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奇数ゼータζ(2n+1)の非明示性と微分方程式の関係を調べた。
＜ 偶数ゼータの場合 ＞
「その１」の＜ 奇数ゼータの研究 その１＞で、ζ(2n+1)の明示・非明示の問題と微分方程式の関連を示唆した。
そこでは示唆しただけで別の考察を行ったわけであるが、ここでは奇数ゼータと微分方程式との面白い関連性がある
ことを示したい。
＜ 奇数ゼータの研究 その１＞で次のように述べた。再掲する。
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［まとめ２］
３回微分してlog(2sin(x/2))になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)が明示的に求まる。
５回微分してlog(2sin(x/2))になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)、ζ(5)が明示的に求まる。
７回微分してlog(2sin(x/2))になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)が明示的に求まる。
一般的に表現すれば、次のようになる。n>=1の整数。
(2n+1)回微分してlog(2sin(x/2))になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)～ζ(2n+1)が明示的に求まる。
「３回微分してlog(2sin(x/2))になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)が明示的に求まる。」
をとり上げると、それは
y´´´＝log(2sin(x/2))
となるような初等関数yがあるか？
という問題と同じことだから、結局は微分方程式の問題であるともいえるが、それは後回しにして、次では「まとめ２」を
さらに考察したい。
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これだけでも非常に面白い事実であるといえるが、これを一歩進めたい。「後回しに」したことをここで行う。
その前に簡単化を行っておこう。以降はlog(2sin(x/2))を使う代わりに、log(sinx)を使う。議論上、本質的にはどちら
でも同じなのであるが簡潔なlog(sinx)の方を使うことにする。
まず「３回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、・・」の問題を取り上げよう。
これは上で述べたように、
y´´´＝log(sinx)となる初等関数yが存在するか？という問題と同じである。
y´´´＝log(sinx)
この両辺をさらに１回微分して
ｙ´´´´＝cosx/sinx ----①
①の両辺を２乗して、
(ｙ´´´´)^2＝(cosx)^2/(sinx)^2
つまり、
(ｙ´´´´)^2＝1/(sinx)^2 - 1 ----②
となる。
①をさらに１回微分して
ｙ´´´´´＝-1/(sinx)^2 ----③
②と③から、sinxを消して
(ｙ´´´´)^2 + ｙ´´´´´＝-1 ----④
微分の「´」が見難いので、D^nyを「yのn回微分」として④を書き直すと次のようになる。
(D^4ｙ)^2 + (D^5ｙ)＝-1 ----⑤
すなわち、y´´´＝log(sinx)となる初等関数yが存在するか？は
(D^4ｙ)^2 + (D^5ｙ)＝-1の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じなのである。
次に、「５回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、・・」も、上と全く同様にして、
(D^6ｙ)^2 + (D^7ｙ)＝-1の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じになる。
「７回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、・・」も、当然ながら、
(D^8ｙ)^2 + (D^9ｙ)＝-1の微分方程式に初等関数yの解が存在するか？という問題と同じとなる。
以下も同様に続く。
さらに偶数回微分にも問題を拡張できる。＜ 奇数ゼータの研究 その１＞での考察から、
４回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)の明示性が言える。
６回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)、ζ(5)の明示性が言える。
８回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在すれば、ζ(3)、ζ(5)、ζ(7)の明示性が言える。
・
・
ということが明らかに言えるので、結局、奇数ゼータの明示・非明示問題は、
n回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在するのか？
という問題と密接に関連しているのである。
上の一連の微分方程式は、パンルヴェ方程式にすこし似た
y^2 + y´＝-1 ----⑥
に関係しているのは明らかである。なぜなら、例えば、yをy´´´´に置き換えると⑤(④)になるからである。
つまり、奇数ゼータ問題は、
(D^nｙ)^2 + (D^(n+1)ｙ)＝-1 ----⑦
の微分方程式の解の存在に関係している。ところで、n＝0の場合（これは⑥だが）の一般解は、
ｙ＝cos(x+C)/sin(x+C) ----⑦-2
となる。Cは任意定数。
またn＝1の場合、⑦は
(y´)^2 + y´´＝-1 ----⑧
となるが、この一般解も簡単にわかり、
ｙ＝log(sin(x+C1)) + C2 ----⑧-2
となる。C1とC2は任意定数。
⑦の「n回微分してlog(sinx)になるような初等関数が存在するのか？」という問題では、
なんとn＝0、１の場合では、初等関数yの解が存在するのである！！（⑦-2と⑧-2を見よ）
