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予想L-３の確認を続けます。π/15代入，π/17代入の場合を調べました。
①の統一的法則性の結果に、π/15を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
まずは①を重回積分-重回微分した結果を書き下します。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x にπ/15を代入すると、次のようになります。
２回積分のみ！を書き下します。それで十分なことはすぐ後で述べます。
［π/15代入の式］
2回積分
-｛A・(1/1^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/29^2 + 1/31^2 + 1/44^2 - 1/46^2 - 1/59^2 +・・・)
+ B・(1/2^2 + 1/13^2 - 1/17^2 - 1/28^2 + 1/32^2 + 1/43^2 - 1/47^2 - 1/58^2 +・・・)
+ C・(1/3^2 + 1/12^2 - 1/18^2 - 1/27^2 + 1/33^2 + 1/42^2 - 1/48^2 - 1/57^2 +・・・)
+ D・(1/4^2 + 1/11^2 - 1/19^2 - 1/26^2 + 1/34^2 + 1/41^2 - 1/49^2 - 1/56^2 +・・・)
+ E・(1/5^2 + 1/10^2 - 1/20^2 - 1/25^2 + 1/35^2 + 1/40^2 - 1/50^2 - 1/55^2 +・・・)
+ F・(1/6^2 + 1/9^2 - 1/21^2 - 1/24^2 + 1/36^2 + 1/39^2 - 1/51^2 - 1/54^2 +・・・)
+ G・(1/7^2 + 1/8^2 - 1/22^2 - 1/23^2 + 1/37^2 + 1/38^2 - 1/52^2 - 1/53^2 +・・・)｝
＝∫(0～π/15) log(2sin(x/2))
となります。
ここで、A＝sin(π/15)、B＝sin(2π/15)、C＝sin(3π/15)、D＝sin(4π/15)、E＝sin(5π/15)、F＝sin(6π/15)、
G＝sin(7π/15)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/15の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
予想Ｌ－３を書きます。
さて、上のπ/15代入の結果が、この予想を支持しているか否か以下見ましょう。
いまπ/15代入ですから、もちろん、k＝15です。よって、導手NがN＝15であり、且つ15＝|m|である虚２次体Q(√-15)
に対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま虚２次体Ｑ(√-15)が考察の対象ですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√-15)に対応するL(χ,s)は偶数回の
微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で２回積分のみに注目したのです。
上の２回積分の結果は、予想L-３を成立させているのでしょうか？
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下説明します。
２回積分の４つの青字の級数はLS(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LS(s)は初出ですので定義を書きます。次のもので、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LS(s)＝(1/1^s + 1/2^s + 1/4^s - 1/7^s + 1/8^s - 1/11^s - 1/13^s - 1/14^s)
+ (1/16^s + 1/17^s + 1/19^s - 1/22^s + 1/23^s - 1/26^s - 1/28^s - 1/29^s) +・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LS(s)は、mod 15に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 or 8 mod 15-->χ(a)＝1、
a≡7 or 11 or 13 or 14 mod 15 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)に対応したL(χ,s)となります。そして、このχ(a)の導手はN＝15です。
じつは、LS(s)はＱ（√-15）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LS(s)がQ（√-15）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って私が手計算で確め
