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＜ 定理２の導出 ＞
＜ 定理２-２の導出 ＞
私は、８年前に「e^xに関する公式の発見 その２」で、”作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・）”と”微分方程式”という別の
世界を結びつける次の定理を発見していた。（若干表現を修正）
この定理は「小島彗星」などでも見た次の定理３（作用素の定理）とも密接に関連するものである。これらは定理３から
自然に導かれる。なお、定理２、定理２-２、定理３（作用素の定理）、定理４（作用素の定理）はほぼ同時期に発見したもの
である（2003年）。
定理２の内容をすこし具体的に見てみよう。「e^xに関する公式の発見 その２」の例を再掲する(若干の変更あり）。
[再掲]**********************************************************************************
例えばＧ(x)=e^xだとして、具体的に（∫+∫＾2+∫＾3+・・・）e＾xを上の手法で求めてみましょう。
［解法］
いま、G（x）=e＾xとしていますから、定理２の微分方程式に相当するものは、
ｆ′（ｘ）－ｆ（ｘ）＝e＾x --------③
となります。
f(x)＝ｙとして、微分方程式らしく書き換えると、
ｄｙ／ｄｘ－ｙ＝e＾x ---------④
となりますが、同じことです。
③または④の微分方程式を解くのは簡単です。この手の定数係数の微分方程式は解き方がパターン化されています。
まず右辺0の
ｄｙ／ｄｘ－ｙ＝0
の微分方程式を考え、その一般解は、
ｙ＝C・e＾x
となります。Cは定数です。
さて、④の特解（特殊解）を求めるために、定数CをC（ｘ）と関数とみることにしましょう。
つまり、 ｙ＝C(ｘ)・e＾x ---------⑤
とおき、これを④に代入して計算すると、簡単な計算より、
C′(ｘ)＝1
となります。よって、C（ｘ）＝ｘ＋C （Cは定数です）
これを⑤に代入して、
ｙ＝（ｘ＋C）・e＾x＝C・e＾x＋ｘ・e＾x （Cは定数）
となり、これが、④すなわち③の微分方程式の一般解です。
さて、晴れてf(x)＝C・e＾x＋ｘ・e＾xと求まりましたので、あとは、f(x)－ｆ(0)・e^x を求めればよいわけです。f(0)＝Cより、
f(x)－ｆ(0)・e^x＝C・e＾x＋ｘ・e＾x－C・e＾x
＝ｘ・e＾x <--- 一般解に関係するC・e＾xの部分がうまく消えてしまう！
となり、(∫+∫＾2+∫＾3+・・・）e＾xの正体は、ｘ・e＾x とわかりました。
もちろん、(∫+∫＾2+∫＾3+・・・）e＾x を直接計算しても ｘ・e＾x が出ます。
・・・・（略）・・・・
他にも（∫+∫^2+∫^3+・・・）ｘ、（∫+∫^2+∫^3+・・・）ｘ^2・ｅ＾(-ｘ)、（∫+∫^2+∫^3+・・・）（x^2－3x＋５）、
（∫+∫^2+∫^3+・・・）（cosx＋sinx）なども上の手法で簡単に求めることができます。
答えだけ書いておきます。みなさんも計算してみてください。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）x＝-x－1＋e^x
（∫+∫^2+∫^3+・・・）x^2・ｅ＾(-x)＝ｅ＾(-x)・（-x^2/2－x/2－1/4）＋e^x/4
（∫+∫^2+∫^3+・・・）（x^2－3x＋5）＝-x^2＋x－4＋4e^x
（∫+∫^2+∫^3+・・・）（cosx＋sinx）＝e^x－cosx
［再掲終わり］***************************************************************************************
このようにこの定理は、（∫+∫^2+∫^3+・・・）ｇ（ｘ）という無限の作用素による計算がなぜか微分方程式と関係していると
いう不思議な関係を表す定理なのである。
上記は１階の微分方程式との関連を見たが、「e^xに関する公式の発見 その２」では２階、３階の微分方程式との関連
も示した。しかし、これを発見した2003年当時はあまり整理された状態で書いておらず、しかも定理３（作用素の定理）を発見
する前にこの微分方程式の定理を先に発表していたりして、未整理との感を免れない。
この定理３（作用素の定理）を中心にして微分方程式との関連を導く方がいまとなっては自然に思えるので、もうすこし
整理・拡張した形で書き直していきたい。
では、まず定理２を導くことにする。
ここでは定理２を導出することにする。
[導出]
次の定理３を用いて定理２を導く。
まず定理３（作用素の定理）のＧ(x)をｆ(x)に置き換えておく。すると、当然ながら次が成り立つ。
e^x∫e^(-x)f(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）f（x） ----①
さて∫e^(-x)・ｆ(x)dxに部分積分を適用すると、次のようになる。（∫の計算範囲はすべて0～xである。）
∫e^(-x)・ｆ(x)dx＝[-e^(-x)・ｆ(x)](0～x) － ∫｛-e^(-x)｝・ｆ´(x)dx
＝-e^(-x)・ｆ(x) + ｆ(0) + ∫e^(-x)・ｆ´(x)dx
この両辺にe^xをかけて次を得る。
e^x∫e^(-x)・ｆ(x)dx＝-ｆ(x) + e^x・ｆ(0) + e^x∫e^(-x)・ｆ´(x)dx
よって、
e^x∫e^(-x)・｛ｆ´(x)-ｆ(x)｝dx＝ｆ(x) - e^x・ｆ(0) ----②
