ハートレー彗星　その４

ハートレー彗星　その４

2012/3/20 　　　　＜作用を受けた関数に対する”べき積分級数展開”定理　＞

　作用素の定理を調べていたら、偶然に次のような面白い展開式（定理）を見つけたので報告したい。

「作用を受けた関数に対するべき積分級数展開」定理

　　ｆ(x)は、べき級数(∑an・x^n)展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて次が
　成り立つ。

　（1+∫+∫^2+∫^3+・・）ｆ(x)=ｆ(0)e^x + ｆ´(0)∫e^x +ｆ´´(0)∫∫e^x + ｆ´´´(0)∫∫∫e^x +・・

　（1-∫+∫^2-∫^3+・・）ｆ(x)=ｆ(0)e^(-x) + ｆ´(0)∫e^(-x) +ｆ´´(0)∫∫ e^(-x) + ｆ´´´(0)∫∫∫e^(-x) +・・

　（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・）ｆ(x)=ｆ(0)sinx + ｆ´(0)∫sinx +ｆ´´(0)∫∫sinx + ｆ´´´(0)∫∫∫sinx +・・

　（1-∫^2+∫^4-∫^6+・・）ｆ(x)=ｆ(0)cosx + ｆ´(0)∫cosx +ｆ´´(0)∫∫cosx + ｆ´´´(0)∫∫∫cosx +・・

　これは、さらに次のように一般化することができる。

　（g(x)のべき級数展開に関連づけられる作用素）ｆ(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ｆ(0)g(x) + ｆ´(0)∫g(x) +ｆ´´(0)∫∫g(x) + ｆ´´´(0)∫∫∫g(x) + ・・・

　ここで∫の積分範囲はすべて0～xである。

（注意1）左辺において、例えば∫^3ｆ(x)は∫∫∫ｆ(x)のことであり、これは積分∫を３回繰り返す重回積分（高階積分）を表す。右辺は略さずに

　　　　書いた。また、例えば∫^3や∫∫∫でのdxdxdx記号は略した。また例えば、右辺のｆ´´´(0)はｆ(x)の３階導関数に0を代入したもの。

（注意2）「べき級数展開に関連づけられる作用素」に関して∫、∫^2、∫^3・・はそれぞれ（x^1/1!），(x^2/2!)，（x^3/3!）・・に対応するとする。

　　　その関係を用いてg(x)のべき級数展開が g(x)=k0+k1・x+k2・x^2+k・k3・x^3+・・・である場合、べき級数展開に関連づけられる作用素は、

　　　　次のようになる。「g(x)のべき級数展開に関連づけられる作用素」=k0+(1!・k1)∫+(2!・k2)∫^2+(3!・k3)∫^3+・・・　　

これは上から順に、

************

e^xのべき級数展開を思わせる作用素”で影響を受けたｆ(x)の結果（関数）は、e^xの重回積分の無限和で表現できる。
e^(-x)のべき級数展開を思わせる作用素”で影響を受けたｆ(x)の結果（関数）は、e^(-x)の重回積分の無限和で表現できる。

sinxのべき級数展開を思わせる作用素”で影響を受けたｆ(x)の結果（関数）は、sinxの重回積分の無限和で表現できる。
cosxのべき級数展開を思わせる作用素”で影響を受けたｆ(x)の結果（関数）は、cosxの重回積分の無限和で表現できる。
************

という驚くべきことを表しているのだが、ｆ(x)が任意の関数！であることに注目いただきたい。

右辺はべき積分級数展開とでも呼ぶべき形になっている。（よって、「べき積分級数展開定理」と名付けた。）

これはある意味でフーリエ展開やテイラー展開（べき級数展開）などと同類の基本的な展開式であるように思えてならない

のだが読者はどう思われるだろうか？　また別の見方をすれば左辺と右辺で関係性が反転しているともとれる。反転定理

というような名称の方がよいのだろうか。

　例えば、ｆ(x)=x^2などとして実験をし、この定理の感覚を味わっていただきたい。

一般化された場合についても

　g(x)に関係した作用素で作用を受けたｆ(x)は、g(x)の重回積分の無限和で表せる

ということを示している。なんとも不思議な話であるが、確実に成り立っている。

　一般のg(x)の場合の例を示そう。

例えば、逆tanx関数であるtan-1xのべき級数展開は、次のようになる。

　　tan-1x=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+・・　（ |x| < 1）　 ----①

