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＜ζ(4)類似値の導出 ＞
＜ζ(2)類似値の導出 ＞
＜ζ(3)類似値の導出 ＞
＜ζ(1)？類似値の導出 ＞
の種々の興味深い計算を示されている。
今回それに触発されて、Si(x)値を分子にもつζ(ｓ)類似の値（積分表示）をフーリエシステムを用いて求めてみたい。
積分正弦関数Si(x)は、Si(x)＝∫(0～x) sint/t dt で定義される関数である。
具体的には、次のようなものを求める。
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^s+ ｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^s + ｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^s + ｛Si(5π)-Si(3π)｝/4^s + ・・・
すなわち、
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^s
である。
ζ(ｓ)＝1/1^s+ 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
であるから、”ζ(ｓ)類似”の意味がおわかりいただけると思う。
フーリエシステムを用いると、ζ(ｓ)やL(s)のようなゼータ関数の値のみならず、さまざまな級数的な値を導出すること
ができる。「ホームズ彗星」や「スワン彗星」で多くの事例を計算したが、ここでも同じようにして求める。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^sにおいて、まずs＝4のζ(4)類似のものから求めたい。
［∑｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^4の導出］
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^4
＝｛Si(2π)-Si(0)｝/1^4 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^4 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^4 + ・・・ ----①
に着目して、まず次の関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^4+ ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^4 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝cos3x/3^4 + ・・・ ----②
を考える。フーリエ級数の直交性を用いると、
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^4＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
となる。さらに右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算により次となる。
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^4＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^3 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^3 + ・・]・(sinx/1) dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^4＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^3 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^3 + ・・]・(sin2x/2) dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^4＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^3 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^3 + ・・]・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、次を得る。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^4
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^3 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^3 + ・・]・(sinx/1 + sin2x/2 + ・・)dx ----③
③右辺に対してさらにSin-Cos移動の法則（部分積分）を繰り返していくと、次のような式が機械的に次々に出せる。
この簡潔な変形を味わっていただきたい。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^4
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ・・]・(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・)dx
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^4
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^1 + ・・]・(sinx/1^3 + sin2x/2^3 + ・・)dx
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^4
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・]・(cosx/1^4 + cos2x/2^4 + ・・)dx ----④
さて、④に注目しよう。右辺にフーリエ級数の公式
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・＝｛2π^2(x-π)^2 - (x-π)^4 - 7π^4/15｝/48 (0 <＝x<＝ 2π)
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝cos(nx)＝πsinx/x -π/2- Si(π) (-π<＝x<＝ π) ----⑤
を用いて整理すると④は次のようになる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^4
＝(1/24)∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛2π^2(x-π)^2-(x-π)^4 -7π^4/15｝ dx ----⑥
目的の積分表示が求まった。
①の形を考えたことで途中フーリエ級数の公式⑤が利用できるようになったことに注目いただきたい。
なお、公式⑤は一般的な公式
∑(n＝1～∞)｛Si((n+a)π)-Si((n-a)π)｝cos(nx)＝πsin(ax)/x -π/2- Si(aπ) (-π<＝x<＝ π) ----⑤
においてa＝1とした場合のものである。
（ここで用いたフーリエ級数の公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
[終わり]
ζ(4)はζ(4)＝π^4/90ときっちり明示的に求まる。⑥は、どうだろうか。さらに計算を続行できそうだが、かなり
難しくなるので、とりあえずここでおいておく。
⑥式はフリーの計算ソフトBearGraphなどを用いて数値計算的に検証した。OKであった。
⑥右辺＝1.40786・・ となる。これが目標値。
⑥左辺の３項まで＝1.40799・・
⑥左辺の４項まで＝1.40783・・
⑥左辺の５項まで＝1.40787・・
と、左辺は交代的に急速に目標値に収束していく。
次に、∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^sにおいて、s＝2のζ(2)類似を求める。
