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∑1/｛(2n-1)^k・((2n-1)^2+1)｝を調べた。
フーリエシステムを用いて、ここでは∑1/｛(2n-1)^k・((2n-1)^2+1)｝を求めよう。 k＝0，1，2の場合、すなわち次である。
1/(1^2+1) ＋ 1/(3^2+1) ＋ 1/(5^2+1) ＋・・
1/(1(1^2+1)) ＋ 1/(3(3^2+1)) ＋ 1/(5(5^2+1)) ＋・・
1/(1^2・(1^2+1)) ＋ 1/(3^2・(3^2+1)) ＋ 1/(5^2・(5^2+1)) ＋・・
これを求める際に活躍する中心的なフーリエ級数の公式は、
sinh a(π/2-x)＝(4a/π)cosh(aπ/2)｛cosx/(1^2+a^2) ＋ cos3x/(3^2+a^2) ＋ cos5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <=x<=π）
cosh a(π/2-x)＝(4/π)cosh(aπ/2)｛1sinx/(1^2+a^2) ＋ 3sin3x/(3^2+a^2) ＋ 5sin5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <x<π）
である。（例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.247を参照） この公式のa＝1の場合を用いる。
また、
sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・＝π/4 (0<x<π)
cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・＝(1/2)log|cot(x/2)| (0<x<2π、xはπでない)
もなども使う。これらは同書p.72にある。
以下順にみていこう。まずは一番上のk＝0の場合から。
k＝0の場合、すなわち、
1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) +・・ ----①
を導出する。
なんとなくζ(2)の親戚のような姿をしているから明示的に求まるのでは？と思われるが。
[∑1/((2n-1)^2+1)を導出]
①の形から、次のcos級数
ｆ(x)＝cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/(1^2+1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/(3^2+1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(5^2+1)＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos5x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(1^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + 5sin5x/(5^2+1) +・・ )(sinx/1) dx
1/(3^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + 5sin5x/(5^2+1) +・・ )(sin3x/3) dx
1/(5^2+1)＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + 5sin5x/(5^2+1) +・・ )(sin5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/(1^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + 5sin5x/(5^2+1) +・・)(sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 +・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
cosh a(π/2-x)＝(4/π)cosh(aπ/2)｛1sinx/(1^2+a^2) ＋ 3sin3x/(3^2+a^2) ＋ 5sin5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <x<π）
のa＝1のものと、
sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + ・・＝π/4 (0<x<π)
を③に代入して、計算すると、
1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) +・・ ＝(π/4)tanh(π/2) ----④
と明示的に求まった。たいへん美しいものとなった。
ここで、tanhx＝(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) である。
[終わり]
④は左辺、右辺を数値的に検証しても、もちろん一致する。
k＝1の場合、すなわち、
1/｛1(1^2+1)｝ + 1/｛3(3^2+1)｝ + 1/｛5(5^2+1)｝ +・・ ----①
を導出する。
これは
1/｛1^3+1)｝ + 1/｛3^3+3)｝ + 1/｛5^3+5)｝ +・・
と変形すると、ζ(3)に似ている。奇数ゼータのように非明示となるのだろうか。
[∑1/｛(2n-1)((2n-1)^2+1)｝を導出]
①の形から、次のsin級数
ｆ(x)＝sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/｛1(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
1/｛3(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
1/｛5(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin5x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/｛1(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・ )(cosx/1) dx
1/｛3(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・ )(cos3x/3) dx
1/｛5(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・ )(cos5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/｛1(1^2+1)｝ + 1/｛3(3^2+1)｝ + 1/｛5(5^2+1)｝ +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・)(cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 +・・) dx --③
ここでフーリエ級数の公式
sinh a(π/2-x)＝(4a/π)cosh(aπ/2)｛cosx/(1^2+a^2) ＋ cos3x/(3^2+a^2) ＋ cos5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <=x<=π）
のa＝1のものと、
cosx/1 + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・＝(1/2)log|cot(x/2)| (0<x<2π、xはπでない)
を③に代入して、整理すると、
1/｛1(1^2+1)｝ + 1/｛3(3^2+1)｝ + 1/｛5(5^2+1)｝ +・・＝1/(4cosh(π/2))∫(0～π) sinh(π/2-x)・log|cot(x/2)| dx ---④
と非明示となった。
ここで、coshx＝(e^x+e^(-x))/2、sinhx＝(e^x-e^(-x))/2、cotx＝1/tanx である。
[終わり]
