海王星 その４
さて、「２次体の類数h」と「分割ゼータ／外分割ゼータの個数」との関係をみます。
2004/12/12 ＜「類数」と「分割ゼータ，外分割ゼータ」の関係＞
その３で示唆していたように、ここで「２次体の類数」と「分割ゼータ，外分割ゼータの個数」の関係をみていきま
予想L-４の発見によって、 ゼータが分裂するというまったく新しい現象があるというのがわかってきたので
した。
その分裂した個々のゼータたちを”分割ゼータ”、その仲間から外れたゼータたちを”外分割ゼータ”と「その３」で
名付けました。
私は、「本体のゼータが、複数のゼータに分裂するその分裂のし方になんらかの規則性があるのではないか？」
と思いました。
「類数に関係しているのでは・・？」と思い、ゼータ分裂の個数と類数の関係を多くの２次体Ｑ（√m）に関して実験的
に調べていきました。そうしたら、ありそうなのです。
実２次体、虚２次体とも調べましたが、実２次体でQ（√m）のmが501まで、虚２次体では509まで調べました。
「岩波数学辞典」p.1424，p.1425の数表５には、そのmまでの2次体の類数h の値が全てのっており、類数の値はそれ
を利用しました。
２次体では[4n+1]型と[4n+2, 4n+3]型で性質が違うので、また実２次体と虚２次体でも性質が異なるので、
それらを別々に考察しました。
（［4n+1］型、[4n+2，4n+3]型とは、Q(√m)のmが、m=4n+1かm=4n+2 or 4n+3 かという分類です。）
つまり、次のように大まかに４つに分けて調べたのです。
| [4n+1]型2次体Q（√m） |
［A］虚2次体
---------------------------
［B］実2次体 |
| [4n+2, 4n+3]型2次体Q（√m） |
［C］虚2次体
---------------------------
［D］実2次体 |
上の［A］，［B］，［C］，［D］の順に見ていきます。
＜［4n+1］型虚２次体の場合［A］を調べる＞
では、まずはじめに［A］から調べていきます。
[A]では［4n+1］型虚２次体Q(√-m)の場合ですが、mが「素数の場合」と「素数以外の場合」に分けて調べました。
（規則性を見るのは、その方がなにかと都合がよい）
はじめに具体例で、分割ゼータの個数の割り出し方の見当をつけます。まずmが「素数の場合」から。
●mが「素数の場合」
虚２次体Ｑ（√-m）のmが素数の場合ですから（m>0）、例えば、m＝11を考えましょう。Q（√-11）ですね。
これに関する予想L－４の確認は、「天王星 その２」の π/11代入でやりましたので（予想L－３と言っていますが
同じこと）、そちらを見てください。
そこを見ると、２回積分のところに、L(χ,s)ゼータ本体の分身たち、すなわち分割ゼータが現れていることが
わかりますね。５個現れています。
また別の具体例を見てみましょう。例えば、m＝19のQ（√-19）を見ます。
これに関する予想L－４の確認は、「天王星 その４」の π/19代入でやりましたので（予想L－３と言っていますが
同じこと）、そちらを見てください。
２回積分の結果には、分割ゼータが９個現れていることがわかるでしょう。
この５個や９個は、次のように算出される。
分割ゼータの個数をZとすると、
m＝11の場合----> Z＝(11-1)/2＝5 ------①
m＝19の場合----> Z＝(19-1)/2＝9 ------②
という計算によって出てくるのです。
なお、｢素数の場合｣には、外分割ゼータは一切現れません。
つまり、私の予想L-４は（以前予想L-３と呼んでいたものも同類）、単位円を等分割していって三角関数の計算を
していく過程にほかならないわけですが、そうすると、必然的に上のような計算になるわけです。
π/11代入あたりを体験していただくと、この意味はよくわかると思います。
①、②を参考にして、［4n+1］型虚２次体Q(√-m)の場合(m>0)の分割ゼータの個数Zを求める公式は次のように
なります。
Z＝(m-1)/2 ------③
この公式をもとに［4n+1］型2次体Q(√m)の分割ゼータの個数Zを求め、同時に類数hも表示したものが次表です。
［4n+1］型虚2次体Q(√-m)のmが「素数の場合」
Q(√-3)
Z＝1， h＝1
|
Q(√-7)
Z＝3， h＝1