定理中（注意2）に示すように∫、∫^2、∫^3・・はそれぞれ（x^1/1!），(x^2/2!)，（x^3/3!）・・に対応するとするから、この場合

「g(x)=tan-1xのべき級数展開に関連づけられる作用素」は、①右辺の形に注目して次のようになるのである！

「g(x)=tan-1xのべき級数展開に関連づけられる作用素」=∫-2!∫^3+4!∫^5-6!∫^7+・・

よって、定理から、次が成り立つ。

(∫-2!∫^3+4!∫^5-6!∫^7+・・）ｆ(x)

　　　　　　　　　　　　　　　　　=ｆ(0)tan-1x + ｆ´(0)∫tan-1x +ｆ´´(0)∫∫tan-1x + ｆ´´´(0)∫∫∫tan-1x +・・

　この不思議な感じを味わっていただきたい！！

　次にこの定理の証明を示す。

2012/3/20 　　　　＜「作用を受けた関数に対する”べき積分級数展開”定理」の証明　＞

　この定理の証明を示す。

（注意1）左辺において、例えば∫^3ｆ(x)は∫∫∫ｆ(x)のことであり、これは積分∫を３回繰り返す重回積分（高階積分）を表す。右辺は略さずに

　　　　書いた。また、例えば∫^3や∫∫∫でのdxdxdx記号は略した。また例えば、右辺のｆ´´´(0)はｆ(x)の３階導関数に0を代入したもの。

（注意2）「べき級数展開に関連づけられる作用素」に関して∫、∫^2、∫^3・・はそれぞれ（x^1/1!），(x^2/2!)，（x^3/3!）・・に対応するとする。

　　　その関係を用いてg(x)のべき級数展開が g(x)=k0+k1・x+k2・x^2+k・k3・x^3+・・・である場合、べき級数展開に関連づけられる作用素は、

　　　　次のようになる。「g(x)のべき級数展開に関連づけられる作用素」=k0+(1!・k1)∫+(2!・k2)∫^2+(3!・k3)∫^3+・・・　　

[証明］

　一般のg(x)の場合を示すのが本道だが、g(x)がsinxの場合の式、つまり次のA式を示しても、本質的には同じある。

よって、ここではわかりやすいこのA式の成立を示すことにする。一般の関数g(x)にも全く同様の証明が適用できる。

　（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・）ｆ(x)=ｆ(0)sinx + ｆ´(0)∫sinx +ｆ´´(0)∫∫sinx + ｆ´´´(0)∫∫∫sinx +・・　---A

　さて、証明をはじめる。

　ｆ(x)は、べき級数(∑an・x^n)展開したとき収束半径がｒである関数とする。以下では、変数xのとり得る範囲は全てrより

小さいとする（ |x| < r）。　　　------------------B

　ｆ(x)をべき級数展開（マクローリン展開）すると、次のようになる。

　ｆ(x)=f(0) + ｆ´(0)x + ｆ´´(0)x^2/2! + ｆ´´´(0)x^3/3!+ ｆ´´´´(0)x^4/4! + ・・・　　-----①

このｆ(x)に対して、∫ｆ(x)，-∫^3ｆ(x)，∫^5ｆ(x)，-∫^7ｆ(x)，・・・を計算していく。ここで、例えば、∫^3=∫∫∫である。

∫の範囲は全て0～xとする。以下において∫でのdxや、∫^nでのdx・・dxの表記は省略している。

条件Bから項別積分が可能であることに注意して、①より、

[1]

　∫ｆ(x)=f(0)x + ｆ´(0)x^2/2! + ｆ´´(0)x^3/3! + ｆ´´´(0)x^4/4! + ｆ´´´´(0)x^5/5! + ・・・　

-∫^3ｆ(x)=-f(0)x^3/3! - ｆ´(0)x^4/4! - ｆ´´(0)x^5/5! - ｆ´´´(0)x^6/6! - ｆ´´´´(0)x^6/6! - ・・・

　∫^5ｆ(x)=f(0)x^5/5! + ｆ´(0)x^6/6! + ｆ´´(0)x^7/7! + ｆ´´´(0)x^8/8!+ ｆ´´´´(0)x^9/9! + ・・・

-∫^7ｆ(x)=-f(0)x^7/7! - ｆ´(0)x^8/8! - ｆ´´(0)x^9/9! - ｆ´´´(0)x^10/10! - ｆ´´´´(0)x^11/11! - ・・・

