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＜ ζ(3)、ζ(5)を導出 ＞
＜ ζ(0)、ζ(1/2)は出るか？ ＞
テイラーシステムのCos[ s=s, 0代入, πテイラー]の条件で、ζ(ｓ)の値を導出。ζ(3)、ζ(5)を求めた。
ζ(1/2)、ζ(0)は条件不成立で求まらないことを確認した。
ζ(ｓ)値の導出に関しては、これまでCos[ s=s, π/2代入, πテイラー]、Cos[ s=s, π代入, π/2テイラー]の二つの
場合を見てきた。前者は「百武彗星」で、後者は「エンケ彗星」でそれぞれ研究した。
そこでは、驚くべき簡単さでζ(3)、ζ(5)やζ(1/2)、ζ(3/2)、・・やまたL(2)、L(4)やL(1/2)、L(3/2)・・など
現代数学で超難題とされる値をいとも簡単に導出できた。テイラーシステムの威力を味わったのであった。
私は、さらに、0代入でもできるのではないか？とふと思った。
まず手始めに、Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]を調べた。すると、これでも、うまくいくことがわかった。
よって、この新しい「フェイ彗星」シリーズでは、このCos[ s=s, 0代入, πテイラー]の場合を中心に調べる。
テイラーシステムを少し復習すると、
例えば、次式Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]でのテイラーシステムとは、母関数
ｆ(x)＝(cosx)/1^s + (cos2x)/2^s + (cos3x)/3^s + (cos4x)/4^s + ・・・
を考え、ｆ（0）と、ｆ(x)のπ周りテイラー展開を行った上のｆ(x)でのf(0)とを等しいとおき、ζ(ｓ)値を求める方法である。
前置きはこのくらいにして、Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]で、ζ(3)、ζ(5)を求めてみよう。
まずζ(3)から。
①でs＝3として、
f(x)=(cosx)/1^3 + (cos2x)/2^3 + (cos3x)/3^3 + (cos4x)/4^3 + ・・・ ------①
を考える。
まず、①のxに0を代入すると、
ｆ(0)＝1/1^3 + /2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 + ・・・
となり、これは
ｆ(0)＝ζ(3) ------②
である。
次に、①をπ周りでテイラー展開を行うと、次のようになる。
ｆ(x)＝ -（1-1/2^2）・ζ(3) + log2・(x-π)^2 /2！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^4 /4！+ （1-2^4）・ζ(-3)・(x-π)^6 /6！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^8 /8！ + （1-2^8）・ζ(-7)・(x-π)^10 /10！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③
ζ(ｓ)関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて、変形すると次のようになる。
ｆ(x)＝ -（1-1/2^2）・ζ(3) - log2・(x-1)^2 /2！
- 2・［（1-1/2^2）・ζ(2)・1！・(x-π)^4/(π^2・4！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！・(x-π)^6/(π^4・6！)
+ （1-1/2^6）・ζ(6)・5！・(x-π)^8/(π^6・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ------④
ここで、xに0を代入して、整理すると次のようになる。
ｆ(0)＝ -（1-1/2^2）・ζ(3)
+ 2π^2・［log2 /(2・2！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/8！
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/10！ - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] -----⑤
さて、②と⑤より、次となる。
（2-1/2^2）・ζ(3)
＝ 2π^2・［log2 /(2・2！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/8！
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/10！ - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ----⑥
⑥は収束する正しい式となっている。なお、右辺のlog2は自然対数である。
ExcelでＶＢＡプログラムを組んで⑥を検証した。
math worldによれば、ζ(3)の精密値は
ζ(3)＝1.2020569032・・・ -------⑦
である。
Excel計算では、⑥をζ(3)＝・・と変形して計算した場合、次のようになった。
4項までの和 =1.245786112・・
10項までの和 =1.209097852・・ 100項までの和=1.202127399・・ 500項までの和=1.202059723・・ 収束はそれほど速いわけではないが、確実に⑦に収束していく。
ここで、「百武彗星 その１」の＜ζ(3)の導出＞で求めたζ(3)と比較してみよう。それは次のものであった。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(4・3・2)・2^3｝
- (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(6・5・4)・2^5｝ - (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(8・7・6)・2^7｝
- (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(10・9・8)・2^9｝ - (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(12・11・10)・2^11｝ + ・・・・］
右辺を階乗n！を使って右辺を書き直すと、次となる。
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(4！・2^3)
- (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(6！・2^5) - (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(8！・2^7)