|
Q(√-11)
Z＝5， h＝1
|
Q(√-19)
Z＝9， h＝1
|
Q(√-23)
Z＝11， h＝3
|
Q(√-31)
Z＝15， h＝3
|
Q(√-43)
Z＝21， h＝1
|
Q(√-47)
Z＝23， h＝5
|
Q(√-59)
Z＝29， h＝3
|
Q(√-67)
Z＝33， h＝1
|
Q(√-71)
Z＝35， h＝7
|
Q(√-79)
Z＝39， h＝5
|
Q(√-83)
Z＝41， h＝3
|
Q(√-103)
Z＝51， h＝5
|
Q(√-107)
Z＝53， h＝3
|
Q(√-127)
Z＝63， h＝5
|
Q(√-131)
Z＝65， h＝5
|
Q(√-139)
Z＝69， h＝3
|
Q(√-151)
Z＝75， h＝7
|
Q(√-163)
Z＝81， h＝1
|
Q(√-167)
Z＝83， h＝11
|
Q(√-179)
Z＝89， h＝5
|
Q(√-191)
Z＝95， h＝13
|
Q(√-199)
Z＝99， h＝9
|
Q(√-211)
Z＝105， h＝3
|
Q(√-223)
Z＝111， h＝7
|
Q(√-227)
Z＝113， h＝5
|
Q(√-239)
Z＝119， h＝15
|
Q(√-251)
Z＝125， h＝7
|
Q(√-263)
Z＝131， h＝13
|
Q(√-271)
Z＝135， h＝11
|
Q(√-283)
Z＝141， h＝3
|
Q(√-307)
Z＝153， h＝3
|
Q(√-311)
Z＝155， h＝19
|
Q(√-331)
Z＝165， h＝3
|
Q(√-347)
Z＝173， h＝5
|
Q(√-359)
Z＝179， h＝19
|
Q(√-367)
Z＝183， h＝9
|
Q(√-379)
Z＝189， h＝3
|
Q(√-383)
Z＝191， h＝17
|
Q(√-419)
Z＝209， h＝9
|
Q(√-431)
Z＝215， h＝21
|
Q(√-439)
Z＝219， h＝15
|
Q(√-443)
Z＝221， h＝5
|
Q(√-463)
Z＝231， h＝7
|
Q(√-467)
Z＝233， h＝7
|
Q(√-479)
Z＝239， h＝25
|
Q(√-487)
Z＝243， h＝7
|
Q(√-491)
Z＝245， h＝9
|
Q(√-499)
Z＝249， h＝3
|
Q(√-503)
Z＝251， h＝21
|
|
このようになります。
上でQ(√-3)はゼータは分裂しませんが（本体が一つ出現するのみ）、Z＝1は１個の分割ゼータということで
分裂していないという意味になっています。
上表より、分割ゼータの個数Zはすべて奇数であることがわかるでしょう。
また、類数h もすべて奇数（調べた範囲内で）となっています。
これは単に偶然の一致なのか？それとも、なにか意味があるのでしょうか？
以降、外分割ゼータが関係してくるようなさまざまな場合を調べていくと、どうやら関係していそうだと思えて
きています。たのしみにしていてください。
2004/12/15
この場合、虚２次体Ｑ（√-m）のmが素数以外の場合ですから（m>0）、例えば、m＝15を考えましょう。
Q（√-15）ですね。
これに関する予想L－４の確認は、「天王星 その２」の π/15代入でやりましたので（予想L－３と言っていますが
同じこと）、そちらを見てください。
そこを見ると、２回積分のところに、L(χ,s)ゼータ本体の分身たち、すなわち分割ゼータが現れていることが
わかりますね。４個現れています。
この４は、次のように算出される。
**********************************************
分割ゼータの個数をZとすると、m＝15の場合、つまりQ(√-15)の場合は次のようになる。
まず、(15-1)を2でわって14/2＝7と7を求める。15＝3×5であり、3と5にも着目する。
これから分割ゼータの個数Zは、
Z＝7-7/3-7/5＝7-2-1＝4 ------④
と求まる。
つまり、7個の級数たちから、(2+1)個の外分割ゼータを除いて、4個の分割ゼータを求めている。
**********************************************
ここで、7/3＝2.33・・とせず＝2としたのは、2.33・・の整数部分だけをとるという約束としたからです。この約束を
