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”値が明示的に求まる場合”の中心母等式を見出しました。π，π/2，3π/4を代入。
---- 佐藤郁郎氏の結果の拡張 ----
これまで「いくつかの点」シリーズから「木星」まで延々とやってきたのは、①式中心母等式とした、L(χ,s)の特殊値
が明示的に求まらない場合の考察でした。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
（0 <｜x｜< 2π）
そして、「木星」において、予想L-２を提示できるに至ったのでした。
私は、値が明示的に求まる場合の式がないか？と考えて、
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----②
（0 < x < 2π）
に到達しました。これは、マグロウヒル公式集（*）にのっていた次式
π/2-x/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・・ -----③
（0 < x < 2π）
を、１回微分して得られるものです。
よって、①と②は本質的に同じものですが、中心母等式とするには①がふさわしいでしょう。
あとから気付いたのすが、②式は、巨人・佐藤郁郎氏が先に氏のコラムで、ある場合（π/2，π/4，π/3代入）を
考察しておられることがわかりました。そして「奇数Ｌ，偶数Ｌ1，奇数Ｌ2は偶数ゼータの有限和で表される」という興味
深い結果を出されています。
②は①の完全なる相棒、ペアと呼べる式で、じつは②の重回積分-重回微分の結果にさまざまなqπ/kを代入する
ことにより、値が明示的に求まる場合のL(χ,s)の特殊値が雨アラレとふってくる。その様子が①の場合と完全呼応し
ているのです。
まだわずかな場合しか調べていませんが、①と同じような現象が生じてくることは、式と計算の形からすぐにわかる
ので、具体的に確めていくことにします。
さらに、①で延々とやったのちにようやく到達したゼータ山の一つ”予想L-２”にまで②も同様に繋がっていること
はほとんど直観でわかるのですが、これもあとではっきりするでしょう。
これから、②の重回積分-重回微分の結果に様々なqπ/kを代入して、特殊値の様子を調べていきますが、私が
やろうとしていることは、佐藤氏の結果の拡張版とも呼ぶべきものです。それを普遍的な高みにまでもっていった暁に
は、予想L-２の類似が現れるであろうということまで予測されます。
なお今後、簡単のために、値が明示的に求まらない場合を”非明示的な場合”（負の場合も含める）、値が明示的
に求まる場合を”明示的な場合”と略して表現することもありますので、ご注意ください。
例えばζ(s)では、非明示の場合は・・ζ(3)，ζ（5），ζ(７)、・・であり、明示的な場合は・・ζ（2），ζ(4)，ζ（6），・・・
となります。
話はこの辺にして、とにかく具体的な計算でどんどん見ていきましょう。まずは、π代入から。
*「マグロウヒル数学公式・数表ハンドブック」(Murray R. Spiegel著、氏家勝巳訳、オーム社)
ここでは、まず①の重回積分-重回微分の結果（統一的法則性）に、πを代入した場合を調べます。
（ここの結果は佐藤郁郎氏のπ/2代入と本質的に同じです）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----①
まず①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
非明示的な場合は８回積分まで求めていましたが、この明示的な場合は”６回積分まで”としました。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
0＝cosx + 2^4cos2x + 3^4cos3x + 4^4cos4x + ・・・・
3回微分
0＝sinx + 2^3sin2x + 3^3sin3x + 4^3sin4x + ・・・・
2回微分
0＝-(cosx + 2^2cos2x + 3^2cos3x + 4^2cos4x + ・・・・)
1回微分
0＝- (sinx + 2sin2x + 3sin3x + 4sin4x + ・・・・)
0回積分
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・
１回積分
π/2 - 1/2・x＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・・
2回積分
π/2・x - 1/2・x^2/2！＝- (cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・・) + ζ(2)
3回積分
π/2・x^2/2！ - 1/2・x^3/3！＝- (sinx/1^3 + sin2x/2^3 + sin3x/3^3 + ・・・) + ζ(2)・x
4回積分
π/2・x^3/3！- 1/2・x^4/4！＝ (cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・・) - ζ(4) + ζ(2)・x^2/2！
5回積分
π/2・x^4/4！- 1/2・x^5/5！＝ (sinx/1^5 + sin2x/2^5 + sin3x/3^5 + ・・・) - ζ(4)・x + ζ(2)・x^3/3！
6回積分
π/2・x^5/5！- 1/2・x^6/6！