- (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(10！・2^9) - (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(12！・2^11)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ ----⑧
ここでCos[ s=3, 0代入, πテイラー]の⑥と、このCos[ s=3, π/2代入, πテイラー]の⑧を比較してみよう。
並べてみる。
*******************************************
Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]のζ(3)
（2-1/2^2）・ζ(3)
＝ 2π^2・［log2 /(2・2！) - （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/4！
- （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/6！ - （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/8！
- （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/10！ - （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ----⑥
Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]のζ(3)
(1-1/2^3)・（1-1/2^2）・ζ(3)
＝π^2・［log2/8 - (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(4！・2^3)
- (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(6！・2^5) - (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(8！・2^7)
- (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(10！・2^9) - (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(12！・2^11)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・］ ----⑧
*******************************************
こうして並べると、一目瞭然であるが、余計に1/2^nが効いている分⑧は⑥より収束性がはるかによい。
次に、「エンケ彗星 その２」の＜ テイラーシステム成立条件の別表現 ＞を見てみよう。その成立条件は
次のものであった。
さて、上方で見た④は次である。
ｆ(x)＝ -（1-1/2^2）・ζ(3) - log2・(x-1)^2 /2！
- 2・［（1-1/2^2）・ζ(2)・1！・(x-π)^4/(π^2・4！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！・(x-π)^6/(π^4・6！)
+ （1-1/2^6）・ζ(6)・5！・(x-π)^8/(π^6・8！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ------④
この級数の収束半径Rを計算する。右辺の[ ]内の一項目からのn項をAnとすると、
An＝（1-1/2^(2n)）・（2n-1）！・ζ(2n) /{π^(2n)・（2n+2）！｝
である。ここで、べき級数のダランベールの定理を見ると、
lim An/An+1＝π^2 ------⑨
（n-->∞）
となる。いま、①のべきが（x-π）^2で増えているので①の収束半径Rは
R＝π
となる。
しかし、いまの場合、Cos[ s＝3, π/2代入, πテイラー]であり、よって成立条件より
p＝0、ｑ＝π
となる。すなわち、
| p - q | = π
であり、成立条件の[Ⅱ]の場合に当たっている。よって、[Ⅱ]を確かめるため、精密に⑨を確かめると、
R＝π + ε ------⑩
となる。εは、ε>0で無限小。
よって、成立条件の[Ⅱ]より、| p - q | < R が成り立っており、このCos[ s=3, 0代入, πテイラー]では
正しい結果⑥が得られたのであった。
次にζ(5)を求める。
①でs＝5として、
f(x)=(cosx)/1^5 + (cos2x)/2^5 + (cos3x)/3^5 + (cos4x)/4^5 + ・・・ -----①-2
を考える。
まず、①-2のxに0を代入すると、
ｆ(0)＝1/1^5 + /2^5 + 1/3^5 + 1/4^5 + ・・・
となり、これは当然
ｆ(0)＝ζ(5) ------②-2
である。
次に、①-2のｆ(x)をπ周りでテイラー展開を行うと、次のようになる。
ｆ(x)＝ （1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^2 /2！+ log2・(x-π)^4 /4！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^6 /6！+ （1-2^4）・ζ(-3)・(x-π)^8 /8！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^10 /10！ + （1-2^8）・ζ(-7)・(x-π)^12 /12！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------③-2
ζ(ｓ)関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて、変形すると次のようになる。
ｆ(x)＝ -（1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-1)^2 /2！- log2・(x-1)^4 /4！
+ 2・［（1-1/2^2）・ζ(2)・1！・(x-π)^6/(π^2・6！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！・(x-π)^8/(π^4・8！)
+ （1-1/2^6）・ζ(6)・5！・(x-π)^10/(π^6・10！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！・(x-π)^12/(π^8・12！)
+ （1-1/2^10）・ζ(10)・9！・(x-π)^14/(π^10・14！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] -----④-2
