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ζ(ｓ)の母関数を（自然な形で）一般化した。LA(s)母関数、L1(s)母関数、L2(s)母関数の一般式を得た。
最後に、普遍的なL(χ,s)式を導出した。
「コホーテク彗星 その２」では、リーマン・ゼータζ(ｓ)の母関数の等式を超一般化した。次の結果である。
上の場合は、特異点ζ(1)が発生することを気にして、その発生を抑えるために、交代級数にするという変形を加えた。
しかし、よく考えると、ζ(1)が発生しない変数域を考えれば、とくにわざわざ交代級数にする必要もないことに気づく。
L(s)の場合は「コホーテク彗星 その１」で次のように自然な形で表現できたので、その類似を行えば、ζ(ｓ)も自然な
形に表現できるはずである。
その方針のもと、L(s)の場合と同様の手法によって、リーマン・ゼータζ(ｓ)の母関数（次の左辺）で次の結果を得た。
左辺をテイラー展開すれば自然に右辺が出る。
1^r /(1^s-x) + 2^r /(2^s-x) ＋ 3^r /(3^s-x) + 4^r /(4^s-x) + ・・・
＝ζ(s-r) + ζ(2s-r)x^1 + ζ(3s-r)x^2 + ζ(4s-r)x^3 + ・・・ ----①
（-1 < x < 1）
ただし、r と sが、(s-r)>1 且つ s>=0を満たす実数のとき上式が成り立つ。
美しい結果ではないか！
①を具体的に見てみると、
例えば、s＝3、r＝1のときは、
1/(1^3-x) + 2/(2^3-x) ＋ 3/(3^3-x) + 4/(4^3-x) + ・・・
＝ζ(2) + ζ(5)x^1 + ζ(8)x^2 + ζ(11)x^3 + ・・・
例えば、s＝3/2、r＝0のときは、
1/(1^1.5-x) + 1/(2^1.5-x) ＋ 1/(3^1.5-x) + 1/(4^1.5-x) + ・・・
＝ζ(1.5) + ζ(3)x^1 + ζ(4.5)x^2 + ζ(6)x^3 + ・・・
例えば、s＝0、r＝-2のときは、
1^(-2) /(1-x) + 2^(-2) /(1-x) ＋ 3^(-2)/(1-x) + 4^(-2)/(1-x) + ・・・
＝ζ(2) + ζ(2)x^1 + ζ(2)x^2 + ζ(2)x^3 + ・・・
例えば、s＝√2、r＝0のときは、
1/(1^√2-x) + 1/(2^√2-x) ＋ 1/(3^√2-x) + 1/(4^√2-x) + ・・・
＝ζ(√2) + ζ(2√2)x^1 + ζ(3√2)x^2 + ζ(4√2)x^3 + ・・・
などとなる。
左辺の母関数から、スペクトル的にζ(ｓ)が生み出されているのがわかる。まとめておく。
これまでζ(ｓ)とL(s)の二つのゼータに関して一般式を得た。
ここでは、LA(s)ゼータに着目して、これまでと全く同様にしてζ(ｓ)、L(s)と同類の式を求めた。
左辺をテイラー展開すれば自然に右辺が出る。これが求める一般式である。
1^r /(1^s-x) - 2^r /(2^s-x) ＋ 4^r /(4^s-x) - 5^r /(5^s-x) +・・
＝LA(s-r) + LA(2s-r)x^1 + LA(3s-r)x^2 + LA(4s-r)x^3 + ・・・ -----①
（-1 < x < 1）
ここで、r と sが、(s-r)>0 且つ s>=0を満たす実数のとき、上式が成り立つ。
LA(s)は、次で定義される。
LA(s)＝(1 - 1/2^s + 1/4^s - 1/5^s ) + (1/7^s - 1/8^s + 1/10^s - 1/11^s )・・・ -----②
「a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1」というχ(ａ)をもつ。LA(s)は虚２次体Ｑ（√-3）に対応する。
LA(s)は、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の一種のゼータ関数であり、またζ(ｓ)もL(s)もそうである。
ディリクレのL関数L(χ,s)は
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で定義される一般的なゼータである。リーマン・ゼータζ(ｓ)を拡張したものといえる。
ディリクレ指標χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たす。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