＝ - (cosx/1^6 + cos2x/2^6 + cos3x/3^6 + ・・・) + ζ(6) -ζ(4)・x^2/2！+ ζ(2)・x^4/4！
と、このように上下に延々と続いていきます。
上の式の x にπを代入すると、次のようになります。
［π代入の式］
・
・
4回微分
ζ(-4)＝0
3回微分
0＝0
2回微分
ζ(-2)＝0
1回微分
0＝0
0回積分
ζ(0) ＝-1/2
１回積分
0＝0
2回積分
(1-1/2)ζ(2) + ζ(2) ＝π/2・π - 1/2・π^2/2！
3回積分
ζ(2)・π＝π/2・π^2/2！ - 1/2・π^3/3！
4回積分
-(1-1/2^3)ζ(4) - ζ(4) + ζ(2)・π^2/2！＝π/2・π^3/3！ - 1/2・π^4/4！
5回積分
-ζ(4)・π + ζ(2)・π^3/3！＝π/2・π^4/4！ - 1/2・π^5/5！
6回積分
(1-1/2^5)ζ(6) + ζ(6) - ζ(4)・π^2/2！ + ζ(2)・π^4/4！
＝π/2・π^5/5！ - 1/2・π^6/6！
・
・
と、ζ(2n)が出る式が並びます。
ζ(s)はリーマン・ゼータ関数で次のものです。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
ζ(2n)は昔からよく知られており、ζ（2）＝π^2/6，ζ（4）＝π^4/90，ζ（6）＝π^6/945，・・・・
ですので、これらを上に代入すればすべて成り立っていることは容易に確められます。
またこれまでも述べてきましたが、ζ(s)はディリクレのL関数L(χ,s)の一種のゼータ関数です。
ディリクレ指標χ（a）を用いて表現すれば、ζ(s)は全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)
に一致します。
整数論において重要な関数であるディリクレのＬ関数L(χ,s)は、次のように定義され、様々なディリクレ指標χ(ａ)に
対してL(χ,s)は色々と変ってくるゼータです。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
ここではπを代入したらζ(s)の値が明示的に求まる場合の特殊値ζ(2n)が次々と出てくる、ということがわかり
ました。
ここでは、まず①の重回積分-重回微分の結果（統一的法則性）に、π/2を代入した場合を調べます。
（ここの結果は佐藤郁郎氏のπ/4代入と本質的に同じです）
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----①
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
一つ上であげた①の［重回積分、重回微分した一連の式］の x にπ/2を代入すると、次のようになります。
［π/2代入の式］
・
・
4回微分
ζ(-4)＝0
3回微分
L(-3) ＝0
2回微分
ζ(-2)＝0
1回微分
L(-1) ＝0
0回積分
ζ(0)＝-1/2
１回積分
L(1) ＝π/4
2回積分
(1-1/2)ζ(2)/2^2 + ζ(2) ＝π/2・(π/2) - 1/2・(π/2)^2/2！
3回積分
-L(3) + ζ(2)・(π/2)＝π/2・(π/2)^2/2！ - 1/2・(π/2)^3/3！
4回積分
-(1-1/2^3)ζ(4)/2^4 - ζ(4) + ζ(2)・(π/2)^2/2！＝π/2・(π/2)^3/3！ - 1/2・(π/2)^4/4！
5回積分
L(5) -ζ(4)・(π/2) + ζ(2)・(π/2)^3/3！＝π/2・(π/2)^4/4！ - 1/2・(π/2)^5/5！
6回積分
(1-1/2^5)ζ(6)/2^6 + ζ(6) - ζ(4)・(π/2)^2/2！ + ζ(2)・(π/2)^4/4！
＝π/2・(π/2)^5/5！ - 1/2・(π/2)^6/6！
・
・
と、ζ(2n)とL(2n+1)が出る式が並びます。ζ(s)はもちろんリーマン・ゼータ関数。
L(s)は、次で定義されるゼータ関数です。
L(s)＝1 - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
ζ(s)もL(s)もどちらもディリクレのL関数L(χ,s)の一種のゼータ関数です。
ζ(s)は、全てのaに対しχ(a)＝1としたときのディリクレのL関数L(χ,s)に一致。
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4に対しそれぞれχ(ａ)＝0, 1, 0, -1としたときのL(χ,s)となります。
ζ(2n)やL(2n+1)は昔からよく知られており、ζ（2）＝π^2/6，ζ（4）＝π^4/90，ζ（6）＝π^6/945，・・・・
また、L（1）＝π/4，L（3）＝π^3/32，L（5）＝5π^5/1536，・・・・です。
これらを上に代入すれば式がすべて成り立っていることは容易に確められます。
上の結果は、「火星 その１」での＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分にπ/2を代入＞
に完全に対応した結果となっていることに注目してください。
まったく面白い対称性をなしていますね。一方は非明示的な場合、もう一方は明示的な場合になっている。
それでいて形がほとんど同じ！今後も、この対比の妙を味わっていくことにしましょう。
