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次に3π/4代入の場合を調べます。
まず①の統一的法則性の結果に、3π/4を代入した場合を調べます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
では、①を重回積分-重回微分した結果を書き下していきます。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛2sin(x/2)・sin(x/2)+4(2+cosx)cos(x/2)｝/(sin(x/2))^5＝2^4sinx + 4^4sin2x + 6^4sin3x + 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(2+cosx)/(sin(x/2))^4＝2^3cosx + 4^3cos2x + 6^3cos3x + 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
cos(x/2)/(sin(x/2))^3＝-(2^2sinx + 4^2sin2x + 6^2sin3x + 8^2sin4x + ・・・・）
1回微分
-1/(sin(x/2))^2＝2(2cosx + 4cos2x + 6cos3x + 8cos4x + ・・・・）
0回積分
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・・）
１回積分
log(2sin(x/2))＝-(cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・・)
2回積分
∫log(2sin(x/2))＝-(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + sin3x/3^2 + ・・・)
3回積分
∫∫log(2sin(x/2))＝(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・・) - ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2sin(x/2))＝(sinx/1^4 + sin2x/2^4 + sin3x/3^4 + ・・・) - ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2sin(x/2))＝-(cosx/1^5 + cos2x/2^5 + cos3x/3^5 + ・・・) + ζ(5) - ζ(3)・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝-(sinx/1^6 + sin2x/2^6 + sin3x/3^6 + ・・・) + ζ(5)・x/1！ - ζ(3)・x^3/3！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(cosx/1^7 + cos2x/2^7 + cos3x/3^7 + ・・・) - ζ(7) + ζ(5) ・x^2/2！ - ζ(3)・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
＝(sinx/1^8 + sin2x/2^8 + sin3x/3^8 + ・・・) - ζ(7)・x/1！ + ζ(5)・x^3/3！ - ζ(3)・x^5/5！
・
・
と、このように上下に延々と続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x に3π/4を代入すると、次のようになります。
［3π/4代入の式］
・
・
4回微分
2^4・L2（-4）/√2 - 4^4・L(-4)
＝｛2sin(3π/4)・sin(3π/8) + 4(2+cos(3π/4))cos(3π/8)｝/｛sin(3π/8)｝^5
L2(-4) ＝ 57、L(-4)＝5/2より、式は成立（計算は略）。
3回微分
-2^3・L1（-3）/√2 - 8^3・(1-2^4)・ζ(-3)＝(2+cos(3π/4))/｛sin(3π/8)｝^4
L1(-3) ＝ 11、ζ(-3)＝1/120より、式は成立。
2回微分
-2^2・L2（-2）/√2 + 4^2・L(-2)＝cos(3π/8)/｛sin(3π/8)｝^3
L2(-2) ＝ -3、L(-2)＝-1/2より、式は成立。
1回微分
-2√2・L1（-1） + 48・ζ(-1)＝-1/｛sin(3π/8)｝^2
L1(-1) ＝ -1、ζ(-1)＝-1/12より、式は成立。
0回積分
2｛1/√2・L2(0) - 1/2^0・L(0)｝＝cos(3π/8)/sin(3π/8)
L2(0) ＝ 1、L(0) ＝ 1/2より、式は成立。
１回積分
L1（1）/√2 + 1/4・log2＝log｛2sin(3π/8)｝
L1(1) ＝ log(√2+1)/√2より、式は成立。
2回積分
-L2（2）/√2 + L(2)/2^2＝∫(0～3π/4) log(2sin(x/2))
3回積分
-L1（3）/√2 - (1-1/2^2)ζ(3)/4^3- ζ(3) ＝∫(0～3π/4)∫log(2sin(x/2))
4回積分
L2（4）/√2 - L(4)/2^4- ζ(3)・(3π/4)＝∫(0～3π/4)∫∫log(2sin(x/2))
5回積分
L1（5）/√2 + (1-1/2^4)ζ(5)/4^5 + ζ(5) - ζ(3)・(3π/4)^2/2！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫log(2sin(x/2))
6回積分
-L2（6）/√2 + L(6)/2^6 + ζ(5)・(3π/4) - ζ(3)・(3π/4)^3/3！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫log(2sin(x/2))
7回積分
-L1（7）/√2 - (1-1/2^6)ζ(7)/4^7