④の左辺、右辺の一致を数値的にも確認した。右辺の∫の計算には、定積分の値が計算できるフリーの計算ソフト
BearGraphを用いた。
次にk＝2の場合、すなわち、
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・ ----①
を導出する。
これは
1/｛1^4+1^2)｝ + 1/｛3^4+3^2)｝ + 1/｛5^4+5^2)｝ +・・
と変形するとζ(4)に似ているから明示的に求まるだろうとの予想がたつ。
[∑1/｛(2n-1)^2((2n-1)^2+1)｝を導出]
①の形から、次のcos級数
ｆ(x)＝cosx/｛1^2(1^2+1)｝ + cos3x/｛3^2(3^2+1)｝ + cos5x/｛5^2(5^2+1)｝ +・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/｛1^2(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
1/｛3^2(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/｛5^2(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos5x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/｛1^2(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sinx/1) dx
1/｛3^2(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin3x/3) dx
1/｛5^2(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・)(sinx/1 + sin3x/3 + ・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1) +・・)(cosx/1^2 + cos3x/3^2 + ・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
sinh a(π/2-x)＝(4a/π)cosh(aπ/2)｛cosx/(1^2+a^2) ＋ cos3x/(3^2+a^2) ＋ cos5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <=x<=π）
のa＝1のものと、
cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・＝x(π-2x)/8 (0<=x<=π) ----④
を③に代入して計算を行うと、
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ + ・・＝π^2/8 - (π/4)tanh(π/2) ---⑤
と明示的に求まった。これもきれいである。
（④は例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.73にある。）
[終わり]
⑤の左辺、右辺の一致を数値的にも確認した。
この頁の分をまとめておく。
上の一番目と３番目は偶数ゼータζ(2n)に、２番目は奇数ゼータζ(2n+1)に対応していることがわかる。
よって、もし４番目の
1/｛1^3(1^2+1)｝ + 1/｛3^3(3^2+1)｝ + 1/｛5^3(5^2+1)｝ +・・
を求めると、もちろん非明示となる。
フーリエシステムも一本道ではなく、変形版を考えることで様々なルートをたどることができる。
例えば、一つ上で∑1/｛(2n-1)^2((2n-1)^2+1)｝を出したが、次の別ルートでも導出できるのである。
一つ上での導出と比べてもらいたい。システムの多様な側面を感じられるであろう。
では別ルートで
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・ ----①
を導出する。
[∑1/｛(2n-1)^2((2n-1)^2+1)｝を導出]
①の形から、次のcos級数
ｆ(x)＝cosx/｛1^2(1^2+1)｝ + cos3x/｛3^2(3^2+1)｝ + cos5x/｛5^2(5^2+1)｝ +・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/｛1^2(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
0＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/｛3^2(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
0＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
1/｛5^2(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos5x dx
・
・
わざわざ0＝・・の式を追加した点に注目！これでcos2x、cos4x・・を強引に出してきた。これらの右辺を部分積分
する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算より次となる。
1/｛1^2(1^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sinx/1) dx
0＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin2x/2) dx
1/｛3^2(3^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin3x/3) dx
0＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin4/4) dx
1/｛5^2(5^2+1)｝＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・ )(sin5x/5) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・
＝(2/π)∫(0～π) (sinx/｛1(1^2+1)｝ + sin3x/｛3(3^2+1)｝ + sin5x/｛5(5^2+1)｝ +・・)(sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 +・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ +・・
＝(2/π)∫(0～π) (cosx/(1^2+1) + cos3x/(3^2+1) + cos5x/(5^2+1)+・・)(cosx/1^2+ cos2x/2^2+ cos3x/3^2+・・) dx --③
ここでフーリエ級数の公式
sinh a(π/2-x)＝(4a/π)cosh(aπ/2)｛cosx/(1^2+a^2) ＋ cos3x/(3^2+a^2) ＋ cos5x/(5^2+a^2) ＋・・｝ (0 <=x<=π）
のa＝1のものと、
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・＝(x-π)^2/4-π^2/12 (0<=x<=2π) ----④
を③に代入して計算を行うと、
1/｛1^2(1^2+1)｝ + 1/｛3^2(3^2+1)｝ + 1/｛5^2(5^2+1)｝ + ・・＝π^2/8 - (π/4)tanh(π/2)
と、当然ながら一つ上と同じ結果が得られた。
[終わり]
ここで、ごく普通に公式集に載っている④が使えるようになったのが大きな利点である。
一つ上では、
cosx/1^2 + cos3x/3^2 + cos5x/5^2 + ・・＝x(π-2x)/8 (0<=x<=π) ----⑤
を使ったのであるが、薄っぺらな公式集には⑤は載っていないかもしれない。またその場合、④から⑤を手計算で出す
ことになるが、やっかいである。
最初に0＝・・の式を追加する工夫を行うことで、普通の④が使えるようになったことが面白い点である。
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