クラーク彗星 その４
2008/12/18 ＜ 予想A-2のさらなる変形->予想A-2a ＞
数学の巨人・佐藤郁郎氏が当サイトのリーマン予想の研究を紹介してくださった。氏に深く感謝いたします。
さて「 その１」で次の予想を書いたが、さらに美しく変形できることに気づいた。
（最初にこれを書き下したのは２年前「ヘール・ボップ彗星」の「 その１」においてである）
予想A-2 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの無限次方程式を考える。
この二方程式を同時に満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。
1 - ｛1/2^c - 1/3^c + 1/4^c - 1/5^c +・・・｝
+ ｛(log2)^2/2^c - (log3)^2/3^c + (log4)^2/4^c - (log5)^2/5^c + ・・・｝x^2/2！
- ｛(log2)^4/2^c - (log3)^4/3^c + (log4)^4/4^c - (log5)^4/5^c + ・・・｝x^4/4！
+ ｛(log2)^6/2^c - (log3)^6/3^c + (log4)^6/4^c - (log5)^6/5^c + ・・・｝x^6/6！
- ｛(log2)^8/2^c - (log3)^8/3^c + (log4)^8/4^c - (log5)^8/5^c + ・・・｝x^8/8！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
｛(log2)^1/2^c - (log3)^1/3^c + (log4)^1/4^c - (log5)^1/5^c + ・・・｝x^1/1！
- ｛(log2)^3/2^c - (log3)^3/3^c + (log4)^3/4^c - (log5)^3/5^c +・・・｝x^3/3！
+ ｛(log2)^5/2^c - (log3)^5/3^c + (log4)^5/4^c - (log5)^5/5^c +・・・｝x^5/5！
- ｛(log2)^7/2^c - (log3)^7/3^c + (log4)^7/4^c - (log5)^7/5^c + ・・・｝x^7/7！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
|
上を次のような完全に調和的・対称的な形に変形できるのである。予想A-2aとしておく。
予想A-2a （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの無限次方程式を考える。
この二方程式を同時に満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。
｛1 - 1/2^c + 1/3^c - 1/4^c + 1/5^c - ・・・｝
- ｛(log1)^2/1^c - (log2)^2/2^c + (log3)^2/3^c - (log4)^2/4^c + (log5)^2/5^c - ・・・｝x^2/2！
+ ｛(log1)^4/1^c - (log2)^4/2^c + (log3)^4/3^c - (log4)^4/4^c + (log5)^4/5^c - ・・・｝x^4/4！
- ｛(log1)^6/1^c - (log2)^6/2^c + (log3)^6/3^c - (log4)^6/4^c + (log5)^6/5^c - ・・・｝x^6/6！
+ ｛(log1)^8/1^c - (log2)^8/2^c + (log3)^8/3^c - (log4)^8/4^c + (log5)^8/5^c - ・・・｝x^8/8！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
｛(log1)^1/1^c - (log2)^1/2^c + (log3)^1/3^c - (log4)^1/4^c + (log5)^1/5^c - ・・・｝x^1/1！
- ｛(log1)^3/1^c - (log2)^3/2^c + (log3)^3/3^c - (log4)^3/4^c + (log5)^3/5^c - ・・・｝x^3/3！
+ ｛(log1)^5/1^c - (log2)^5/2^c + (log3)^5/3^c - (log4)^5/4^c + (log5)^5/5^c - ・・・｝x^5/5！
- ｛(log1)^7/1^c - (log2)^7/2^c + (log3)^7/3^c - (log4)^7/4^c + (log5)^7/5^c - ・・・｝x^7/7！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
|
予想A-2と予想A-2aは、本質的にまったく同じである。
どちらが美しいか？予想A-2aの方がよほど美しい。「形などどうでもいいではないか」と思われるかもしれないが、
ゼータは究極の美と調和を好む生命体であり、やはりその心を反映した形で書いておきたいものである。
美しい形は構造をさぐる上でもよい影響を与えてくれる。
同様にして予想B-2ももちろん次のようになる。予想B-2aとした。
予想B-2a （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの無限次方程式を考える。
cが1/2でないならば、この二つの方程式を同時に満足する実数解は存在しないであろう。
｛1 - 1/2^c + 1/3^c - 1/4^c + 1/5^c - ・・・｝