ここで、xに0を代入して、整理すると次のようになる。
ｆ(0)＝ -（1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /2！
+ 2π^4・［-log2 /(2・4！) + （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/6！
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/8！ + （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/10！
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/12！ + （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] -----⑤-2
さて、②-2 と ⑤-2 より、次となる。
（2-1/2^4）・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /2！
+ 2π^4・［-log2 /(2・4！) + （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/6！
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/8！ + （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/10！
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/12！ + （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ---⑥-2
⑥-2は収束する正しい式となっている。右辺のlog2は自然対数である。
⑥-2は結構収束が速いので、Excelでの検証はせず、電卓を用いて手計算した。
math worldによれば、ζ(5)の精密値は
ζ(5)＝1.0369277551・・・
である。これより、
（2-1/2^4）・ζ(5)＝2.00904752・・ -------⑦-2
となる。
⑥-2右辺を電卓で計算した結果、次のようになった。
１項までの和=4.44893478・・
２項までの和=1.63564992・・ ３項までの和=1.96946561・・ ４項までの和=1.99888194・・ 収束はかなり速く、急速に⑦-2 に収束していく。
ここで「百武彗星 その１」の＜ζ(5)の導出＞で求めたζ(5)と比較してみよう。次のものであった。
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5) ＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) + (1-1/2^2)・ζ(2)/｛(6・5・4・3・2)・2^5｝
+ (1-1/2^4)・ζ(4)/｛(8・7・6・5・4)・2^7｝ + (1-1/2^6)・ζ(6)/｛(10・9・8・7・6)・2^9｝
+ (1-1/2^8)・ζ(8)/｛(12・11・10・9・8)・2^11｝ + (1-1/2^10)・ζ(10)/｛(14・13・12・11・10)・2^13｝
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］
右辺を階乗n！を使って書き直すと、次となる。
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) + (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(6！・2^5)
+ (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(8！・2^7) + (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(10！・2^9)
+ (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(12！・2^11) + (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(14！・2^13)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ -----⑧-2
Cos[ s=5, 0代入, πテイラー]の⑥-2 と、このCos[ s=5, π/2代入, πテイラー]の⑧-2 を比較してみたい。
並べてみる。
*******************************************
Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]のζ(5)
（2-1/2^4）・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）・ζ(3)・π^2 /2！
+ 2π^4・［-log2 /(2・4！) + （1-1/2^2）・ζ(2)・1！/6！
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！/8！ + （1-1/2^6）・ζ(6)・5！/10！
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！/12！ + （1-1/2^10）・ζ(10)・9！/14！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] ---⑥-2
Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]のζ(5)
(1-1/2^5)・（1-1/2^4）・ζ(5)
＝ （1-1/2^2）π^2・ζ（3）/(2！・2^2)
+ π^4・［-log2/(4！・2^4) + (1-1/2^2)・ζ(2)・1！/(6！・2^5)
+ (1-1/2^4)・ζ(4)・3！/(8！・2^7) + (1-1/2^6)・ζ(6)・5！/(10！・2^9)
+ (1-1/2^8)・ζ(8)・7！/(12！・2^11) + (1-1/2^10)・ζ(10)・9！/(14！・2^13)
+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ］ -----⑧-2
*******************************************
こうして並べると、一目瞭然であるが、余計に1/2^nが効いている分⑧-2 は⑥-2より収束性がはるかによい。
次に、テイラーシステムの成立条件を調べよう。上方で見た④-2は次である。
ｆ(x)＝ -（1-1/2^4）・ζ(5) + （1-1/2^2）・ζ(3)・(x-1)^2 /2！- log2・(x-1)^4 /4！
