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＜ ラマヌジャン式とその類似式 ＞
「スワン彗星 その４」で次のようなラマヌジャンの不思議な式について考察した。
1^1/(e^(2π)-1) + 2^1/(e^(4π)-1) + 3^1/(e^(6π)-1) + ・・＝1/24 - 1/(8π)
1^3/(e^(2π)-1) + 2^3/(e^(4π)-1) + 3^3/(e^(6π)-1) + ・・＝(1/80)(ω/π)^4 - 1/240
1^5/(e^(2π)-1) + 2^5/(e^(4π)-1) + 3^5/(e^(6π)-1) + ・・＝1/504
ここで、ωはレムニケート周率で円周率πの類似物である。ω=2.6220575542921198・・
これらはまったく驚くベき等式である。何度見てもすばらしい。
「スワン彗星 その４」では、フーリエシステムを用いて上式の構造を解明すべく研究を行ったのだが、あと一歩というところ
で解明には至らなかった。しかしラマヌジャン式の裏側にある構造の大きな部分を明らかにできたと思う。ある意味フーリエ
システムの威力を見た場面でもあった。解決できなかった部分については、例えば次のような問いを発する形で（未解決
問題として）残しておいた。
『 g(x)＝1^2sinx/(e^(2π)-1) + 2^2sin2x/(e^(4π)-1) + 3^2sin3x/(e^(6π)-1) + ・・
このサイン級数を与えるg(x)はどんな姿をしているのだろうか？
未解決の問題としておく。』
このように残したままになっている。私はいつもこの問題が気になっていて折にふれては考えているが、なかなか解決でき
ないでいる。
この問題を考える途中で今回副産物として面白い式をいくつも見出したので、この「ファン・ネス彗星」で紹介していきたい。
それらは「ゼータの香りの漂う式」でもある。
今回、次のような式が得られた。
1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + 4/(e^(8π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(sinh(π))^2 + 1/(sinh(2π))^2 + 1/(sinh(3π))^2 + 1/(sinh(4π))^2 + ・・・｝
1/(e^(2π)-1) - 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) - 4/(e^(8π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(cosh(π))^2 + 1/(cosh(2π))^2 + 1/(cosh(3π))^2 + 1/(cosh(4π))^2 + ・・・｝
1/(e^(4π)-1) - 2/(e^(8π)-1) + 3/(e^(12π)-1) - 4/(e^(16π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(cosh(2π))^2 + 1/(cosh(4π))^2 + 1/(cosh(6π))^2 + 1/(cosh(8π))^2 + ・・・｝
左辺を見れば、まさにゼータの香りが漂っていることがわかるであろう。ゼータも多種多様なものがあるが、上式の香りは
リーマン・ゼータζ(ｓ)のものであることはいうまでもない。上式はζ(-1)の香りが漂っている。
また「スワン彗星 その４」でも示したが、一番上の式はラマヌジャンによって、じつは1/24 - 1/(8π) となることが示され
ている。
なお、cosh(x)、sinh(x)は、それぞれハイパボリックコサイン、ハイパボリックサインであり、cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2、
sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2である。
上式の導出方法を以下に示す。
［導出］
まず
F(x)=sin(x)/(e^(2π)-1) + sin(2x)/(e^(4π)-1) + sin(3x)/(e^(6π)-1) + sin(4x)/(e^(8π)-1) +・・・・ ----①
という関数F(x)を考える。
右辺の各項を次のように変形する。