用いると分割ゼータの個数を求めるにはいろいろと便利なので、以下この約束を多用します。すなわち、小数部分を
無視するわけです。
よって、上では7/3＝2とし、7/5＝1として計算したのです。
「天王星 その２」の π/15代入でも見たとおり、こうすると、単位円を分割していって、”分割ゼータ”の 個数Zが自然に
求まることになります。 π/15代入を観察するとわかりますが、結局①では、すべての級数たちから外分割ゼータ（黒字）
を除いて、分割ゼータ（青字）だけを拾い集めている作業だとわかるでしょう。
π/15代入では、外分割ゼータ（黒字）は15＝3×5の3や5の 因数で括られる級数たちとなるのです。
④の箇所でやった計算は、［4n+1］型虚２次体Q(√-m)のmが素数以外のすべての場合に一般化される。
m＝15を含む509以下全ての素数以外のmについて調べました。
ここでは複雑化を避けるため外分割ゼータの個数は省略し、分割ゼータの個数（Z）だけを記しました。（ただ、Zの
求め方は、Z＝[全ての級数の個数]-[外分割ゼータの個数]ですから、式を見れば外分割ゼータの出方はわかる
ようになっています）
分割ゼータの個数Zを求め、同時に2次体の類数hも表示したものが次表です。(計算は上の”約束”を用いる)
求めた分割ゼータの個数Zが偶数のときは”グ”、奇数のときは”キ”と書くことにします。
また念のため、類数ｈにも”グ”、”キ”を記しました。
［4n+1］型虚2次体Q(√-m)のmが「素数以外の場合」(計算には上の”約束”を用いた 例：7/3＝2)
Q(√-15)
14/2＝7、また15＝3×5
よって、Z＝7-7/3-7/5＝7-2-1＝4グ
またh＝2グ |
Q(√-35)
34/2＝17、また35＝5×7
よって、Z＝17-17/5-17/7＝17-3-2＝12グ
またh＝2グ |
Q(√-39)
38/2＝19、また39＝3×13
よって、Z＝19-19/3-19/13＝19-6-1＝12グ
またh＝4グ |
Q(√-51)
50/2＝25、また51＝3×17
よって、Z＝25-25/3-25/17＝25-8-1＝16グ
またh＝2グ |
Q(√-55)
54/2＝27、また55＝5×11
よって、Z＝27-27/5-27/11＝27-5-2＝20グ
またh＝4グ |
Q(√-87)
86/2＝43、また87＝3×29
よって、Z＝43-43/3-43/29＝43-14-1＝28グ
またh＝6グ |
Q(√-91)
90/2＝45、また91＝7×13
よって、Z＝45-45/7-45/13＝45-6-3＝36グ
またh＝2グ |
Q(√-95)
94/2＝47、また95＝5×19
よって、Z＝47-47/5-47/19＝47-9-2＝36グ
またh＝8グ |
Q(√-111)
110/2＝55、また111＝3×37
よって、Z＝55-55/3-55/37＝55-18-1＝36グ
またh＝8グ |
Q(√-115)
114/2＝57、また115＝5×23
よって、Z＝57-57/5-57/23＝57-11-2＝44グ
またh＝2グ |
Q(√-119)
118/2＝59、また119＝7×17
よって、Z＝59-59/7-59/17＝59-8-3＝48グ
またh＝10グ |
Q(√-123)
122/2＝61、また123＝3×41
よって、Z＝61-61/3-61/41＝61-20-1＝40グ
またh＝2グ |
Q(√-143)
142/2＝71、また143＝11×13
よって、Z＝71-71/11-71/13＝71-6-5＝60グ
またh＝10グ |
Q(√-155)
154/2＝77、また155＝5×31
よって、Z＝77-77/5-77/31＝77-15-2＝60グ
またh＝4グ |
Q(√-159)
158/2＝79、また159＝3×53
よって、Z＝79-79/3-79/53＝79-26-1＝52グ
またh＝10グ |
Q(√-183)
182/2＝91、また183＝3×61
よって、Z＝91-91/3-91/61＝91-30-1＝60グ
またh＝8グ |
Q(√-187)
186/2＝93、また187＝11×17
よって、Z＝93-93/11-93/17＝93-8-5＝80グ
またh＝2グ |
Q(√-195)
