +・・・)
+ P・1/2^3・(1/2^3 - 1/9^3 - 1/13^3 + 1/20^3 + 1/24^3 - 1/31^3 - 1/35^3 + 1/42^3 +・・・)
+ Q・(1/5^3 - 1/17^3 - 1/27^3 + 1/39^3 + 1/49^3 - 1/61^3 - 1/71^3 + 1/83^3 +・・・)
+ R・1/2^3・(1/3^3 - 1/8^3 - 1/14^3 + 1/19^3 + 1/25^3 - 1/30^3 - 1/36^3 + 1/41^3 +・・・)
+ S・(1/7^3 - 1/15^3 - 1/29^3 + 1/37^3 + 1/51^3 - 1/59^3 - 1/73^3 + 1/81^3 +・・・)
+ T・1/2^3・(1/4^3 - 1/7^3 - 1/15^3 + 1/18^3 + 1/26^3 - 1/29^3 - 1/37^3 + 1/40^3 +・・・)
+ U・(1/9^3 - 1/13^3 - 1/31^3 + 1/35^3 + 1/53^3 - 1/57^3 - 1/75^3 + 1/79^3 +・・・)
+ V・1/2^2・(1/5^2 - 1/6^2 - 1/16^2 + 1/17^2 + 1/27^2 + 1/28^2 - 1/38^2 - 1/39^2 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/22^3 -ζ(3) ＝∫(0～π/22)∫log(2sin(x/2))
・
・
と、このようになりました。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/22の定積分で、他の∫は0～xの定積分。
ここで、A＝sin(π/22)、B＝sin(2π/22)、C＝sin(3π/22)、D＝sin(4π/22)、E＝sin(5π/22)、F＝sin(6π/22)、
G＝sin(7π/22)、H＝sin(8π/22)、I＝sin(9π/22)、J＝sin(10π/22)、
またL＝cos(π/22)、M＝cos(2π/22)、N＝cos(3π/22)、P＝cos(4π/22)、Q＝cos(5π/22)、R＝cos(6π/22)、
S＝cos(7π/22)、T＝cos(8π/22)、U＝cos(9π/22)、V＝cos(10π/22)。
注意：上の青字以外の級数は、L(χ,s)には直接関係しない級数のように思われますが、興味がないためよく調べて
いません。
このように分身に分かれましたが、はたして予想L-２は成立しているのでしょうか？
結論を先にいえば、成立しているのですが、見てみましょう。
π/22代入からいまｋ＝22ですからmod＝44で且つ導手N=44のχ(a)の実2次体Q(√11)に対応するL(χ,s)が
奇数回の微分，積分の結果のところに（よって上では３回積分の所に）出現することが予想されます。
そして、その通り、そこに分身の形となってLM2(s)がひっそり顔をのぞかせているのです。
（じつは2回積分の所にはLM1(s)が出現しています。４つの青字の級数からLM1(s)を構成できます。しかし、
もはや予想L－２ではLM1(s)は興味がありません。）
その前に、LM2(s)は初出ですので、定義を書きます。（LM1(s)は興味がないので略します）
定義は次の通りで、これはディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）です。
LM2(s)＝(1/1^s - 1/3^s + 1/5^s + 1/7^s + 1/9^s - 1/13^s - 1/15^s - 1/17^s + 1/19^s - 1/21^s
- 1/23^s + 1/25^s - 1/27^s - 1/29^s - 1/31^s + 1/35^s + 1/37^s + 1/39^s - 1/41^s + 1/43^s ) + ・・・
(注意： + - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LM2(s)は、mod 44に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 5 or 7 or 9 or 19 or 25 or 35 or 37 or 39 or 43 -->χ(a)＝1、
a≡3 or 13 or 15 or 17 or 21 or 23 or 27 or 29 or 31 or 41 mod 40 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。このχ(a)の導手NはN＝44です。
じつは、LM2(s)は実２次体Ｑ（√11）に対応するL（χ,s）となっているのです。
これは平方剰余の相互法則と補充則を用い、x^2≡a mod 11 という方程式を解くことを経由して確認することが
できます。私は、手計算で確認しました。