sin(x)/(e^(2π)-1)=e^(-2π)sin(x)/(1-e^(-2π))=e^(-2π)sin(x)｛1+(e^(-2π)+(e^(-4π)+(e^(-6π)+・・・｝
sin(2x)/(e^(4π)-1)=e^(-4π)sin(x)/(1-e^(-4π))=e^(-4π)sin(2x)｛1+(e^(-4π)+(e^(-8π)+(e^(-12π)+・・・｝
sin(3x)/(e^(6π)-1)=e^(-6π)sin(x)/(1-e^(-6π))=e^(-6π)sin(3x)｛1+(e^(-6π)+(e^(-12π)+(e^(-18π)+・・・｝
sin(4x)/(e^(8π)-1)=e^(-8π)sin(x)/(1-e^(-8π))=e^(-8π)sin(4x)｛1+(e^(-8π)+(e^(-16π)+(e^(-24π)+・・・｝
・
・
①右辺は上の左側を全て足し合わせたものだから、上の最右辺を足し合わせると①右辺は次のように表現できる。
①右辺 = (e^(-2π)sin(x)+e^(-4π)sin(2x)+e^(-6π)sin(3x)+e^(-8π)sin(4x)+・・・)
+ (e^(-4π)sin(x)+e^(-8π)sin(2x)+e^(-12π)sin(3x)+e^(-16π)sin(4x)+・・・)
+ (e^(-6π)sin(x)+e^(-12π)sin(2x)+e^(-18π)sin(3x)+e^(-24π)sin(4x)+・・・)
･･･････････････････････････････・・・・・・・・・・・・・・・・
さて、ここでフーリエ級数の公式を適用する。 「岩波 数学公式」（一松他著、岩波書店）p.250にある公式
sinx/(cosh(a)-cosx)=2∑(n=1～∞) e^(-n・a)・sin(nx) （-π<=x<=π, a >0）
を上の①右辺に適用して次を得る。
①右辺 = (1/2)｛sinx/(cosh(2π)- cosx) + sinx/(cosh(4π)- cosx) + sinx/(cosh(6π)- cosx) + ・・・ ｝
よって、これより、①は次のようになる。
sin(x)/(e^(2π)-1) + sin(2x)/(e^(4π)-1) + sin(3x)/(e^(6π)-1) + sin(4x)/(e^(8π)-1) +・・・・
=(1/2)｛sinx/(cosh(2π)- cosx) + sinx/(cosh(4π)- cosx) + sinx/(cosh(6π)- cosx) + ・・・ ｝ ----A
この両辺を項別微分すると、次のようになる。
cosx/(e^(2π)-1) + 2cos2x/(e^(4π)-1) + 3cos3x/(e^(6π)-1) + 4cos4x/(e^(8π)-1) +・・・・
=(1/2)｛(cosh(2π)cosx-1)/(cosh(2π)- cosx)^2 + (cosh(4π)cosx-1)/(cosh(4π)- cosx)^2
+ (cosh(6π)cosx-1)/(cosh(6π)- cosx)^2 + (cosh(8π)cosx-1)/(cosh(8π)- cosx)^2 + ・・・｝ ----②
（-π<=x<=π, a >0）
∑で表現すると、次のようになる。
cosx/(e^(2π)-1) + 2cos2x/(e^(4π)-1) + 3cos3x/(e^(6π)-1) + 4cos4x/(e^(8π)-1) +・・・・
=(1/2)∑(n=1～∞) (cosh(2nπ)cosx-1)/(cosh(2nπ)- cosx)^2 ------B
（-π<=x<=π, a >0）
この②でｘ=0として変形・整理すると次式を得る。
1/(e^(2π)-1) + 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) + 4/(e^(8π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(sinh(π))^2 + 1/(sinh(2π))^2 + 1/(sinh(3π))^2 + 1/(sinh(4π))^2 + ・・・｝
②でｘ=πとして変形・整理すると次式を得る。
1/(e^(2π)-1) - 2/(e^(4π)-1) + 3/(e^(6π)-1) - 4/(e^(8π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(cosh(π))^2 + 1/(cosh(2π))^2 + 1/(cosh(3π))^2 + 1/(cosh(4π))^2 + ・・・｝