- ｛(log1)^2/1^c - (log2)^2/2^c + (log3)^2/3^c - (log4)^2/4^c + (log5)^2/5^c - ・・・｝x^2/2！
+ ｛(log1)^4/1^c - (log2)^4/2^c + (log3)^4/3^c - (log4)^4/4^c + (log5)^4/5^c - ・・・｝x^4/4！
- ｛(log1)^6/1^c - (log2)^6/2^c + (log3)^6/3^c - (log4)^6/4^c + (log5)^6/5^c - ・・・｝x^6/6！
+ ｛(log1)^8/1^c - (log2)^8/2^c + (log3)^8/3^c - (log4)^8/4^c + (log5)^8/5^c - ・・・｝x^8/8！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
｛(log1)^1/1^c - (log2)^1/2^c + (log3)^1/3^c - (log4)^1/4^c + (log5)^1/5^c - ・・・｝x^1/1！
- ｛(log1)^3/1^c - (log2)^3/2^c + (log3)^3/3^c - (log4)^3/4^c + (log5)^3/5^c - ・・・｝x^3/3！
+ ｛(log1)^5/1^c - (log2)^5/2^c + (log3)^5/3^c - (log4)^5/4^c + (log5)^5/5^c - ・・・｝x^5/5！
- ｛(log1)^7/1^c - (log2)^7/2^c + (log3)^7/3^c - (log4)^7/4^c + (log5)^7/5^c - ・・・｝x^7/7！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
|
当サイトでは、リーマン予想を古典的な命題に変換してきたわけであるが、整理する意味で主なものを並べておこう。
予想A-1 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの方程式を考える。
この二つの方程式を同時に満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。
cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・＝0
sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・＝0
|
予想A-2a （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの無限次方程式を考える。
この二方程式を同時に満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。
｛1 - 1/2^c + 1/3^c - 1/4^c + 1/5^c - ・・・｝
- ｛(log1)^2/1^c - (log2)^2/2^c + (log3)^2/3^c - (log4)^2/4^c + (log5)^2/5^c - ・・・｝x^2/2！
+ ｛(log1)^4/1^c - (log2)^4/2^c + (log3)^4/3^c - (log4)^4/4^c + (log5)^4/5^c - ・・・｝x^4/4！
- ｛(log1)^6/1^c - (log2)^6/2^c + (log3)^6/3^c - (log4)^6/4^c + (log5)^6/5^c - ・・・｝x^6/6！
+ ｛(log1)^8/1^c - (log2)^8/2^c + (log3)^8/3^c - (log4)^8/4^c + (log5)^8/5^c - ・・・｝x^8/8！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
｛(log1)^1/1^c - (log2)^1/2^c + (log3)^1/3^c - (log4)^1/4^c + (log5)^1/5^c - ・・・｝x^1/1！
- ｛(log1)^3/1^c - (log2)^3/2^c + (log3)^3/3^c - (log4)^3/4^c + (log5)^3/5^c - ・・・｝x^3/3！
+ ｛(log1)^5/1^c - (log2)^5/2^c + (log3)^5/3^c - (log4)^5/4^c + (log5)^5/5^c - ・・・｝x^5/5！
- ｛(log1)^7/1^c - (log2)^7/2^c + (log3)^7/3^c - (log4)^7/4^c + (log5)^7/5^c - ・・・｝x^7/7！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
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予想B-1 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの方程式を考える。
cが1/2でないならば、この二つの方程式を同時に満足する実数解は存在しないであろう。
cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・＝0
sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・＝0
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予想B-2a （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの無限次方程式を考える。