194/2＝97、また195＝3×5×13
よって、
Z＝97-97/3-97/5-97/13+(97/15+97/39+97/65)
＝97-32-19-7+(6+2+1)＝48グ
またh＝4グ |
Q(√-203)
202/2＝101、また203＝7×29
よって、Z＝101-101/7-101/29＝101-14-3＝84グ
またh＝4グ |
Q(√-215)
214/2＝107、また215＝5×43
よって、Z＝107-107/5-107/43＝107-21-2＝84グ
またh＝14グ |
Q(√-219)
218/2＝109、また219＝3×73
よって、Z＝109-109/3-109/73＝109-36-1＝72グ
またh＝4グ |
Q(√-231)
230/2＝115、また231＝3×7×11
よって、
Z＝115-115/3-115/7-115/11+(115/21+115/77+115/33)
＝115-38-16-10+(5+1+3)＝60グ
またh＝12グ |
Q(√-235)
234/2＝117、また235＝5×47
よって、Z＝117-117/5-117/47＝117-23-2＝92グ
またh＝2グ |
Q(√-247)
246/2＝123、また247＝13×19
よって、Z＝123-123/13-123/19＝123-9-6＝108グ
またh＝6グ |
Q(√-255)
254/2＝127、また255＝3×5×17
よって、
Z＝127-127/3-127/5-127/17
+(127/15+127/85+127/51)
＝127-42-25-7+(8+1+2)＝64グ
またh＝12グ |
Q(√-259)
258/2＝129、また259＝7×37
よって、Z＝129-129/7-129/37＝129-18-3＝108グ
またh＝4グ |
Q(√-267)
266/2＝133、また267＝3×89
よって、Z＝133-133/3-133/89＝133-44-1＝88グ
またh＝2グ |
Q(√-287)
286/2＝143、また287＝7×41
よって、Z＝143-143/7-143/41＝143-20-3＝120グ
またh＝14グ |
Q(√-291)
290/2＝145、また291＝3×97
よって、Z＝145-145/3-145/97＝145-48-1＝96グ
またh＝4グ |
Q(√-295)
294/2＝147、また295＝5×59
よって、Z＝147-147/5-147/59＝147-29-2＝116グ
またh＝8グ |
Q(√-299)
298/2＝149、また299＝13×23
よって、Z＝149-149/13-149/23＝149-11-6＝132グ
またh＝8グ |
Q(√-303)
302/2＝151、また303＝3×101
よって、Z＝151-151/3-151/101＝151-50-1＝100グ
またh＝10グ |
Q(√-319)
318/2＝159、また319＝11×29
よって、Z＝159-159/11-159/29＝159-14-5＝140グ
またh＝10グ |
Q(√-323)
322/2＝161、また323＝17×19
よって、Z＝161-161/17-161/19＝161-9-8＝144グ
またh＝4グ |
Q(√-327)
326/2＝163、また327＝3×109
よって、Z＝163-163/3-163/109＝163-54-1＝108グ
またh＝12グ |
Q(√-335)
334/2＝167、また335＝5×67
よって、Z＝167-167/5-167/67＝167-33-2＝132グ
またh＝18グ |
Q(√-339)
338/2＝169、また339＝3×113
よって、Z＝169-169/3-169/113＝169-56-1＝112グ
またh＝6グ |
Q(√-355)
354/2＝177、また355＝5×71
よって、Z＝177-177/5-177/71＝177-35-2＝140グ
またh＝4グ |
Q(√-371)
370/2＝185、また371＝7×53
よって、Z＝185-185/7-185/53＝185-26-3＝156グ
またh＝8グ |
Q(√-391)
390/2＝195、また391＝17×23
よって、Z＝195-195/17-195/23＝195-11-8＝176グ
またh＝14グ |