②でｘ=π/2として変形・整理すると次式を得る。
1/(e^(4π)-1) - 2/(e^(8π)-1) + 3/(e^(12π)-1) - 4/(e^(16π)-1) +・・
＝(1/4)｛1/(cosh(2π))^2 + 1/(cosh(4π))^2 + 1/(cosh(6π))^2 + 1/(cosh(8π))^2 + ・・・｝
これらは冒頭に示した式そのものである。よって目標の式が導出できた。
［終わり］
導出した式を念のためExcelでも検証したが、左辺と右辺の値は一致した。数値で示すと、
一番上の式(x=0)=0.0018779・・、真ん中の式(x=π)＝0.0018639・・、一番下の式(x=π/2)＝3.4873・・×10^(-6) となる。
まとめておこう。
また別の次のような式も得られた。
1/(e^(2π)-1) - 1/(e^(6π)-1) + 1/(e^(10π)-1) - 1/(e^(14π)-1) +・・
＝(1/2)｛1/cosh(2π) + 1/cosh(4π) + 1/cosh(6π) + 1/cosh(8π) + ・・・｝ ------①
1/｛1(e^(2π)-1)｝ + 1/｛3(e^(6π)-1)｝ + 1/｛5(e^(10π)-1)｝ + 1/｛7(e^(14π)-1)｝ +・・
＝(1/2)｛log|cosh(π)/sinh(π)| + log|cosh(2π)/sinh(2π)| + log|cosh(3π)/sinh(3π)| ・・・｝ ----②
4×2/(e^(6π)-1) - 6×4/(e^(10π)-1) + 8×6/(e^(14π)-1) - 10×8/(e^(18π)-1) +・・
＝1/(cosh(2π))^3 + 1/(cosh(4π))^3 + 1/(cosh(6π))^3 + 1/(cosh(8π))^3 + ・・・ -----③
左辺を見れば、やはりこれらもゼータの香りが漂っている。①はζ(0)の、②はζ(1)の香りがしている。
③に関して、4×2=(3^2-1)、6×4=(5^2-1)、8×6=(7^2-1)、10×8=(9^2-1)、・・であるから③はζ(-2)の香りが漂う。
［導出］
①は上の＜・・その１＞で得た次のA式を元に導いた。
sin(x)/(e^(2π)-1) + sin(2x)/(e^(4π)-1) + sin(3x)/(e^(6π)-1) + sin(4x)/(e^(8π)-1) +・・・・
=(1/2)｛sinx/(cosh(2π)- cosx) + sinx/(cosh(4π)- cosx) + sinx/(cosh(6π)- cosx) + ・・・ ｝ ------ A
（-π<=x<=π, a >0）
このxにπ/2を代入すると簡単に①式が出る。
1/(e^(2π)-1) - 1/(e^(6π)-1) + 1/(e^(10π)-1) - 1/(e^(14π)-1) +・・
＝(1/2)｛1/cosh(2π) + 1/cosh(4π) + 1/cosh(6π) + 1/cosh(8π) + ・・・｝ ------①
①の導出は終了。
次に、A式の両辺を１回積分すると次式を得る。
(1-cosx)/｛1(e^(2π)-1)｝ + (1-cos2x)/｛2(e^(4π)-1)｝ + (1-cos3x)/｛3(e^(6π)-1)｝ + (1-cos4x)/｛4(e^(8π)-1)｝ +・・・
=(1/2)｛log|(cosh(2π)-cosx)/(cosh(2π)-1)| + log|(cosh(4π)-cosx)/(cosh(4π)-1)|
+ log|(cosh(6π)-cosx)/(cosh(6π)-1)| + log|(cosh(8π)-cosx)/(cosh(8π)-1)| +・・・｝ ------ C
（-π<=x<=π, a >0）
C式のxにπを代入して次を得る。
1/｛1(e^(2π)-1)｝ + 1/｛3(e^(6π)-1)｝ + 1/｛5(e^(10π)-1)｝ + 1/｛7(e^(14π)-1)｝ +・・
＝(1/4)｛log|(cosh(2π)+1)/(cosh(2π)-1)| + log|(cosh(4π)+1)/(cosh(4π)-1)| + log|(cosh(6π)+1)/(cosh(6π)-1)| ・・・｝
右辺をさらに変形して②式を得る。
