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＜ 奇数L(2n+1)の場合 ＞
＜ L(3)の導出 ＞
＜ L(5)の導出 ＞
ここでも奇数ゼータとの類似をL(2n)ゼータで行う。
L(2n)とは次のものであることはいうまでもない。
L(2)＝1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ・・・
L(4)＝1 - 1/3^4 + 1/5^4 - 1/7^4 + ・・・
L(6)＝1 - 1/3^6 + 1/5^6 - 1/7^6 + ・・・
・
・
さて、「その７」の＜ L(2n)の研究 その１＞で、L(2n)ゼータの明示・非明示の問題と微分方程式の関連を示唆した。
そこでは示唆しただけで別の考察を行ったわけであるが、ここではL(2n)と微分方程式との面白い関連性がある
ことを示したい。
＜ L(2n)の研究 その１＞で次のように述べた。再掲する。
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［まとめ２］
１回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)が明示的に求まる。
３回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)，L(4)が明示的に求まる。
５回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)，L(4)，L(6)が明示的に求まる。
一般化すれば、次のようになる。n>=1の整数。
(2n-1)回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)～L(2n)が明示的に求まる。
ここで「(2n-1)回微分してlog(tanx+1/cosx)となる初等関数が存在する」ことは、「L(2)～L(2n)が明示的に求まる」こと
の十分条件となっていることに注意いただきたい。
さて、「１回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)が明示的に求まる。」
をとり上げると、それは
y´＝log(tanx+1/cosx)
となるような初等関数yがあるか？
という問題と同じことだから、結局は微分方程式の問題であるともいえるが、それは後回しにして、次では「まとめ２」を
さらに考察したい。
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これだけでも非常に面白い事実であるといえるが、これを一歩進めたい。「後回しに」したことをここで行う。
まず「１回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、・・」の問題を取り上げよう。
これは上で述べたように、
y´＝log(tanx+1/cosx)となる初等関数yが存在するか？という問題と同じである。
y´＝log(tanx+1/cosx)
この両辺をさらに１回微分して（計算していくと）
ｙ´´＝1/cosx ----①
①の両辺を２乗して、
(ｙ´´)^2＝1/(cosx)^2 ----②
①をさらに１回微分して
ｙ´´´＝sinx/(cosx)^2
両辺を２乗して変形すると、次のようにできる。
(ｙ´´´)^2＝1/(cosx)^4 - 1/(cosx)^2 -----③
②と③からcosxを消して
(ｙ´´´)^2 ＝ (ｙ´´)^4 - (y´´)^2 ----④
微分の「´」が見難いので、D^nyを「yのn回微分」として④を書き直すと次のようになる。
(D^3ｙ)^2 ＝ (D^2ｙ)^4 - (D^2y)^2 ----⑤
すなわち、y´＝log(tanx+1/cosx)となる初等関数yが存在するか？は
(D^3ｙ)^2 ＝ (D^2ｙ)^4 - (D^2y)^2 の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じなのである。
次に、「３回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、・・」も、上と全く同様にして、
(D^5ｙ)^2 ＝ (D^4ｙ)^4 - (D^4y)^2 の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じになる。
「５回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、・・」も、当然ながら、
(D^7ｙ)^2 ＝ (D^6ｙ)^4 - (D^6y)^2 の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じとなる。
以下も同様に続く。
さらに偶数回微分にも問題を拡張できる。＜ L(2n)の研究 その１＞の考察から、
２回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)の明示性が言える。
４回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)，L(4)の明示性が言える。
６回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在すれば、L(2)，L(4)，L(6)の明示性が言える。
・
・
ということが明らかに言えるので、結局、L(2n)ゼータの明示・非明示問題は、
n回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在するのか？
という問題と密接に関連しているのである。
上の一連の微分方程式は、
(y´)^2 ＝y^4-y^2 ----⑥
という微分方程式に関係しているのは明らかである。なぜなら、例えば、yをy´´に置き換えると④(⑤)になるからである。
つまり、L(2n)問題は、
(D^(n+1)ｙ)^2 ＝(D^nｙ)^4-(D^nｙ)^2 ----⑦
の微分方程式の解の存在に関係している。ところで、n＝0の場合（これは⑥）の一般解は、
ｙ＝1/cos(x+C) ----⑦-2
となる。Cは任意定数。
またn＝1の場合、⑦は
(y´´)^2 ＝(y´)^4-(y´)^2 ----⑧
となるが、この一般解も簡単にわかり、
ｙ＝log(tan(x+C1)+1/cos(x+C1)) + C2 ----⑧-2
となる。C1とC2は任意定数。
⑦の「n回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が存在するのか？」という問題では、
なんとn＝0、１の場合では、初等関数yの解が存在するのである！！（⑦-2と⑧-2を見よ）
ではn＝2の場合はどうなのだろうか？
これは⑤（④）の微分方程式に対応し、もし初等関数の解yがあればL(2)は明示的に求まることが言えてしまうので
あるが、はたしてそんな解は存在するだろうか？
n＝4の場合はどうか？そしてn＝6は・・と問いが続くが、
そんな解は存在しないに違いないということが「その７」＜ L(2n)の研究 その２＞のでわかったことである。
きたといえよう。
さらに上記「偶数回微分してlog(tanx+1/cosx)になるような初等関数が・・」の問題は、