Q(√-395)
394/2＝197、また395＝5×79
よって、Z＝197-197/5-197/79＝197-39-2＝156グ
またh＝8グ |
Q(√-399)
398/2＝199、また399＝3×7×19
よって、
Z＝199-199/3-199/7-199/19
+(199/21+199/133+199/57)
＝199-66-28-10+(9+1+3)＝108グ
またh＝16グ |
Q(√-403)
402/2＝201、また403＝13×31
よって、Z＝201-201/13-201/31＝201-15-6＝180グ
またh＝2グ |
Q(√-407)
406/2＝203、また407＝11×37
よって、Z＝203-203/11-203/37＝203-18-5＝180グ
またh＝16グ |
Q(√-411)
410/2＝205、また411＝3×137
よって、Z＝205-205/3-205/137＝205-68-1＝136グ
またh＝6グ |
Q(√-415)
414/2＝207、また415＝5×83
よって、Z＝207-207/5-207/83＝207-41-2＝164グ
またh＝10グ |
Q(√-427)
426/2＝213、また427＝7×61
よって、Z＝213-213/7-213/61＝213-30-3＝180グ
またh＝2グ |
Q(√-435)
434/2＝217、また435＝3×5×29
よって、
Z＝217-217/3-217/5-217/29
+(217/15+217/145+217/87)
＝217-72-43-7+(14+1+2)＝112グ
またh＝4グ |
Q(√-447)
446/2＝223、また447＝3×149
よって、Z＝223-223/3-223/149＝223-74-1＝148グ
またh＝14グ |
Q(√-451)
450/2＝225、また451＝11×41
よって、Z＝225-225/11-225/41＝225-20-5＝200グ
またh＝6グ |
Q(√-455)
454/2＝227、また455＝5×7×13
よって、
Z＝227-227/5-227/7-227/13
+(227/35+227/91+227/65)
＝227-45-32-17+(6+2+3)＝144グ
またh＝20グ |
Q(√-471)
470/2＝235、また471＝3×157
よって、Z＝235-235/3-235/157＝235-78-1＝156グ
またh＝16グ |
Q(√-483)
482/2＝241、また483＝3×7×23
よって、
Z＝241-241/3-241/7-241/23
+(241/21+241/161+241/69)
＝227-80-34-10+(11+1+3)＝132グ
またh＝4グ |
|
以上のような結果となりました。
面白いことに、分割ゼータの個数Zも類数hもともに、調べた範囲内ですべて偶数（”グ”とした）となっています。
Z とh の間には、なにか関係がありそうですが、ここでは調べたのは［4n+1］型虚２次体Q(√-m)の場合のみ
（全体のごく一部）ですので、まだなんともいえません。たんなる偶然の一致なのかもしれません。
もっと他の場合を調べていくことにします（次頁から）。
なお、青字の箇所は計算が少し他と違っていますが、ここは他と違って、mが３つの因数からなり、２重の引き算を
考慮して、その余計に引き算した分を再度足してやる必要があるからです。例えば、Ｑ（√-483）では
483＝3×7×23と３つの因数をもちますが、Z＝241-241/3-241/7-241/23+(241/21+241/161+241/69) と計算
しているのは、赤文字で２重に引いた分を、3×7、7×23、3×23の各因数の共通の倍数を考慮して、青字で再度足し
合わせているためなのです。こうしないと正確な計算とならないので、ご注意ください。
ここで、わかったことをまとめておきます。
［4n+1］型虚２次体Q(√-m)の場合
●mが「素数の場合」
分割ゼータの個数Z は、すべて奇数。
Ｑ（√-m）の類数h は、すべて奇数。
●mが「素数以外の場合」
分割ゼータの個数Z は、すべて偶数。
Ｑ（√-m）の類数h は、すべて偶数。
以上。
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