+ 2・［（1-1/2^2）・ζ(2)・1！・(x-π)^6/(π^2・6！)
+ （1-1/2^4）・ζ(4)・3！・(x-π)^8/(π^4・8！)
+ （1-1/2^6）・ζ(6)・5！・(x-π)^10/(π^6・10！)
+ （1-1/2^8）・ζ(8)・7！・(x-π)^12/(π^8・12！)
+ （1-1/2^10）・ζ(10)・9！・(x-π)^14/(π^10・14！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・] -----④-2
この級数の収束半径Rを計算する。
右辺の[ ]内の一項目からのn項をAnとすると、
An＝（1-1/2^(2n)）・（2n-1）！・ζ(2n)/{π^(2n)・（2n+4）！｝
である。ここで、べき級数のダランベールの定理を見ると、
lim An/An+1＝π^2 ------⑨-2
（n-->∞）
となる。いま、①のべきが（x-π）^2で増えているので①の収束半径Rは
R＝π
となる。
しかし、今回の場合、Cos[ s=5, π/2代入, πテイラー]であり、よって成立条件より
p＝0、ｑ＝π
となる。すなわち、
| p - q | = π
であり、成立条件の[Ⅱ]の場合に当たっている。
よって、[Ⅱ]を確かめため、精密に⑨-2 を確かめると、
R＝π + ε ------⑩-2
となる。εは、ε>0で無限小。
よって、成立条件の[Ⅱ]より、| p - q | < R が成り立っており、よって、このCos[ s=5, 0代入, πテイラー]では
正しい結果⑥-2 が得られたのであった。
以上、Cos[ s=s, π/2代入, πテイラー]と今回のCos[ s=s, 0代入, πテイラー]の結果を合わせてまとめておこう。
テイラーシステムを用いれば、全く簡単に、様々な表示を得ることができるのである。
これら対比の妙を味わっていただきたい。
では、次にテイラーシステムのCos[ s=s, 0代入, πテイラー]の条件で、ζ(0)やζ(1/2)は出るか？を調べて
みましょう。
結論を述べれば、出ません。
上のζ(3)、ζ(5)では、テイラーシステムの成立条件をぎりぎりクリアしていましたが、ζ(0)やζ(1/2)では
条件を満足することができないため、出ないことになります。
ζ(1/2)を見てみましょう。
［ζ(1/2)を調べる］ Cos[ s=1/2, 0代入, πテイラー]
まず
f(x)=(cosx)/1^0.5 + (cos2x)/2^0.5 + (cos3x)/3^0.5 + (cos4x)/4^0.5 + ・・・ -------①
という母関数を考える。
そして、まず上でx=0を代入する。すると
f(0) = ζ(1/2) -------②
となり、ζ（1/2）が現れる。
次に、①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると次のようになる。
f(x)＝ - （1-2^0.5）・ζ(1/2) + (1-2^2.5)・ζ(-3/2)・(x-π)^2 /2！
- （1-2^4.5）・ζ(-7/2)・(x-π)^4 /4！ + (1-2^6.5)・ζ(-11/2)・(x-π)^6 /6！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を利用して、ζ(-3/2)，ζ(-7/2)・・・をすべて現実的なζ(5/2) ，ζ(9/2)，・・・に直して整理整頓すると、③は
次のようになる。
f(x)＝ - （1-2^0.5）・ζ(1/2)
+ (√2-1/2^2)・｛(4！ζ(5/2)/｛(2！)^2・π^2・2^4｝・(x-π)^2
+ （√2-1/2^4）・｛(8！ζ(9/2)/｛(4！)^2・π^4・2^8｝・(x-π)^4
+ (√2-1/2^6)・｛(12！ζ(13/2)/｛(6！)^2・π^6・2^12｝・(x-π)^6
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③-2
これにx=0を代入して
f(0)
＝ - （1-√2）・ζ(1/2)
+ (√2-1/2^2)・(4！/(2！)^2)・ζ(5/2)/2^4
+ (√2-1/2^4)・(8！/(4！)^2)・ζ(9/2)/2^8
+ (√2-1/2^6)・(12！/(6！)^2)・ζ(13/2)/2^12
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----④
②と④は等しいので、ζ(1/2)を左辺にまとめて整理すると、次となる。
（2-√2）・ζ(1/2) ＝(√2-1/2^2)・(4！/(2！)^2)・ζ(5/2)/2^4
+ (√2-1/2^4)・(8！/(4！)^2)・ζ(9/2)/2^8
+ (√2-1/2^6)・(12！/(6！)^2)・ζ(13/2)/2^12
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----⑤
この⑤は成立しているであろうか？
ζ(1/2)=-1.46035450880・・・
これより⑤の左辺はマイナスとなる。しかし、右辺は明らかにプラス。矛盾であり、⑤は成立していない。
これは テイラーシステムの成立条件をみてももちろんわかる。
これでも見ておきたい。
いま、Cos[ s=s, 0代入, πテイラー]ですから、成立条件のCos［ s＝s， p代入，qテイラー］と比較して、
p＝0、ｑ＝π
である。
次に、③-2の収束半径Rを求める。
f(x)＝ - （1-2^0.5）・ζ(1/2)
+ (√2-1/2^2)・4！ζ(5/2)/｛(2！)^2・π^2・2^4｝・(x-π)^2
+ （√2-1/2^4）・8！ζ(9/2)/｛(4！)^2・π^4・2^8｝・(x-π)^4
+ (√2-1/2^6)・12！ζ(13/2)/｛(6！)^2・π^6・2^12｝・(x-π)^6
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------③-2
右辺２項目から数えてのn項をAnとすると、
An＝（√2-1/2^(2n)）・（4n）！ζ((4n+1)/2) /｛((2n)！)^2・π^(2n)・2^(4n)｝
である。べき級数のダランベールの定理を見ると、
lim An/An+1＝(π/2)^2 ------⑨
（n-->∞）
となる。いま、①のべきが（x-π）^2で増えているので③-2の収束半径Rは
R＝π/2
となる。
成立条件の［Ⅰ］を見よう。p＝0、ｑ＝π、R＝π/2であるから、| p - q ｜＝π より、
| p - q ｜< R
は成立していない。よって、Cos[ s=1/2, 0代入, πテイラー]では テイラーシステムが機能しなくなり、ζ(1/2)が
求まらないとなるのである。
以上
ζ(0)もCos[ s=0, 0代入, πテイラー]では全く同様の議論で条件が不成立となり、求まらない。
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