①より、作用素e^x∫e^(-x)＝作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・） であるから②は次のようになる。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）｛ｆ´(x)-ｆ(x)｝dx＝ｆ(x) - e^x・ｆ(0) ----③
いま ｆ´(x)-ｆ(x)＝Ｇ(x) ----④
として（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ(x)を求めたいとしよう。すると、③右辺のｆ(x)の正体が求まりさえすばあとは ｆ(x) - e^x・ｆ(0) を
計算するだけで（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ(x)が求まることに気づく。すなわち、ｆ´(x)-ｆ(x)＝Ｇ(x) という微分方程式が解ければ
（ｆ(x)の正体が求まれば）全ては解決するのである。
しかも、うまく出来たことに、ｆ´(x)-ｆ(x)＝0 から出る基本解C・e^x は
②の右辺＝f(x)－e^x・ｆ(0)＝C・e＾x－e＾x・C・e＾0＝0
となり相殺されて消えてしまう！ため、結局④の微分方程式の特解（特殊解）さえ求まればＯＫなのである。
つまり、②の右辺を特解のｆ(x)で計算すると（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ(x)が求まることになる。
よって、定理２が証明された。
[終わり］
このように定理２を導くことができた。
次に定理２-２を導出することにする。
[導出]
定理４を用いて定理２-２を導く。
まず定理４（作用素の定理）のＧ(x)をｆ(x)に置き換えておく。すると当然ながら次が成り立つ。
e^(-x)∫e^x f(x)ｄx＝（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）f（x） ----①
さて∫e^x・ｆ(x)dxに部分積分を適用すると次のようになる。（∫の計算範囲はすべて0～xである。）
∫e^x・ｆ(x)dx＝[e^x・ｆ(x)](0～x) － ∫e^x・ｆ´(x)dx
＝e^x・ｆ(x) - ｆ(0) - ∫e^x・ｆ´(x)dx
この両辺にe^(-x)をかけて次を得る。
e^(-x)∫e^x・ｆ(x)dx＝ｆ(x) - e^(-x)・ｆ(0) - e^(-x)∫e^x・ｆ´(x)dx
よって、
e^(-x)∫e^x・｛ｆ´(x) + ｆ(x)｝dx＝ｆ(x) - e^(-x)・ｆ(0) ----②
①より、作用素e^(-x)∫e^x＝作用素（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・） であるから②は次のようになる。
（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）｛ｆ´(x) + ｆ(x)｝dx＝ｆ(x) - e^(-x)・ｆ(0) ----③
いま ｆ´(x) + ｆ(x)＝Ｇ(x) ----④
として（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）Ｇ(x)を求めたいとしよう。
すると、③右辺のｆ(x)の正体が求まりさえすばあとは ｆ(x) - e^(-x)・ｆ(0) を計算するだけで（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）Ｇ(x)
が求まることに気づく。
すなわち、ｆ´(x) + ｆ(x)＝Ｇ(x) という微分方程式が解ければ（ｆ(x)の正体が求まれば）、全ては解決するのである。
しかも、うまく出来たことに、ｆ´(x) + ｆ(x)＝0 から出る基本解C・e^(-x) は
②の右辺＝f(x) - e^(-x)・ｆ(0)＝C・e＾(-x)－e＾(-x)・C・e^0＝0
となり相殺されて消えてしまう！ため、結局④の微分方程式の特解（特殊解）さえ求まればＯＫなのである。
つまり、②の右辺を特解のｆ(x)で計算すると（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）Ｇ(x)が求まることになる。
よって、定理２-２が証明された。
[終わり］
このように定理２-２を導くことができた。
具体例を一つ見てみよう。
この定理を使うと、
（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）cosx
はいくらになるか？
微分方程式 ｆ´(x)+ｆ(x)=cosx の特解が、目視でｆ(x)=(cosx+sinx)/2とすぐにわかるので、定理２-２から
（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）cosx＝｛cosx + sinx - e^(-x)｝/2
と直ちに計算できる。
定理２-２は定理４（作用素の定理）から直ちに出るものなので、たんに（∫-∫^2+∫^3- ∫^4+・・・）Ｇ(x)を求めたいと
いうだけの目的であれば、定理４を使いe^(-x)∫e^xＧ(x)ｄxを求めるという道筋をとってももちろんよい。またそれは定理２
に関しても同様に言えることであるが。
しかし、微分方程式と無限の作用素が密接に関連している！という深い構造を教えてくれているのが定理２や定理２-２
である。
これらは１階の微分方程式だが、２階や３階の微分方程式ではどのような作用素と関連してくるのか？それは非常に
興味深いことといえる。その辺り８年前は中途半端な形で終わっていたので、それをもう少し突っ込んで探ってみたいと思っ
ている。
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