さて、３回積分に現れた四つの級数たち(青字のもの)がLM2(s)の分身とよべる存在であることを示します。
［分身であることを示す］
３回積分の青字に注目してください。
係数L，N，Q，S，U にかかる級数をそれぞれL1，N1，Q1，S1，U1と表すと、次のようになる。
L1＝1/1^3 - 1/21^3 - 1/23^3 + 1/43^3 + 1/45^3 - 1/65^3 - 1/67^3 + 1/87^3 +・・・
N1＝1/3^3 - 1/19^3 - 1/25^3 + 1/41^3 + 1/47^3 - 1/63^3 - 1/69^3 + 1/85^3 +・・・
Q1＝1/5^3 - 1/17^3 - 1/27^3 + 1/39^3 + 1/49^3 - 1/61^3 - 1/71^3 + 1/83^3 +・・・
S1＝1/7^3 - 1/15^3 - 1/29^3 + 1/37^3 + 1/51^3 - 1/59^3 - 1/73^3 + 1/81^3 +・・・
U1＝1/9^3 - 1/13^3 - 1/31^3 + 1/35^3 + 1/53^3 - 1/57^3 - 1/75^3 + 1/79^3 +・・・
さて、L1 - N1 + Q1 + S1 + U1 を計算すると、
L1 - N1 + Q1 + S1 + U1
＝(1/1^3 - 1/3^3 + 1/5^3 + 1/7^3 + 1/9^3 - 1/13^3 - 1/15^3 - 1/17^3 + 1/19^3 - 1/21^3
- 1/23^3 + 1/25^3 - 1/27^3 - 1/29^3 - 1/31^3 + 1/35^3 + 1/37^3 + 1/39^3 - 1/41^3 + 1/43^3 )
+ (1/45^3 - 1/47^3 + 1/49^3 + 1/51^3 + 1/53^3 - 1/57^3 - 1/59^3 - 1/61^3 + 1/63^3 - 1/65^3
- 1/67^3 + 1/69^3 - 1/71^3 - 1/73^3 - 1/75^3 + 1/79^3 + 1/81^3 + 1/83^3 - 1/85^3 + 1/87^3 ) + ・・・
となる。ところが、よく見ると、これは上で定義したLM2(s)の特殊値LM2(3)と一致している。
このようにL1，N1，Q1，S1，U1を、「L1 - N1 + Q1 + S1 + U1」と組み合わせればLM2(s)のLM2(2)を構成することが
できる。
L1，N1，Q1，S1，U1はLM2(s)の分身と呼べる存在であることがわかった。
終わり。
予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√11）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかりました。
ここでも、予想L-2は成り立っていることがわかりました。
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さらにQ(√11)という具体例の確認が加わったわけですから、表Bに追加しておきます。
予想L-２を検証した具体例をのせた表Bを表示します。
L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
これまでの例ではすべて成立しています。
表B
注意１：青字は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
これまで見てきた通り、qπ/k の k が大きくなると忍者が分身の術を使うがごとく、ゼータの分身たちが草陰から現れ
その力の結集によって予想L－２が成立する、というびっくりする状況が現出しているのでした。
一つ前「木星 その２」のπ/22代入では、3回積分の所に、５つの分身が現れました。
出現してくる分身の個数になにか規則性はないでしょうか。
これまでの計算過程を調べてみると、次のような規則性が成り立っているようなのです。
一度に現れる分身の個数をＭとすると、
ただし、これも当然これまでの観察から生まれたもので、予想にすぎません。
一つだけ具体例で見てみましょう。
π/22代入はQ(√11)の実２次体に対応していました。
いまmは11ですから、奇数です。よって、Ｍは、(11 - 1)/2＝5個となり、「５個の分身が出る！」と上は主張しています。
π/22代入を見てください（３回積分の所）。
きちんと、５個の分身が出現していますね。めでたしです。
念のための注意。上で「ただし、|m| > 4」としていますが、これは、もし|m| ＝< 4の場合は分身は現れずL(χ,s)本体が
直接顔を出すということを意味しています。
はたして、この予想は正しいのか、それともどこかで破綻が出るのか・・。
2004/12/23
上式はmの因数が多くなると成り立たなくなることがわかりました。詳しくは、海王星 その４以降で具体的に示してい
ますのでご覧ください。
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