　　　　・

　上の無限に存在する各重回積分結果は、確実にある有限の値になる。なぜなら、ｆ(x)のべき級数展開の収束半径が

rの場合、その重回積分値（関数）のべき級数展開の収束半径も同じrとなることは容易に示すことができるからである。

よって確実に上の各式は、ある有限の（関数としての）値として計算されることになる。

　さて、上式を縦に足し合わせると次のようになる。（ｆ(0)、ｆ´(0)、ｆ´´(0)・・でまとめた。）

（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・・）ｆ(x)

= ｆ(0)(x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+・・) + ｆ´(0)(x^2/2!-x^4/4!+x^6/6!-x^8/8!+・・)

　+ ｆ´´(0)(x^3/3!-x^5/5!+x^7/7!-x^9/9!+・・) + ｆ´´´(0)(x^4/4!-x^6/6!+x^8/8!-x^10/10!+・・)

　　　+ ｆ´´´´(0)(x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-x^11/11!+・・) + ｆ´´´´´(0)(x^6/6!-x^8/8!+x^10/10!-x^12/12!+・・)

　　　　　　　　　　　　　･･･････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-------②

　さて、左辺は（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・・）ｆ(x)=∫ｆ(x)-∫^3ｆ(x)+∫^5ｆ(x)-∫^7ｆ(x)+・・・

であり無限和であるが、これは有限の値に収束するのであろうか。答えはYes.　有限の（関数としての）値に収束する。

なぜなら、ハートレー彗星　その３で示した次の定理５よりそれが言えるからである。

定理５
　　Ｇ(x)は、べき級数(∑an・x^n)展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて次が
　成り立つ。

　　　　　(sinx∫sinx+cosx∫cosx)Ｇ(x)ｄx＝（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・・）Ｇ（x）

　ここで∫の積分範囲はすべて0～xである。

（注意）右辺は∫G(x)dx-∫∫∫G(x)dxdxdx+ ∫∫∫∫∫G(x)dxdxdxdxdx - ・・・を略した書き方である。例えば∫^3は積分∫を３回繰り返す

　　　　重回積分（高階積分）を表す。

②の左辺は、この定理から次のように変形できる。

②左辺 = （∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・・）ｆ(x) = (sinx∫sinx+cosx∫cosx)ｆ(x)ｄx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=sinx∫sinxｆ(x)dx+cosx∫cosxｆ(x)ｄx 　 ----③

いまf(x)の収束半径ｒ内で積分しているから、③の計算結果は確実に関数としてのある値に収束する（ｆ(x)にsinxやcosxが

掛かっても全く正常に積分計算ができる）。よって、②の左辺も（関数としての）ある値に収束する。

　次に、②の右辺に着目しよう。

[1]の左辺を無限個足し合わせるとある有限の（関数としての）値となったのだから、[1]の右辺の各べき級数を足し合わせ

ても当然左辺と同じ値になる。

②を(x^2/2!-x^4/4!+x^6/6!-x^8/8!+・・)=∫^2sinx や、(x^3/3!-x^5/5!+x^7/7!-x^9/9!+・・)=∫^3sinx となることに注意して

変形すると、次のようになる。

（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・・）ｆ(x)

= ｆ(0)sinx + ｆ´(0)∫sinx + ｆ´´(0)∫^2sinx + ｆ´´´(0)∫^3sinx + ｆ´´´´(0)∫^4sinx + ｆ´´´´´(0)∫^5sinx + ・・・

　　ここで∫^2=∫∫、∫^3=∫∫∫、∫^4=∫∫∫∫、・・であることに注意せよ。

これは目標としていたA式そのものである。

ｆ(x)べき級数展開における収束半径r内のxを使って積分範囲0～xで積分している限りにおいては常に上式が成り立つことが

わかった。

　これで「作用を受けた関数に対するべき積分級数展開定理」が証明された。

[終わり］

　この定理は、右辺を作用素でまとめてしまえば、次のようにさらに簡潔に表現できる。この方が左右の反転の意味が

より明瞭になっているかもしれない。

ただし、冒頭の表現も捨てがたいものがあるのは、”作用素で持ち上げられた関数”が別の関数集団で表されるという

展開の意味を示しているからである。

　（1+∫+∫^2+∫^3+・・）ｆ(x)=（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3 +・・）e^x

　（1-∫+∫^2-∫^3+・・）ｆ(x)=（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3 +・・）e^(-x)

　（∫-∫^3+∫^5-∫^7+・・）ｆ(x)=（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3+・・）sinx

　（1-∫^2+∫^4-∫^6+・・）ｆ(x)=（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3 +・・）cosx