ではn＝4の場合はどうなのだろうか？
これは⑤（④）の微分方程式に対応し、もし初等関数の解yがあれば、ζ(3)は明示的に求まることが言えてしまうので
あるが、はたしてそんな解は存在するだろうか？
n＝6の場合はどうか？そして、n＝8は・・と問いが続くが、
そんな解は存在しないに違いないということが「その１」の＜ 奇数ゼータの研究 その２＞でわかったことである。
きたといえよう。
さらに上記「偶数回微分してlog(sinx)になるような初等関数が・・」の問題は、
cosx/1^3+cos2/2^3+cos5/5^3+・・ ---⑨
cosx/1^5+cos2/2^5+cos5/5^5+・・
cosx/1^7+cos2/2^7+cos5/5^7+・・
・
・
などのフーリエ級数の公式が公式集にないということに対応し、「偶数回微分して・・」の場合も「奇数回・・」と全く同様
のことが言えるのである。（⑨だけは書いてはあるが、∫が混じるという明示的な表示ではない！）
また⑦のn＝2と3の場合では、対応するフーリエ級数公式が公式集で非明示表示で記載されていることから、n＝2と3
の微分方程式では初等関数yの解は存在しないはずとわかる。
以上をまとめると、次のようになる。
［まとめ］
**************
y^2 + y´＝-1 --> 初等関数y＝cos(x+C)/sin(x+C)の解あり
(y´)^2 + y´´＝-1 --> 初等関数y＝log(sin(x+C1)) + C2の解あり (y´´)^2 + y´´´＝-1 --> 初等関数の解なし (y´´´)^2 + y´´´´＝-1 --> 初等関数の解なし (y´´´´)^2 + y´´´´´＝-1 --> 初等関数の解なし <--もしあればζ(3)が明示的に求まる！
(y´´´´´)^2 + y´´´´´´＝-1 --> 初等関数の解なし <--もしあればζ(3)が明示的に求まる！
(y´´´´´´)^2 + y´´´´´´´＝-1 --> 初等関数の解なし <--もしあればζ(3)とζ(5)が明示的に求まる！
・ ・ となって、初等関数の解があるのは一番目と２番目の二つだけなのである！ D^(n)をn回微分とすると、 (D^(n)y)^2 + D^(n+1)y＝-1 でn>＝2では永遠に初等関数解なし！（予想だが正しいはず）となる。ζ(3)、ζ(5)・・の非明示をいうにはn>＝4で十分。 初等関数の解があるのは二つだけというのはとてもふしぎである。
フェルマーの最終定理はn>=3で解なしだが、奇数ゼータ問題では微分方程式で同じようなことになっているのである。
**************
「上記微分方程式の初等関数解が存在すること」は、「ζ(2n+1)が明示的に求まること」の十分条件となっていること
に注意いただきたい。ζ(2n+1)の明示をいうには、初等関数解（特解でＯＫ）があれば十分！ということ。
記号的に書けば、次のようになる。
上記微分方程式（n>＝4）での初等関数解が存在する。 ---> ζ(2n+1)が明示的に求まる。 -----⑩
対偶をとれば、
ζ(2n+1)が明示的には求まらない。 ---> 上記微分方程式の初等関数解は存在しない。
となる。
⑩の逆が成り立つのかどうか現時点ではわからない。おそらく成り立つのでは？と思うが、示せていない。
この［まとめ］のところだけを、数学の巨人・佐藤郁郎氏に先にメールで知らせた。すると、佐藤氏はすぐにこの部分を
当サイトに書く前に氏のサイトで紹介してくださった。
パンルヴェ方程式については佐藤氏の記事「最大値分布について（その２）」を参考にされたい。
では偶数ゼータζ(2n)ではどうなのか。その場合は、当然ながら初等関数ｙがあるということになる。
それは当たり前すぎるので詳しくは書かないが、もし
の三つと同様のことをζ(2n）で行った場合（nは2以上の整数）、どうなるか。結論的なことだけ書く。
y´´＝(π-x)/2となるような初等関数yがあれば、ζ(2)は明示的に求まる。
y´´´＝(π-x)/2となるような初等関数yがあれば、ζ(2)は明示的に求まる。
y´´´´＝(π-x)/2となるような初等関数yがあれば、ζ(2)、ζ(4)は明示的に求まる。
y´´´´´＝(π-x)/2となるような初等関数yがあれば、ζ(2)、ζ(4)は明示的に求まる。
・
・
となる。
これらの初等関数のyは当然存在するし、すぐに求まる。よって、すべてのζ(2n)は明示的に求まる。
オイラーが、まず最初にζ(2)の正体を探ったのは幸運なことであった。ζ(3)を最初にかかっていたらたいへんなこと
になったろう。オイラーは
苦闘の末にζ(2)＝1+1/2^2+1/3^2+・・・＝π^2/6
を発見。円周率が現れたのを見てたいへん喜んだ。そしてζ(4)＝π^4/90、ζ(6)＝π^6/945・・を見出していく。
しかし、こんな幸運が現れるのは偶数の場合のζ(2n)だけである。
テイラーシステムでζ(s)を深く探求した結果、sが1より大きい実数とすると、（大雑把な書き方をすれば）
ζ(s)＝ζ(s)の無限和
となる。
そしてsが2，4，6などの場合だけ自明な零点によって非常に特殊なことが起こり、ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)・・が明示的に求
まってしまう。
しかしζ(31/2)やζ(√2)やζ(e)などその他無数の値は、明示的な表示にはならない（厳密には予想）。
よって偶数を除く実数sでのζ(s)値に対応する微分方程式をζ(2n+1)類似の考察から構成した場合、それらの初等関
数解もまた存在しないはず！となる。
ζ(2)＝π^2/6などは極めて特殊なものなのである。これを最初に見てしまった人間はζ(2n+1)も明示的に求められ
ないかと思うようになり今日に至る。（オイラーはζ(3)の「∫が混じった非明示表示式」までは求めた）
ζ(2)、ζ(4)、ζ(6)、・・は、自明な零点の力により地上界に降ろされた一連の花といえる。
大部分はゼータ世界に居座ったままだ。
なおテイラーシステムでの結果に関しては「百武彗星」～「ワータネン彗星」を参照。-->「ゼータ系の彗星群」
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