このL(χ,s)から、種々のχ(ａ)に対応する様々なゼータ関数が無数に生み出されていく。
「a≡0, 1, 2 mod 3に対し、それぞれχ(ａ)＝0, 1, -1」というχ(ａ)をもつL(χ,s)が、LA(s)というわけである。②がこの
χ(ａ)の通りになっていることを確認いただきたい。
①を再度書く。
1^r /(1^s-x) - 2^r /(2^s-x) ＋ 4^r /(4^s-x) - 5^r /(5^s-x) +・・
＝LA(s-r) + LA(2s-r)x^1 + LA(3s-r)x^2 + LA(4s-r)x^3 + ・・・ -----①
（-1 < x < 1）
具体的に見てみよう。
例えば、s＝3、r＝1のときは、
1/(1^3-x) - 2/(2^3-x) ＋ 4/(4^3-x) - 5/(5^3-x) +・・
＝LA(2) + LA(5)x^1 + LA(8)x^2 + LA(11)x^3 + ・・・
例えば、s＝3/2、r＝0のときは、
1/(1^1.5-x) - 1/(2^1.5-x) ＋ 1/(4^1.5-x) - 1/(5^1.5-x) +・・
＝LA(1.5) + LA(3)x^1 + LA(4.5)x^2 + LA(6)x^3 + ・・・
例えば、s＝0、r＝-2のときは、
1^(-2)/(1-x) - 2^(-2)/(1-x) ＋ 4^(-2)/(1-x) - 5^(-2)/(1-x) +・・
＝LA(2) + LA(2)x^1 + LA(2)x^2 + LA(2)x^3 + ・・・
例えば、s＝√2、r＝0のときは、
1/(1^√2-x) - 1/(2^√2-x) ＋ 1/(4^√2-x) - 1/(5^√2-x) +・・
＝LA(√2) + LA(2√2)x^1 + LA(3√2)x^2 + LA(4√2)x^3 + ・・・
などとなる。
左辺の母関数から、スペクトル的にLA(ｓ)が生み出されているのがわかる。まとめておく。
次にL1(s)ゼータでの同類の式を求めよう。L1(s)ゼータ関数は、次のものである。
L1(s)＝(1 - 1/3^s - 1/5^s + 1/7^s ) + (1/9^s - 1/11^s - 1/13^s + 1/15^s ) + ・・・
L1(s)ゼータも、もちろん、ディリクレのＬ関数L(χ,s)の特別な場合である。
ディリクレのL関数L(χ,s)は
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で定義される一般的なゼータである。L1(s)ゼータは、
「a≡1 or 7 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡3 or 5 mod 8 -->χ(a)＝-1、 それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
L1(s)は実２次体Ｑ（√2）に対応する。
さて、結論から述べると、次式左辺をテイラー展開すれば自然に右辺が出る。これが求める一般式である。
1^r /(1^s-x) - 3^r /(3^s-x) - 5^r /(5^s-x) + 7^r /(7^s-x) +・・
＝L1(s-r) + L1(2s-r)x^1 + L1(3s-r)x^2 + L1(4s-r)x^3 + ・・・ -----①
（-1 < x < 1）
具体的に見てみよう。
例えば、s＝3、r＝1のときは、
1/(1^3-x) - 3/(3^3-x) - 5/(5^3-x) + 7/(7^3-x) +・・
＝L1(2) + L1(5)x^1 + L1(8)x^2 + L1(11)x^3 + ・・・
例えば、s＝3/2、r＝0のときは、
1/(1^1.5-x) - 1/(3^1.5-x) - 1/(5^1.5-x) + 1/(7^1.5-x) +・・
＝L1(1.5) + L1(3)x^1 + L1(4.5)x^2 + L1(6)x^3 + ・・・
などとなる。
左辺の母関数から、スペクトル的にL1(ｓ)が生み出されているのがわかる。まとめておく。
次にL2(s)ゼータでの同類の式を求めよう。L2(s)ゼータ関数は、次のものである。
L2(s)＝(1 + 1/3^s - 1/5^s - 1/7^s ) + (1/9^s + 1/11^s - 1/13^s - 1/15^s ) + ・・・
L2(s)ゼータも、もちろん、ディリクレのＬ関数L(χ,s)