(sinx)/1^3 - (sin3x)/3^3 + (sin5x)/5^3 - (sin7x)/7^3 + ・・・
(sinx)/1^5 - (sin3x)/3^5 + (sin5x)/5^5 - (sin7x)/7^5 + ・・・
・
・
などのフーリエ級数の公式が公式集にないということに対応し、「偶数回微分して・・」の場合も「奇数回・・」と全く同様
のことが言えるのである。
以上をまとめると、次のようになる。
［まとめ］
**************
(y´)^2 ＝y^4-y^2 --> 初等関数y＝1/cos(x+C)の解あり
(y´´)^2 ＝(y´)^4-(y´)^2 --> 初等関数ｙ＝log(tan(x+C1)+1/cos(x+C1)) + C2 の解あり (y´´´)^2 ＝(y´´)^4-(y´´)^2 --> 初等関数の解なし <--もしあればL(2)が明示的に求まる！ (y´´´´)^2 ＝(y´´´)^4-(y´´´)^2 --> 初等関数の解なし <--もしあればL(2)が明示的に求まる！ (y´´´´´)^2 ＝(y´´´´)^4-(y´´´´)^2 --> 初等関数の解なし <--もしあればL(2)，L(4)が明示的に求まる！
(y´´´´´´)^2 ＝(y´´´´´)^4-(y´´´´´)^2 --> 初等関数の解なし <--もしあればL(2)，L(4)が明示的に求まる！
・ ・ となって、初等関数の解があるのは一番目と２番目の二つだけなのである！ D^(n)をn回微分とすると、 (D^(n+1)ｙ)^2 ＝(D^nｙ)^4-(D^nｙ)^2 でn>＝2では永遠に初等関数解なし！（予想だが正しいはず）となる。 初等関数の解があるのは二つだけというのはとてもふしぎである。
フェルマーの最終定理はn>=3で解なしだが、L(2n)問題では微分方程式で同じようなことになっているのである。
**************
「上記微分方程式の初等関数解が存在すること」は、「L(2n)が明示的に求まること」の十分条件となっていること
に注意いただきたい。L(2n)の明示をいうには、初等関数解（特解でＯＫ）があれば十分！ということ。
記号的に書けば、次のようになる。
上記微分方程式（n>=2）での初等関数解が存在する。 ---> L(2n)が明示的に求まる。 -----⑨
対偶をとれば、
L(2n)が明示的には求まらない。 ---> 上記微分方程式の初等関数解は存在しない。
となる。
⑨の逆が成り立つのかどうか現時点ではわからない。おそらく成り立つのでは？と思うが、示せていない。
ところで・・、L(2n)に関係する微分方程式は
(y´)^2 ＝y^4-y^2
とわかったが、これは数学の世界でどのようなタイプの微分方程式として分類されるのだろうか？
奇数ゼータζ(2n+1)に関係する微分方程式は、
y^2 + y´＝-1
であったが、これはパンルヴェ方程式にすこし似ていると＜奇数ゼータ問題を微分方程式の問題に還元した＞で述べた。
では、(y´)^2 ＝y^4-y^2 はどうなのだろうか。
パンルヴェ方程式についての佐藤郁郎氏の記事「最大値分布について（その２）」を見ると、なんとなくこれも
パンルヴェに似ているようにも見受けられるが、どうだろうか。複雑すぎてはっきりわからないが・・。
では奇数ゼータL(2n+1)ではどうなのか。その場合は、当然ながら初等関数ｙがあるということになる。
L(2n)の場合と対比的に書くと、次のようになる。
y＝π/4となるような初等関数yがあれば、L(1)は明示的に求まる。 ----①
y´´＝π/4となるような初等関数yがあれば、L(3)は明示的に求まる。
y´´´＝π/4となるような初等関数yがあれば、L(3)は明示的に求まる。
y´´´´＝π/4なるような初等関数yがあれば、L(3)、L(5)は明示的に求まる。
y´´´´´＝π/4となるような初等関数yがあれば、L(3)、L(5)は明示的に求まる。
・
・
となる。
これらの初等関数のyは当然存在するし、すぐに求まる。よって、すべてのL(2n+1)は明示的に求まる。
①の場合そんな初等関数ｙはπ/4そのものである。
テイラーシステムでL(s)を深く探求した結果（「タットル彗星」）、sが0より大きい実数とすると（大雑把な書き方をすれば）
L(s)＝L(s)の無限和
となる。
そしてsが1，3，5，・・などの場合だけ自明な零点によって非常に特殊なことが起こり、L(1)、L(3)、L(5)・・が明示的に求
まってしまう。
しかしL(31/2)やL(√2)やL(e)などその他無数の値は、明示的な表示にはならない（厳密には予想）。
よって奇数を除く実数sでのL(s)値に対応する微分方程式をL(2n)類似の考察から構成した場合、それらの初等関数解
もまた存在しないはず！となる。
参考までにフーリエシステムを用いて、L(3)、L(5)を導出しておこう。
L(3)＝1/1^3 - 1/3^3 + 1/5^3 - 1/7^3 + ・・・ ----①
を求める。
[L(3)導出]
①の形から次のCos級数
ｆ(x)＝cosx/1^3 - cos3x/3^3 + cos5x/5^3 - cos7x/7^3 + ・・・ -----②
を考える。
この級数の直交性
[mとnが等しくない場合] ∫(-π/2～π/2) cos(2n+1)xcos(2m+1)x dx＝0
[m＝nの場合] ∫(-π/2～π/2) cos(2n+1)xcos(2m+1)x dx＝π/2
を用いて、
1/1^3＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cosx dx
-1/3^3＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos3x dx
1/5^3＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos5x dx
-1/7^3＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos7x dx
・
・
∫内は偶関数であるから、次のようにできる。
1/1^3＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cosx dx
-1/3^3＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos3x dx
1/5^3＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos5x dx
-1/7^3＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos7x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^3＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 + ・・・)(sinx/1) dx
-1/3^3＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 + ・・・)(sin3x/3) dx
1/5^3＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 + ・・・)(sin5x/5) dx