ました。
さて、２回積分の４つの青字の級数たちがLS(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，D，Gにかかる級数をそれぞれA1，B1，D1，G1と表すと、次のようになる。
A1＝1/1^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/29^2 + 1/31^2 + 1/44^2 - 1/46^2 - 1/59^2 +・・・
B1＝1/2^2 + 1/13^2 - 1/17^2 - 1/28^2 + 1/32^2 + 1/43^2 - 1/47^2 - 1/58^2 +・・・
D1＝1/4^2 + 1/11^2 - 1/19^2 - 1/26^2 + 1/34^2 + 1/41^2 - 1/49^2 - 1/56^2 +・・・
G1＝1/7^2 + 1/8^2 - 1/22^2 - 1/23^2 + 1/37^2 + 1/38^2 - 1/52^2 - 1/53^2 +・・・
さて、A1- B1 - D1 - G1を計算すると、
A1- B1 - D1 - G1
＝(1/1^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/29^2 + 1/31^2 + 1/44^2 - 1/46^2 - 1/59^2 + ・・・)
- (1/2^2 + 1/13^2 - 1/17^2 - 1/28^2 + 1/32^2 + 1/43^2 - 1/47^2 - 1/58^2 + ・・・)
- (1/4^2 + 1/11^2 - 1/19^2 - 1/26^2 + 1/34^2 + 1/41^2 - 1/49^2 - 1/56^2 + ・・・)
- (1/7^2 + 1/8^2 - 1/22^2 - 1/23^2 + 1/37^2 + 1/38^2 - 1/52^2 - 1/53^2 + ・・・)
＝1/1^2 - 1/2^2 - 1/4^2 - 1/7^2 - 1/8^2 - 1/11^2 - 1/13^2 + 1/14^2
- 1/16^2 + 1/17^2 + 1/19^2 + 1/22^2 + 1/23^2 + 1/26^2 + 1/28^2 - 1/29^2 + ・・・
＝1/1^2 + 1/2^2 + 1/4^2 - 1/7^2 + 1/8^2 - 1/11^2 - 1/13^2 - 1/14^2
+ 1/16^2 + 1/17^2 + 1/19^2 - 1/22^2 + 1/23^2 - 1/26^2 - 1/28^2 - 1/29^2 + ・・・
+ (-2/2^2 - 2/4^2 - 2/8^2 + 2/14^2 - 2/16^2 + 2/22^2 + 2/26^2 + 2/28^2 + ・・・)
＝LS(2) - 2/2^2・(1/1^2 + 1/2^2 + 1/4^2 - 1/7^2 + 1/8^2 - 1/11^2 - 1/13^2 - 1/14^2 + ・・・)
＝LS(2) - 1/2・LS(2)
＝(1 - 1/2)・LS(2)
となり、上で定義したLS(s)の特殊値LS(2)が出てくるのである！
A1，B1，D1，G1を「A1- B1 - D1 - G1」のように組み合わせると、このようにLS(s)を構成することができるので
ある。
これで、A1，B1，D1，G1はLS(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと虚２次体Ｑ（√-15）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかり
ました。
π/15代入でも、やはり予想L-３は成立していました。
次の①の統一的法則性の結果に、π/17を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
一つ上のπ/15の［重回積分、重回微分した一連の式］の x にπ/17を代入すると、次のようになります。
π/17代入の計算はこれがはじめてです。
３回積分のみ！を書き下しますが、それで十分なことは（一つ上でも述べましたが）すぐ後で説明します。
［π/17代入の式］
・
・
3回積分
A・(1/1^3 - 1/16^3 - 1/18^3 + 1/33^3 + 1/35^3 - 1/50^3 - 1/52^3 + 1/67^3 +・・・)
+ B・(1/2^3 - 1/15^3 - 1/19^3 + 1/32^3 + 1/36^3 - 1/49^3 - 1/53^3 + 1/66^3 +・・・)
+ C・(1/3^3 - 1/14^3 - 1/20^3 + 1/31^3 + 1/37^3 - 1/48^3 - 1/54^3 + 1/65^3 +・・・)
+ D・(1/4^3 - 1/13^3 - 1/21^3 + 1/30^3 + 1/38^3 - 1/47^3 - 1/55^3 + 1/64^3 +・・・)
+ E・(1/5^3 - 1/12^3 - 1/22^3 + 1/29^3 + 1/39^3 - 1/46^3 - 1/56^3 + 1/63^3 +・・・)