- ζ(7) + ζ(5)・(3π/4)^2/2！ - ζ(3)・(3π/4)^4/4！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
8回積分
L2（8）/√2 - L(8)/2^8
- ζ(7)・(3π/4) + ζ(5)・(3π/4)^3/3！ - ζ(3)・(3π/4)^5/5！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫∫log(2sin(x/2))
・
・
と、ζ(2n+1)とL1(2n+1)とL2(2n)とL(2n)が現れる式が並びます。
上で右辺の重回積分は一番左の（最後の）∫だけが0～3π/4の定積分で、他の∫はすべて0～xの定積分。
これらは、全て既出のゼータ関数ですが、全てディリクレのL関数L（χ,s）であることはいうまでもありません。
念のため、これらの定義を書いておきます。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・
L1(s)=1/1^s - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s+･･･
L2(s)=1/1^s + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s+･･･
(注意：L1(s)とL2(s)は、+ - はこの単位で延々とくり返されていきます。)
ディリクレのＬ関数L(χ,s)とは次のように定義されるものであって、ディリクレ指標χ(ａ)に対して特徴づけ
られる保型形式のゼータ関数です。
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
上の４つが、どのようなχ(a)に対応するかも記しておきます。
ζ(s)は、すべてのaに対して χ(a)＝1とおいたL(χ,s)に一致します。
L(s)は、a≡0, 1, 2, 3 mod 4の時、それぞれχ(a)＝0, 1 0, -1とおいた場合のL(χ,s)です。
L1(s)は、mod 8に対応したχ(a)をもち、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したL(χ,s)となります。
L2(s)は、mod 8に対応したディリクレ指標χ(a)をもちますが、今度は
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)に
対応したものとなっています。
L1(2n+1)もL2(2n)も値が明示的に値が求まらない特殊値であり、現代数学でも不明されているものです。
統一的法則性で出てくるゼータ関数の特殊値は、不思議にも、現代数学でさっぱりわからないとされるもの
ばかりなのです。
では次に、もう一つの中心母等式（次式）における3π/4代入を調べます。
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----①
①を重回積分-重回微分した結果をまず書き下します。
［重回積分、重回微分した一連の式］
・
・
4回微分
｛8sin(x/2)+4(sin(x/2))^3｝/(cos(x/2))^5＝2^4sinx - 4^4sin2x + 6^4sin3x - 8^4sin4x + ・・・・
3回微分
(cosx-2)/(cos(x/2))^4＝2^3cosx - 4^3cos2x + 6^3cos3x - 8^3cos4x + ・・・・
2回微分
-sin(x/2)/(cos(x/2))^3＝2^2sinx - 4^2sin2x + 6^2sin3x - 8^2sin4x + ・・・・
1回微分
1/(cos(x/2))^2＝2(2cosx - 4cos2x + 6cos3x - 8cos4x + ・・・・）
0回積分
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・)
１回積分
log(2cos(x/2))＝cosx/1 - cos2x/2 + cos3x/3 - cos4x/4 +・・・
2回積分
∫log(2cos(x/2))＝sinx/1^2 - sin2x/2^2 + sin3x/3^2 - sin4x/4^2 +・・・
3回積分
∫∫log(2cos(x/2))＝(-cosx/1^3 + cos2x/2^3 - cos3x/3^3 + cos4x/4^3 -・・・) + (1-1/2^2)・ζ(3)
4回積分
∫∫∫log(2cos(x/2))＝(-sinx/1^4 + sin2x/2^4 - sin3x/3^4 + sin4x/4^4 - ・・・) + (1-1/2^2)ζ(3)・x/1！
5回積分
∫∫∫∫log(2cos(x/2))＝(cosx/1^5 - cos2x/2^5 + cos3x/3^5 - cos4x/4^5 + ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^2/2！- (1-1/2^4)ζ(5)
6回積分
∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(sinx/1^6 - sin2x/2^6 + sin3x/3^6 - sin4x/4^6 +・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^3/3！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x/1！
7回積分
∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(-cosx/1^7 + cos2x/2^7 - cos3x/3^7 + cos4x/4^7 - ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^4/4！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x^2/2！+ (1-1/2^6)ζ(7)