1/｛1(e^(2π)-1)｝ + 1/｛3(e^(6π)-1)｝ + 1/｛5(e^(10π)-1)｝ + 1/｛7(e^(14π)-1)｝ +・・
＝(1/2)｛log|cosh(π)/sinh(π)| + log|cosh(2π)/sinh(2π)| + log|cosh(3π)/sinh(3π)| ・・・｝ ----②
よって②も導出された。
②の導出終了。
次に、A式を２回微分すると次式が得られる。
1^2・sin(x)/(e^(2π)-1) + 2^2・sin(2x)/(e^(4π)-1) + 3^2・sin(3x)/(e^(6π)-1) + 4^2・sin(4x)/(e^(8π)-1) +・・・・
=sinx｛cosh(4π)+2cosh(2π)cosx-3｝/(cosh(2π)-cosx)^3
+ sinx｛cosh(8π)+2cosh(4π)cosx-3｝/(cosh(4π)-cosx)^3
+ sinx｛cosh(12π)+2cosh(6π)cosx-3｝/(cosh(6π)-cosx)^3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------ D
（-π<=x<=π, a >0）
このD式のｘにπ/2を代入すると次のようになる。
1^2/(e^(2π)-1) - 3^2/(e^(6π)-1) + 5^2/(e^(10π)-1) - 7^2/(e^(14π)-1) +・・
＝(1/4)｛(cosh(4π)-3)/(cosh(2π))^3 + (cosh(8π)-3)/(cosh(4π))^3
+ (cosh(12π)-3)/(cosh(6π))^3 + (cosh(16π)-3)/(cosh(8π))^3 + ・・・｝ ----④
左辺はまさにζ(-2)の香りが漂っている。右辺の｛｝内はさらに次のように変形できる。
右辺の｛ ｝内=
(cosh(4π)-3)/(cosh(2π))^3 + (cosh(8π)-3)/(cosh(4π))^3
+ (cosh(12π)-3)/(cosh(6π))^3 + (cosh(16π)-3)/(cosh(8π))^3 + ・・・
=｛2(cosh(2π))^2-4｝/(cosh(2π))^3 + ｛2(cosh(4π))^2-4｝/(cosh(4π))^3+ ｛2(cosh(6π))^2-4｝/(cosh(6π))^3 + ・・・
=2｛1/cosh(2π) + 1/cosh(4π) + 1/cosh(6π) + 1/cosh(8π) + ・・・｝
- 4｛1/(cosh(2π))^3 + 1/(cosh(4π))^3 + 1/(cosh(6π))^3 + 1/(cosh(8π))^3 + ・・・｝
=4｛1/(e^(2π)-1) - 1/(e^(6π)-1) + 1/(e^(10π)-1) - 1/(e^(14π)-1) +・・・｝
- 4｛1/(cosh(2π))^3 + 1/(cosh(4π))^3 + 1/(cosh(6π))^3 + 1/(cosh(8π))^3 + ・・・｝
最後の = では①を利用した。よって④は次のようになる。
1^2/(e^(2π)-1) - 3^2/(e^(6π)-1) + 5^2/(e^(10π)-1) - 7^2/(e^(14π)-1) +・・
=｛1/(e^(2π)-1) - 1/(e^(6π)-1) + 1/(e^(10π)-1) - 1/(e^(14π)-1) +・・・｝
- ｛1/(cosh(2π))^3 + 1/(cosh(4π))^3 + 1/(cosh(6π))^3 + 1/(cosh(8π))^3 + ・・・｝
これを整理して③が得られる。
4×2/(e^(6π)-1) - 6×4/(e^(10π)-1) + 8×6/(e^(14π)-1) - 10×8/(e^(18π)-1) +・・
＝1/(cosh(2π))^3 + 1/(cosh(4π))^3 + 1/(cosh(6π))^3 + 1/(cosh(8π))^3 + ・・・ -----③
③の導出も終了。
［終わり］
①、②、③式をExcelマクロを使って検証した。
①は左辺と右辺とも0.001870924・・に収束。OK。
②は左辺と右辺とも0.001870939・・に収束。OK。
③は左辺と右辺とも5.2098752・・×10^-8に収束。OK。
＜・・その１＞、＜・・その２＞の結果を一緒にして、まとめておく。
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