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
の特別な場合である。L2(s)ゼータは、
「a≡1 or 3 mod 8-->χ(a)＝1、 a≡5 or 7 mod 8 -->χ(a)＝-1、それ以外のaではχ(a)＝0」というχ(a)をもつ。
L2(s)は虚２次体Ｑ（√-2）に対応する。
さて、結論から述べると、次式左辺をテイラー展開すれば自然に右辺が出る。これが求める一般式である。
1^r /(1^s-x) + 3^r /(3^s-x) - 5^r /(5^s-x) - 7^r /(7^s-x) +・・
＝L2(s-r) + L2(2s-r)x^1 + L2(3s-r)x^2 + L2(4s-r)x^3 + ・・・ -----①
（-1 < x < 1）
具体的に見てみよう。
例えば、s＝3、r＝1のときは、
1/(1^3-x) + 3/(3^3-x) - 5/(5^3-x) - 7/(7^3-x) +・・
＝L2(2) + L2(5)x^1 + L2(8)x^2 + L2(11)x^3 + ・・・
例えば、s＝3/2、r＝0のときは、
1/(1^1.5-x) + 1/(3^1.5-x) - 1/(5^1.5-x) - 1/(7^1.5-x) +・・
＝L2(1.5) + L2(3)x^1 + L2(4.5)x^2 + L2(6)x^3 + ・・・
などとなる。
左辺の母関数から、スペクトル的にL2(ｓ)が生み出されているのがわかる。まとめておく。
ここでまで来れば、超一般化の一般化ともいうべき普遍的な式を導出することは容易である。
本頁の式を書き並べると、次となる。
1^r /(1^s-x) + 2^r /(2^s-x) ＋ 3^r /(3^s-x) + 4^r /(4^s-x) + ・・・
＝ζ(s-r) + ζ(2s-r)x^1 + ζ(3s-r)x^2 + ζ(4s-r)x^3 + ・・・
1^r /(1^s-x) - 2^r /(2^s-x) ＋ 4^r /(4^s-x) - 5^r /(5^s-x) +・・
＝LA(s-r) + LA(2s-r)x^1 + LA(3s-r)x^2 + LA(4s-r)x^3 + ・・・
1^r /(1^s-x) - 3^r /(3^s-x) - 5^r /(5^s-x) + 7^r /(7^s-x) +・・
＝L1(s-r) + L1(2s-r)x^1 + L1(3s-r)x^2 + L1(4s-r)x^3 + ・・・
1^r /(1^s-x) + 3^r /(3^s-x) - 5^r /(5^s-x) - 7^r /(7^s-x) +・・
＝L2(s-r) + L2(2s-r)x^1 + L2(3s-r)x^2 + L2(4s-r)x^3 + ・・・
これらからディリクレのＬ関数L(χ,s)へ一挙に抽象化できる。
つまり、r と sが、(s-r)>0 且つ s>=0を満たす実数のとき、次式が成り立つのである。
χ(1)・1^r /(1^s-x) + χ(2)・2^r /(2^s-x) + χ(3)・3^r /(3^s-x) + χ(4)・4^r /(4^s-x) +・・
＝L(χ,s-r) + L(χ,2s-r)x^1 + L(χ,3s-r)x^2 + L(χ,4s-r)x^3 + ・・・ ----①
（-1 < x < 1）
ただしL(χ,s)がζ(ｓ)のときは、r と sが (s-r)>1 且つ s>=0を満たす実数のとき上式が成り立つ。冒頭で見た
通りである。今回の結果は「池谷・関彗星 その７」の類似の結果であるとも言える。
ディリクレのL関数L(χ,s)は
L(χ,s)＝χ(1)/1^s + χ(2)/2^s + χ(3)/3^s + χ(4)/4^s + χ(5)/5^s + χ(6)/6^s + ・・・・
で定義されるゼータ関数である。
ディリクレ指標χ(ａ)は、ある自然数Ｎについて、次の３条件を満たす。
（１）a≡b mod N ならχ(ａ)＝χ(b)
（２）χ(ab)＝χ(a)χ(b)
（３）aとＮが共通因数を持つときに限り、χ(a)＝0
このL(χ,s)から、種々のχ(ａ)に対応する様々なゼータ関数が無数に生み出されていくのである。
「池谷・関彗星 その７」の結果とあわせて、本頁の結果をまとめておく。
［本ページでの結果］
「池谷・関彗星 その７」の結果
上記２式は、左辺の母関数からゼータL(χ,s)がスペクトル的に生み出されると読める。
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