ここでは、π/2を代入したらζ(s)とL(s)の値が明示的に求まる場合の特殊値ζ(2n)とL(2n+1)がどんどんと出てくる、
ということがわかりました。
ここでは、まず①の重回積分-重回微分の結果（統一的法則性）に、3π/4を代入した場合を調べます。
-1/2＝cosx + cos2x + cos3x + cos4x + ・・・・ -----①
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
二つ上のπ代入で書いた①の［重回積分、重回微分した一連の式］の x に3π/4を代入すると、次のように
なります。
［3π/4代入の式］
・
・
4回微分
-L1（-4）/√2 - (1-2^5)ζ(-4)・4^4＝0
ζ(-4) ＝0 より、L1(-4)＝0。
3回微分
1/√2・L2(-3) - 2^3・L(-3)＝0
L1(-3) ＝0 より、L2(-3)＝0。
2回微分
L1（-2）/√2 + (1-2^3)ζ(-2)・4^2＝0
ζ(-2) ＝0 より、L1(-2)＝0。
1回微分
-1/√2・L2(-1) + 2・L(-1) ＝0
L(-1) ＝0 より、L2(-1)＝0。
0回積分
-L1（0）/√2 - (1-2)ζ(0)/4^0 ＝-1/2
１回積分
1/√2・L2(1) - 1/2・L(1)＝π/2 - 1/2・(3π/4)
2回積分
L1（2）/√2 + (1-1/2)ζ(2)/4^2 + ζ(2) ＝π/2・(3π/4) - 1/2・(3π/4)^2/2！
3回積分
-L2（3）/√2 + L(3)/2^3 + ζ(2)・(3π/4)＝π/2・(3π/4)^2/2！ - 1/2・(3π/4)^3/3！
4回積分
-L1（4）/√2 - (1-1/2^3)ζ(4)/4^4 - ζ(4) + ζ(2)・(3π/4)^2/2！
＝π/2・(3π/4)^3/3！ - 1/2・(3π/4)^4/4！
5回積分
L2（5）/√2 - L(5)/2^5 - ζ(4)・(3π/4) + ζ(2)・(3π/4)^3/3！
＝π/2・(3π/4)^4/4！ - 1/2・(3π/4)^5/5！
6回積分
L1（6）/√2 + (1-1/2^5)ζ(6)/4^6 + ζ(6) - ζ(4)・(3π/4)^2/2！+ ζ(2)・(3π/4)^4/4！
＝π/2・(3π/4)^5/5！ - 1/2・(3π/4)^6/6！
・
・
と、ζ(2n)とL1(2n)とL2(2n+1)とL(2n+1)が現れる式が並びます。
これらは非明示の場合でも出てきましたが、全てディリクレのL関数L（χ,s）です。
念のため、これらの定義を書いておきます。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
L1(s)=1/1^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s+･･･
L2(s)=1/1^s + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s+･･･
(注意：L1(s)とL2(s)は、+ - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
上の４つが、どのようなディリクレ指標χ(a)に対応するかも記しておきます。
ζ(s)は、すべてのaに対して χ(a)＝1とおいたL(χ,s)に一致します。
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4の時、それぞれχ(a)＝0, 1 0, -1とおいた場合のL(χ,s)です。
L1(s)は、mod 8に対応したχ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したL(χ,s)となります。
L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもちますが、今度は
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したものとなっています。
L1(2n)もL2(2n+1)もL(2n+1)もζ(2n)もすべて値が明示的に求まるものであり、現代数学ではっきりわかっている
ものです。
上の結果は、「火星 その４」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )に3π/4を代入＞の非明示の場合と
完全に対応した結果となっていることに注目してください。素晴らしい対称性をなしていますね。
ここでは、3π/4を代入したらL1(s)，L2(s)，L(s)，ζ(s)の値が明示的に求まる場合の特殊値がどんどんと出てくる、
ことがわかりました。
なお非明示の場合に具体的に見たπ/4，5π/4代入をこの明示的な場合にやってもL1(2n)，L2(2n+1)，L(2n+1)，ζ(2n)
が同様に出てくるという上と本質的に類似の結果が得られるので、π/4代入，5π/4代入は略します。
非明示の場合のπ/4代入は「火星 その８」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )にπ/4を代入＞を、
また5π/4代入は「火星 その６」の＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )に5π/4を代入＞を参照ください。
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