　これは、さらに次のように一般化することができる。

　（g(x)のべき級数展開に関連づけられる作用素）ｆ(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3 + ・・・）g(x)

　ここで∫の積分範囲はすべて0～xである。

（注意1）左辺において、例えば∫^3ｆ(x)は∫∫∫ｆ(x)のことであり、これは積分∫を３回繰り返す重回積分（高階積分）を表す。右辺は略さずに

　　　　書いた。また、例えば∫^3や∫∫∫でのdxdxdx記号は略した。また例えば、右辺のｆ´´´(0)はｆ(x)の３階導関数に0を代入したもの。

（注意2）「べき級数展開に関連づけられる作用素」に関して∫、∫^2、∫^3・・はそれぞれ（x^1/1!），(x^2/2!)，（x^3/3!）・・に対応するとする。

　　　その関係を用いてg(x)のべき級数展開が g(x)=k0+k1・x+k2・x^2+k・k3・x^3+・・・である場合、べき級数展開に関連づけられる作用素は、

　　　　次のようになる。「g(x)のべき級数展開に関連づけられる作用素」=k0+(1!・k1)∫+(2!・k2)∫^2+(3!・k3)∫^3+・・・　　

2012/3/20 　　　　　　　　＜関数に対する”べき積分級数展開”定理　＞

　研究の結果、上記定理の左辺の作用素を外すことができた。つまり、ｆ(x)=・・の式が得られた。次のものである。

　ｆ(x)=ｆ(0) + ｆ´(0)∫e^x +(ｆ´´(0)-ｆ´(0))∫∫e^x + (ｆ´´´(0)-ｆ´´(0))∫∫∫e^x + ・・

　ｆ(x)=ｆ(0) + ｆ´(0)∫e^(-x) +(ｆ´´(0)+ｆ´(0))∫∫ e^(-x) + (ｆ´´´(0)+ｆ´´(0))∫∫∫e^(-x) +・・・

これは任意の関数ｆ(x)をe^x重回積分やe^(-x)重回積分で展開する式と言える。定理として述べておこう。

「関数に対するべき積分級数展開」定理

　　ｆ(x)は、べき級数(∑an・x^n)展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて次が
　成り立つ。

　ｆ(x)=ｆ(0) + ｆ´(0)∫e^x +(ｆ´´(0)-ｆ´(0))∫∫e^x + (ｆ´´´(0)-ｆ´´(0))∫∫∫e^x +・・・

　ｆ(x)=ｆ(0) + ｆ´(0)∫e^(-x) +(ｆ´´(0)+ｆ´(0))∫∫ e^(-x) + (ｆ´´´(0)+ｆ´´(0))∫∫∫e^(-x) +・・・

　∑を用いると、次のようになる。

　　ｆ(x)=f(0) + ｆ´(0)∫e^x + ∑(n=2～∞)(ｆ^n(0)-ｆ^(n-1)(0))∫^n e^x

　　ｆ(x)=f(0) + ｆ´(0)∫e^(-x) + ∑(n=2～∞)(ｆ^n(0)+ｆ^(n-1)(0))∫^n e^(-x)

（注意）例えば∫∫∫は積分∫を３回繰り返す重回積分（高階積分）を表す。∫∫∫でのdxdxdx記号は略した。また例えば、ｆ´´´(0)はｆ(x)の３階

　　　　導関数に0を代入したもの。ｆ^n(0)はn階導関数に0を代入した意味。∫^nは∫∫・・∫というｎ回の重回積分を意味する。

　この式は、本ページ冒頭の「作用を受けた関数に対するべき積分級数展開定理」と「作用素の定理」を組み合わせれば

割合簡単に導出できる。e^xの方だけを示す。e^(-x)の場合も全く同じである。

[導出］

　ｆ(x)は、べき級数(∑an・x^n)展開したとき収束半径がｒである関数とする。以下では、変数xのとり得る範囲は全てrより

小さいとする（ |x| < r）。

以下で、例えば、∫^3=∫∫∫である。∫の範囲は全て0～xとする。以下において∫でのdxや、∫^nでのdx・・dxの表記は

省略した。

　「作用を受けた関数に対するべき積分級数展開定理」から、次が成り立つ。

　（1+∫+∫^2+∫^3+・・）ｆ(x)=（ｆ(0) + ｆ´(0)∫+ ｆ´´(0)∫^2 + ｆ´´´(0)∫^3 +・・）e^x

この式の左辺に「作用素の定理」e^x∫e^(-x) ｆ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）ｆ(x) を用いて、次を得る。