［∑｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^2の導出］
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^2
＝｛Si(2π)-Si(0)｝/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^2 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^2 + ・・・ ----①
に着目して、まず次の関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2+ ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝cos3x/3^2 + ・・・ ----②
を考える。フーリエ級数の直交性を用いると、
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cosx dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
・
・
となる。さらに右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算により次となる。
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^2＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ・・]・(sinx/1) dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^2＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ・・]・(sin2x/2) dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^2＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ・・]・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、次を得る。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^2
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ・・]・(sinx/1 + sin2x/2 + ・・)dx ----③
③右辺に対してさらにSin-Cos移動の法則（部分積分）を用いると次式が得られる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^2
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・]・(cosx/1^2 + cos2x/2^2 + ・・)dx ----④
さて、④に注目しよう。右辺にフーリエ級数の公式
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0 <＝x<＝ 2π)
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝cos(nx)＝πsinx/x -π/2- Si(π) (-π<＝x<＝ π) ----⑤
を用いて整理すると④は次のようになる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^2
＝∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛(x-π)^2/2 - π^2/6｝ dx ----⑥
目的の積分表示が求まった。
[終わり]
⑥式はフリーの計算ソフトBearGraphなどを用いて数値計算的に検証した。OKであった。
⑥右辺＝1.38024・・ となる。これが目標値。
⑥左辺の３項まで＝1.38208・・
⑥左辺の４項まで＝1.37953・・
⑥左辺の５項まで＝1.38056・・
⑥左辺の５項まで＝1.38033・・
と、左辺は交代的に急速に目標値に収束していく。
ζ(2)はζ(2)＝π^2/6ときっちり明示的に求まる。⑥は、どうだろうか。さらに計算できそうだが、一旦ここでおいておく。
次に、∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^sで、s＝3のζ(3)類似を求めよう。
これは、奇数ゼータζ(3)と同じような性質をもっているのだろうか？
［∑｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^3の導出］
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^3
＝｛Si(2π)-Si(0)｝/1^3 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^3 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^3 + ・・・ ----①
に着目して、まず次の関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1^3+ ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2^3 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝sin3x/3^3 + ・・・ ----②
を考える。今度は、sin級数を考えた点に注目せよ。
フーリエ級数の直交性を用いると、
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
・
・
となる。さらに右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算により次となる。
｛Si(2π)-Si(0)｝/1^3＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ・・]・(cosx/1) dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2^3＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ・・]・(cos2x/2) dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3^3＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ・・]・(cos3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、次を得る。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^3
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx/1^2 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x/2^2 + ・・]・(cosx/1 + cos2x/2 + ・・)dx ---③
③右辺に対してさらにSin-Cos移動の法則（部分積分）を繰り返していくと、次のような式が機械的に次々に出せる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^3
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ・・]・(sinx/1^2 + sin2x/2^2 + ・・)dx
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n^3
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・]・(cosx/1^3 + cos2x/2^3 + ・・)dx ----④
さて、④に注目しよう。右辺にフーリエ級数の公式
cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・＝ζ(3) + (x^2/2)log2 + ∫(0～x) (x-t)log(sin(t/2))dt (0 <＝x<＝ 2π)