+ F・(1/6^3 - 1/11^3 - 1/23^3 + 1/28^3 + 1/40^3 - 1/45^3 - 1/57^3 + 1/62^3 +・・・)
+ G・(1/7^3 - 1/10^3 - 1/24^3 + 1/27^3 + 1/41^3 - 1/44^3 - 1/58^3 + 1/61^3 +・・・)
+ H・(1/8^3 - 1/9^3 - 1/25^3 + 1/26^3 + 1/42^3 - 1/43^3 - 1/59^3 + 1/60^3 +・・・)
- (1-1/2^2)ζ(3)/17^3 -ζ(3)
＝∫(0～π/17)∫log(2sin(x/2))
・
・
となります。
ここで、A＝cos(π/17)、B＝cos(2π/17)、C＝cos(3π/17)、D＝cos(4π/17)、E＝cos(5π/17)、F＝cos(6π/17)、
G＝cos(7π/17)、H＝cos(8π/17)。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～π/17の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
もう一度、予想Ｌ－３を書きましょう。
さて、上のπ/17代入の結果が、この予想を支持しているか否かを以下見ましょう。
いまπ/17代入ですから、もちろん、k＝17です。よって、N＝17の導手Nをもち、且つ17＝|m|である実２次体Q(√17)
に対応するＬ(χ,ｓ)が出現してくるはずです。
またいま実２次体Ｑ(√17)が考察の対象になっているわけですから、予想Ｌ-３の後半からQ(√17)に対応する
L(χ,s)は奇数回の微分・積分の所に現れているはずだとなります。よって、上で３回積分だけ注目したのです。
結論からいえば、ここでも予想L－３は成り立っているのですが、以下説明します。
３回積分の６つの青字の級数はLT(s)の分身とよぶべき級数であったのです。
LT(s)は初出ですので定義を書きます。次のものであり、ディリクレのＬ関数Ｌ（χ,ｓ）の一種です。
LT(s)＝(1/1^s + 1/2^s - 1/3^s + 1/4^s - 1/5^s - 1/6^s - 1/7^s + 1/8^s
+ 1/9^s - 1/10^s - 1/11^s - 1/12^s + 1/13^s - 1/14^s + 1/15^s + 1/16^s ) + ・・・
(注意： + - はこの（）の単位で延々とくり返されていく。)
上をディリクレ指標χ(a)を用いて表現すると、次のようになります。
LT(s)は、mod 17に対応したχ(a)をもち、
「 a≡1 or 2 or 4 or 8 or 9 or 13 or 15 or 16 mod 17-->χ(a)＝1、
a≡3 or 5 or 6 or 7 or 10 or 11 or 12 or 14 mod 17 -->χ(a)＝-1、
それ以外のaではχ(a)＝0」
というχ(a)をもつL(χ,s)となります。このχ(a)の導手はN＝17です。
じつは、LT(s)が実２次体Ｑ（√17）に対応するL（χ,s）となっているのです。
LT(s)がまさしくQ（√17）に対応するL（χ,s）であることは、平方剰余の相互法則と補充則を使って手計算で
確めました。
さて、３回積分の６つの青字の級数たちがLT(s)の分身であることを示します。
［分身であることを示す］
係数A，B，C，D，E，F，G，Hにかかる級数をそれぞれA1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1と表すと、次のようになる。
A1=1/1^3 - 1/16^3 - 1/18^3 + 1/33^3 + 1/35^3 - 1/50^3 - 1/52^3 + 1/67^3 +・・・
B1=1/2^3 - 1/15^3 - 1/19^3 + 1/32^3 + 1/36^3 - 1/49^3 - 1/53^3 + 1/66^3 +・・・
C1＝1/3^3 - 1/14^3 - 1/20^3 + 1/31^3 + 1/37^3 - 1/48^3 - 1/54^3 + 1/65^3 +・・・
D1＝1/4^3 - 1/13^3 - 1/21^3 + 1/30^3 + 1/38^3 - 1/47^3 - 1/55^3 + 1/64^3 +・・・
E1＝1/5^3 - 1/12^3 - 1/22^3 + 1/29^3 + 1/39^3 - 1/46^3 - 1/56^3 + 1/63^3 +・・・
F1＝1/6^3 - 1/11^3 - 1/23^3 + 1/28^3 + 1/40^3 - 1/45^3 - 1/57^3 + 1/62^3 +・・・
G1＝1/7^3 - 1/10^3 - 1/24^3 + 1/27^3 + 1/41^3 - 1/44^3 - 1/58^3 + 1/61^3 +・・・
H1＝1/8^3 - 1/9^3 - 1/25^3 + 1/26^3 + 1/42^3 - 1/43^3 - 1/59^3 + 1/60^3 +・・・