cが1/2でないならば、この二つの方程式を同時に満足する実数解は存在しないであろう。
｛1 - 1/2^c + 1/3^c - 1/4^c + 1/5^c - ・・・｝
- ｛(log1)^2/1^c - (log2)^2/2^c + (log3)^2/3^c - (log4)^2/4^c + (log5)^2/5^c - ・・・｝x^2/2！
+ ｛(log1)^4/1^c - (log2)^4/2^c + (log3)^4/3^c - (log4)^4/4^c + (log5)^4/5^c - ・・・｝x^4/4！
- ｛(log1)^6/1^c - (log2)^6/2^c + (log3)^6/3^c - (log4)^6/4^c + (log5)^6/5^c - ・・・｝x^6/6！
+ ｛(log1)^8/1^c - (log2)^8/2^c + (log3)^8/3^c - (log4)^8/4^c + (log5)^8/5^c - ・・・｝x^8/8！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
｛(log1)^1/1^c - (log2)^1/2^c + (log3)^1/3^c - (log4)^1/4^c + (log5)^1/5^c - ・・・｝x^1/1！
- ｛(log1)^3/1^c - (log2)^3/2^c + (log3)^3/3^c - (log4)^3/4^c + (log5)^3/5^c - ・・・｝x^3/3！
+ ｛(log1)^5/1^c - (log2)^5/2^c + (log3)^5/3^c - (log4)^5/4^c + (log5)^5/5^c - ・・・｝x^5/5！
- ｛(log1)^7/1^c - (log2)^7/2^c + (log3)^7/3^c - (log4)^7/4^c + (log5)^7/5^c - ・・・｝x^7/7！
・・・・・・・・・・・・・・
＝0
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予想B-3 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。いまC(x)、S(x)を
C(x)＝cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・
S(x)＝sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・
とおくと、このとき、
方程式 C(x)^2+S(x)^2＝ 0の実数解が存在するのは、c＝1/2のときのみであろう。
|
予想B-4 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。いまC(x)、S(x)を
C(x)＝cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・
S(x)＝sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・
とおくと、このとき、
cが1/2でない場合は、方程式 C(x)^2+S(x)^2＝ 0は実数解を持たないであろう。
|
予想B-5 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。いまC(x)、S(x)を
C(x)＝cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・
S(x)＝sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・
とおくと、このとき、
cが1/2でない場合は、任意の実数xに対して、つねに C(x)^2+S(x)^2 > 0 が成り立つであろう。
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予想C-1 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する方程式を満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。
lim (k->∞)｛1/1^(2c) + 1/2^(2c) + ・・+ 1/k^(2c) + 2∑(j< k) (-1)^(j+k)・cos(x・log(j/k)) /(k・j )^c ｝＝0
|
予想C-2 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。cが1/2でない場合は、次のxに関する方程式は実数解を持たないであろう。
lim (k->∞)｛1/1^(2c) + 1/2^(2c) + ・・+ 1/k^(2c) + 2∑(j< k) (-1)^(j+k)・cos(x・log(j/k)) /(k・j )^c ｝＝0
ここに、k，j は正の整数である。 |
予想C-3 （ζ(ｓ)リーマン予想と同値）
cを0 < c < 1の実数とする。cが1/2でない場合は、任意の実数xに対して次式が常に成り立つであろう。
lim (k->∞)｛1/1^(2c) + 1/2^(2c) + ・・+ 1/k^(2c) + 2∑(j< k) (-1)^(j+k)・cos(x・log(j/k)) /(k・j )^c ｝ > 0
ここに、k，j は正の整数である。 |
以上。２年前「ヘール・ボップ彗星」の「 その１」の下方で、さらに予想A-3、予想A-4なども書いている。興味ある読者は
参照されたい。
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