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝cos(nx)＝πsinx/x -π/2- Si(π) (-π<＝x<＝ π)
を用いて整理すると④は次のようになる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^3
＝2∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛ζ(3) + (x^2/2)log2 + ∫(0～x) (x-t)log(sin(t/2))dt｝ dx ----⑤
目的の積分表示が求まった。
（ここで用いたフーリエ級数の公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）を参照）
⑤は、∫の中に∫が含まれるという極めて醜い形をしている！
つまり、∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^3は、本質的にζ(3)の心を宿しているのである。
[終わり]
次に、∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^sで、s＝1のζ(1)？類似を求めよう。
ここで？をつけたのは、ζ(1)は発散して収束しないからであるが、形の観点からζ(1)類似としておく。
［∑｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/nの導出］
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n
＝｛Si(2π)-Si(0)｝/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝/2 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝/3 + ・・・ ----①
に着目して、まず次の関数（フーリエ級数）
ｆ(x)＝｛Si(2π)-Si(0)｝sinx/1 + ｛Si(3π)-Si(1π)｝sin2x/2 + ｛Si(4π)-Si(2π)｝sin3x/3 + ・・・ ----②
を考える。今度も、sin級数を考える。
フーリエ級数の直交性を用いると、
｛Si(2π)-Si(0)｝/1＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sinx dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
・
・
となる。さらに右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算により次となる。
｛Si(2π)-Si(0)｝/1＝(2/π)∫(0～π) (｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・)・(cosx/1) dx
｛Si(3π)-Si(1π)｝/2＝(2/π)∫(0～π) (｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・)・(cos2x/2) dx
｛Si(4π)-Si(2π)｝/3＝(2/π)∫(0～π) (｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・)・(cos3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて、次を得る。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝1/n
＝(2/π)∫(0～π) [｛Si(2π)-Si(0)｝cosx + ｛Si(3π)-Si(1π)｝cos2x + ・・]・(cosx/1 + cos2x/2 + ・・)dx ---③
右辺にフーリエ級数の公式
cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・＝-log(2sin(x/2)) (0 < x < 2π)
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝cos(nx)＝πsinx/x-π/2- Si(π) (-π<＝x<＝ π)
を用いて整理すると③は次のようになる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n ＝2∫(0～π) ｛-sinx/x+1/2+Si(π)/π｝log(2sin(x/2)) dx ----④
目的の積分表示が求まった。
∫内に、log(2sin(x/2))が含まれている。このことから、∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/nも奇数ゼータの心を
持っているといえる。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/nは、だんだんと項が小さくなっていく交代級数（±が交互に出てくる）級数
であるので、これは収束する。
[終わり]
４つ全てをまとめておく。
右辺の青字の部分に注目していただきたい。これから奇数ゼータか偶数ゼータかどちらの心を宿しているかが明確に
わかるではないか！
次の４つを求めてきたが、/n^2と/n^4の形のものが偶数ゼータの性質をもち、/n^1と/n^3のものが奇数ゼータの性質を
もっていることは上で示唆した。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n＝2∫(0～π) ｛-sinx/x+1/2+Si(π)/π｝log(2sin(x/2)) dx ----①
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^2＝∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛(x-π)^2/2 - π^2/6｝ dx ----②
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^3
＝2∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛ζ(3) + (x^2/2)log2 + ∫(0～x) (x-t)log(sin(t/2))dt｝ dx ----③
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^4
＝(1/24)∫(0～π) ｛sinx/x-1/2-Si(π)/π｝・｛2π^2(x-π)^2-(x-π)^4 -7π^4/15｝dx ----④
/n^2と/n^4のものの明示的な値を求めることは課題として残していたが、導出できたのでそれを示したい。
②、④の右辺の積分を計算すると、次のようになった。
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^2＝π^2・Si(π)/3 -3π/2
∑(n＝1～∞)｛Si((n+1)π)-Si((n-1)π)｝/n^4＝｛8π^4・Si(π)/15-10π-π^3｝/24
このように有限項でのすっきりとした形となった。
ここで Si(π)＝∫(0～π) sint/t dt である。もちろんζ(2)＝π^2/6のような究極のところまではいっていないが、明示的な
形といってもよいであろう。（上式はもちろん計算的にも正しい）
/n^1と/n^3の①や③では、とうていこんな綺麗な形にはできない。∫内に赤字の奇数ゼータの心をもった部分を含ん
でしまっているがゆえである。
今回は、
a/1^s+ b/2^s + c/3^s + d/4^s + ・・・
のようにζ(ｓ)各項の分子が1以外の値をとる場合を見たわけであるが、このような場合にまでフーリエシステムが適用でき
ることを考えると、
例えば、ラマヌジャンのゼータ関数
L(s，Δ)＝τ(1)/1^s+ τ(2)/2^s + τ(3)/3^s + τ(4)/4^s + ・・・
のような２次のゼータ（２次の保型形式）にまでフーリエシステムは力を発揮できるのではないだろうか。そこまでは力及ば
ないのだろうか。いろいろと夢想してしまうのだが。
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