-1/7^3＝(4/π)∫(0～π2/) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 + ・・・)(sin7x/7) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）
L(3)＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 +・・)(sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、
L(3)
＝(4/π)∫(0～π/2) (cosx/1 - cosx3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7 +・・)(cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 +・・)dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7+ ・・＝π/4 (-π/2 < x < π/2)
cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + cos7x/7^2 + ・・＝(π/8)(π-2x) (0<= x <=π)
を③に代入して整理すると（この公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.72～73を参照）、③は次のようになる。
L(3)＝(4/π)∫(0～π/2) （π/4）｛(π/8)(π-2x)｝dx
これは簡単に計算できて、L(3)＝π^3/32 と求まる。
[終わり]
L(5)＝1/1^5 - 1/3^5 + 1/5^5 - 1/7^5 + ・・・ ----①
を求める。
[L(5)導出]
①の形から次のCos級数
ｆ(x)＝cosx/1^5 - cos3x/3^5 + cos5x/5^5 - cos7x/7^5 + ・・・ -----②
を考える。
この級数の直交性
[mとnが等しくない場合] ∫(-π/2～π/2) cos(2n+1)xcos(2m+1)x dx＝0
[m＝nの場合] ∫(-π/2～π/2) cos(2n+1)xcos(2m+1)x dx＝π/2
を用いて、
1/1^5＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cosx dx
-1/3^5＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos3x dx
1/5^5＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos5x dx
-1/7^5＝(2/π)∫(-π/2～π/2) ｆ(x)cos7x dx
・
・
∫内は偶関数であるから、次のようにできる。
1/1^5＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cosx dx
-1/3^5＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos3x dx
1/5^5＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos5x dx
-1/7^5＝(4/π)∫(0～π/2) ｆ(x)cos7x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/1^5＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^4 - sinx3x/3^4 + sin5x/5^4 - sin7x/7^4 + ・・・)(sinx/1) dx
-1/3^5＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^4 - sinx3x/3^4 + sin5x/5^4 - sin7x/7^4 + ・・・)(sin3x/3) dx
1/5^5＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^4 - sinx3x/3^4 + sin5x/5^4 - sin7x/7^4 + ・・・)(sin5x/5) dx
-1/7^5＝(4/π)∫(0～π2/) (sinx/1^4 - sinx3x/3^4 + sin5x/5^4 - sin7x/7^4 + ・・・)(sin7x/7) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて（左辺は①より）
L(5)＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^4 - sinx3x/3^4 + sin5x/5^4 - sin7x/7^4 +・・)(sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、
L(5)
＝(4/π)∫(0～π/2) (cosx/1^3 - cosx3x/3^3 + cos5x/5^3 - cos7x/7^3 +・・)(cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 +・・)dx
L(5)
＝(4/π)∫(0～π/2) (sinx/1^2 - sinx3x/3^2 + sin5x/5^2 - sin7x/7^2 +・・)(sinx/1^3 + sin3x/3^3 + sin5x/5^3 + ・・) dx
L(5)
＝(4/π)∫(0～π/2) (cosx/1 - cosx3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7 +・・)(cosx/1^4 + cos3x/3^4 + cos5x/5^4 +・・)dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7+ ・・＝π/4 (-π/2 < x < π/2)
cosx/1^4 + cos3x/3^4 + cos5x/5^4 + cos7x/7^4 + ・・＝(π/96)(π^3-6πx^2+4x^3) (0<= x <=π)
を③に代入して整理すると（この公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.72，74を参照）、③は次のようになる。
L(5)＝(4/π)∫(0～π/2) （π/4）｛(π/96)(π^3-6πx^2+4x^3)｝dx
これは簡単に計算できて、L(5)＝5π^5/1536 と求まる。
[終わり]
ちなみに、L(1)＝1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ・・・＝π/4
だが、これはフーリエ級数の公式
cosx/1 - cos3x/3 + cos5x/5 - cos7x/7+ ・・＝π/4 (-π/2 < x < π/2)
で、x＝0とすれば出る。
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