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
＝(-sinx/1^8 + sin2x/2^8 - sin3x/3^8 + sin4x/4^8 - ・・・)
+ (1-1/2^2)ζ(3)・x^5/5！- (1-1/2^4)ζ(5) ・x^3/3！+ (1-1/2^6)ζ(7) ・x/1！
・
・
と、このように上下に続いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
上の式の x に3π/4を代入すると、次のようになります。
［3π/4代入の式］
・
・
4回微分
2^4・L2（-4）/√2 + 4^4・L(-4)＝｛8sin(3π/8) + 4(sin(3π/8))^3｝/｛cos(3π/8)｝^5
L2(-4) ＝ 57、L(-4)＝5/2より、式は成立（計算は略）。
3回微分
-2^3・L1（-3）/√2 + 8^3・(1-2^4)・ζ(-3)＝｛cos(3π/4)-2｝/｛cos(3π/8)｝^4
L1(-3) ＝ 11、ζ(-3)＝1/120より、式は成立。
2回微分
2^2・L2（-2）/√2 + 4^2・L(-2)＝-sin(3π/8)/｛cos(3π/8)｝^3
L2(-2) ＝ -3、L(-2)＝-1/2より、式は成立。
1回微分
-2^2・L1（-1）/√2 - 48・ζ(-1)＝1/｛cos(3π/8)｝^2
L1(-1) ＝ -1、ζ(-1)＝-1/12より、式は成立。
0回積分
2｛1/√2・L2(0) + 1/2^0・L(0)｝＝sin(3π/8)/cos(3π/8)
L2(0) ＝ 1、L(0) ＝ 1/2より、式は成立。
１回積分
-L1（1）/√2 + 1/4・log2＝log｛2cos(3π/8)｝
L1(1) ＝ log(√2+1)/√2より、式は成立。
2回積分
L2（2）/√2 + L(2)/2^2＝∫(0～3π/4) log(2cos(x/2))
3回積分
L1（3）/√2 - (1-1/2^2)ζ(3)/4^3 + (1-1/2^2)ζ(3) ＝∫(0～3π/4)∫log(2cos(x/2))
4回積分
-L2（4）/√2 - L(4)/2^4 + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)＝∫(0～3π/4)∫∫log(2cos(x/2))
5回積分
-L1（5）/√2 + (1-1/2^4)ζ(5)/4^5 - (1-1/2^4)ζ(5) + ζ(3)・(3π/4)^2/2！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫log(2cos(x/2))
6回積分
L2（6）/√2 + L(6)/2^6 - (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4) - (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^3/3！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫log(2cos(x/2))
7回積分
L1（7）/√2 - (1-1/2^6)ζ(7)/4^7
+ (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4)^2/2！ + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^4/4！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
8回積分
-L2（8）/√2 - L(8)/2^8
+ (1-1/2^6)ζ(7)・(3π/4) - (1-1/2^4)ζ(5)・(3π/4)^3/3！ + (1-1/2^2)ζ(3)・(3π/4)^5/5！
＝∫(0～3π/4)∫∫∫∫∫∫log(2cos(x/2))
・
・
と、ζ(2n+1)とL1(2n+1)とL2(2n)とL(2n)が現れる式が並びます。
一つ上で出たのと同じゼータ関数が並んでいます。
そして、やはりこれまで同様、一つ上の結果と例の面白い対比を形作っているのですが、次で見ましょう。
上で見た3π/4代入の二つの場合の比較を、表の形でまとめておきます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
このページでの＜cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x +・・ )の重回積分-重回微分に3π/4を代入＞の結果と
＜sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x +・・ )の重回積分-重回微分に3π/4を代入＞の結果を、比較すると以下の
ようになります。
Aは①に対応する結果、Bは②に対応する結果です（微分側は無視します）。
3π/4代入の場合の比較
やはり、面白い結果となりました。
ここでも、「その１」～「その３」とまったく同じ現象が出たのです。
A、Bで(1-1/2^n)の係数をとり除けば、各項の符号（+,-）を除いて両者の左辺は同じものになってしまうのですから、
面白くないはずがありません！
ゼータの裏側に潜む究極の秩序がにじみ出てきていると感じます。
この秩序をさらに、もっと詳しく調べていくことは、結局ゼータをよく知るということに繋がっていくのだと思います。
「その１」～「その４」の結果は、なにかのはじまりに過ぎないのではないでしょうか。
美しい中心母等式①、②は、すべての神秘を背負い込んだ式といえるかもしれません。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----①
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----②
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