さて、A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1を計算すると、次のようになります。
A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1
＝(1/1^3 - 1/16^3 - 1/18^3 + 1/33^3 + 1/35^3 - 1/50^3 - 1/52^3 + 1/67^3 +・・・)
-(1/2^3 - 1/15^3 - 1/19^3 + 1/32^3 + 1/36^3 - 1/49^3 - 1/53^3 + 1/66^3 +・・・)
-(1/3^3 - 1/14^3 - 1/20^3 + 1/31^3 + 1/37^3 - 1/48^3 - 1/54^3 + 1/65^3 +・・・)
-(1/4^3 - 1/13^3 - 1/21^3 + 1/30^3 + 1/38^3 - 1/47^3 - 1/55^3 + 1/64^3 +・・・)
-(1/5^3 - 1/12^3 - 1/22^3 + 1/29^3 + 1/39^3 - 1/46^3 - 1/56^3 + 1/63^3 +・・・)
+(1/6^3 - 1/11^3 - 1/23^3 + 1/28^3 + 1/40^3 - 1/45^3 - 1/57^3 + 1/62^3 +・・・)
-(1/7^3 - 1/10^3 - 1/24^3 + 1/27^3 + 1/41^3 - 1/44^3 - 1/58^3 + 1/61^3 +・・・)
-(1/8^3 - 1/9^3 - 1/25^3 + 1/26^3 + 1/42^3 - 1/43^3 - 1/59^3 + 1/60^3 +・・・)
＝1/1^3 - 1/2^3 - 1/3^3 - 1/4^3 - 1/5^3 + 1/6^3 - 1/7^3 - 1/8^3
+ 1/9^3 + 1/10^3 - 1/11^3 + 1/12^3 + 1/13^3 + 1/14^3 + 1/15^3 - 1/16^3
- 1/18^3 + 1/19^3 + 1/20^3 + 1/21^3 + 1/22^3 - 1/23^3 + 1/24^3 + 1/25^3
- 1/26^3 - 1/27^3 + 1/28^3 - 1/29^3 - 1/30^3 - 1/31^3 - 1/32^3 + 1/33^3 + ・・・
＝1/1^3 + 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 - 1/5^3 - 1/6^3 - 1/7^3 + 1/8^3
+ 1/9^3 - 1/10^3 - 1/11^3 - 1/12^3 + 1/13^3 - 1/14^3 + 1/15^3 + 1/16^3
+ 1/18^3 + 1/19^3 - 1/20^3 + 1/21^3 - 1/22^3 - 1/23^3 - 1/24^3 + 1/25^3
+ 1/26^3 - 1/27^3 - 1/28^3 - 1/29^3 + 1/30^3 - 1/31^3 + 1/32^3 + 1/33^3 + ・・・
+ (-2/2^3 - 2/4^3 + 2/6^3 - 2/8^3 + 2/10^3 + 2/12^3 + 2/14^3 - 2/16^3
- 2/18^3 + 2/20^3 + 2/22^3 + 2/24^3 - 2/26^3 + 2/28^3 - 2/30^3 - 2/32^3+ ・・・)
＝LT(3) - 2/2^3・( 1/1^3 + 1/2^3 - 1/3^3 + 1/4^3 - 1/5^3 - 1/6^3 - 1/7^3 + 1/8^3 + ・・・)
＝LT(3) - 1/2^2・LT(3)
＝(1 - 1/2^2)・LT(3)
となり、上で定義したLT(s)の特殊値LT(3)が出てくるのである！
A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1を「A1-B1-C1-D1-E1+F1-G1-H1」のように組み合わせると、このようにLT(s)を
構成することができるのである。
これで、A1，B1，C1，D1，E1，F1，G1，H1はLT(s)の分身であることがわかった。
終わり。
よって予想通り、ちゃんと実２次体Ｑ（√17）に対応するL（χ,s）が分身の姿で出現していることがわかり
ました。
以上より、π/17代入でも予想L-３は成立していることがわかりました。
π/15代入とπ/17代入の場合もわかりましたので、「その２」でみた最新の表Aに追加しておき
ましょう。
下表では、L(χ,s)本体が露に出現する場合を◎で、分身を経由して出現する場合を○で表現しています。
◎、○どちらでも”予想が成り立っている”ことを意味します。（予想が破綻した場合は×を挿入するつもりです。）
表A
注意１：L（χ,s）欄は、各々の２次体に対応するL（χ,s）を示す。
注意２：一番下の行の「偶，奇」は、Q(√m)に対応するL(χ,s)特殊値が偶数回の積分（微分）の所に現れた場合に「偶」、
奇数回の積分（微分）の所に現れた場合に「奇」と記しています。
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