＜　作用素の定理　公式を左右逆に　＞
＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、2π代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π代入＞

＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/2，3π/2代入＞

---

2009/4/11 　　　　　　　　　　　＜　作用素の定理　公式を左右逆に　＞

定理３ 　　Ｇ(x)は、べき級数展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて、次が成り立つ。 　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x） 　ここで∫の積分範囲はすべて0〜xである。 （注意）右辺は∫G(x)dx+∫∫G(x)dxdx+∫∫∫G(x)dxdxdx +・・を略した書き方である。∫^2は∫∫の2回積分、∫^3は∫∫∫の3回積分・・など 　　　の重回積分を表す。

　「その１」から「その５」まで、次のフーリエ級数の公式

　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　　　　( 0 < x < 2π)　　 　 　 ----�@

に上の定理３（作用素の定理）を適用して、次のようなゼータの心をもった面白い式を導出してきた。

［kπ/4代入］
　1/(1^2+1) - 1/(3^2+1) - 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) + 1/(9^2+1) - 1/(11^2+1) - 1/(13^2+1) + 15/(15^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(π/4)-e^(5π/4)-e^(3π/4)｝/(e^(2π)-1)　

　1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) - 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + 9/(9^2+1) + 11/(11^2+1) - 13/(13^2+1) - 15/(15^2+1) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π√2/4)｛e^(7π/4)+e^(5π/4)-e^(3π/4)-e^(π/4)｝/(e^(2π)-1)

　1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) -10/(10^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1)

　1/(1^2+1) - 2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝ (π/√3)｛e^(4π/3)-e^(2π/3)｝/(e^(2π)-1)　

　これらの場合は、作用素の定理の

　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）　　　 　 ----�A

の�A左辺に�@左辺を、そして�A右辺に�@右辺を適用した。そのまま適用したのでは特異点が発生するので、それを避ける

意味で若干の工夫を加える必要があったことはこれまで見てきた通りである。

ふと「�A左辺に�@右辺を、そして�A右辺に�@左辺を適用したら、どうなるのだろうか？」と思った。つまり�@の左辺・右辺を

これまでと逆にして作用素の定理に当てはめたら？と思ったのである。すると計算がかなり簡単になり、また特異点が

発生することもなくまったく自然にこれまでと同様の結果が出ることがわかった。こちらが本筋だったかと思い始めた。

その方法を試してみよう。またこれ以降、この方法を主体的に用いていくことにする。

導出される結果式はこれまでと同じだが、美しい計算過程をもつこちらの方が本道と思われるので、ここでは

2π代入、π代入、kπ/2代入、kπ/3代入、kπ/4代入あたりを見てみることにしよう。

その流れるような道程をたのしんでいただきたい。

　まず2π代入から。

---

2009/4/11　　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、2π代入＞

定理３ 　　Ｇ(x)は、べき級数展開したとき収束半径がｒである関数とすると、その半径内のｘにおいて、次が成り立つ。 　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x） 　ここで∫の積分範囲はすべて0〜xである。 （注意）右辺は∫G(x)dx+∫∫G(x)dxdx+∫∫∫G(x)dxdxdx +・・を略した書き方である。∫^2は∫∫の2回積分、∫^3は∫∫∫の3回積分・・など 　　　の重回積分を表す。

［計算（2π代入）］

フーリエ級数の公式

　　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・ 　　　 　 ----�@

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)

に定理３を適用する。

　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）　　　 　 ----�A

　この定理３の�A左辺に�@右辺を、そして�A右辺に�@左辺を適用していく。

ここでは、Ｇ(x)＝(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・ 　を考えるわけである。

まず�A左辺に�@右辺を適用する。

e^x∫e^(-x) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

＝e^x∫e^(-x) sinx/1dx + e^x∫e^(-x) sin2x/2 dx + e^x∫e^(-x) sin3x/3dx + e^x∫e^(-x) sin4x/4dx + ・・　　 　 ----�B

さて、 e^x∫e^(-x) sin(nx/n) dx　を計算しよう。部分積分を行った結果のxに2πを代入すると簡単に

　 e^(2π)∫(0〜2π) e^(-x) sin(nx/n) dx＝(e^(2π)-1)/(n^2+1)　

が出る。これより�Bは、

　e^(2π)∫(0〜2π) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

　　　　　　　　　　　　＝(e^(2π)-1)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝　　 　 　 ----�C

となる。

　次に�A右辺に�@左辺を適用しよう。簡単な計算により（左辺はすべて0〜xの積分）、

（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2

＝∫(π-x)/2 dx + ∫∫(π-x)/2 dxdx + ∫∫∫(π-x)/2 dxdxdx + ・・・

＝(πe^x-e^x-π+1+x)/2

となる。この式のxに2πを代入して（左辺は重回積分をした最後の結果のxに2πを代入）、

　（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2 dx＝｛πe^(2π)-e^(2π)+π+1｝/2　　　　　　 　 ----�D

となる。

　定理３より、�C＝�Dであるから、

　(e^(2π)-1)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝＝｛πe^(2π)-e^(2π)+π+1｝/2

　整理して、

1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + ・・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)

が得られる。もちろん、これはその２で導出した2π代入と同じ式である。

以上。

作用素の定理３から導出（2π代入） 　1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) 　または�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　1/(n^2+1)＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)

---

2009/4/11　　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π代入＞

次にπ代入を調べる。

［計算（π代入）］

フーリエ級数の公式

　　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・ 　　　 　 ----�@

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)

に定理３を適用する。

　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）　　　 　 ----�A

　この定理３の�A左辺に�@右辺を、そして�A右辺に�@左辺を適用していく。

まず�A左辺に�@右辺を適用する。

e^x∫e^(-x) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

＝e^x∫e^(-x) sinx/1dx + e^x∫e^(-x) sin2x/2 dx + e^x∫e^(-x) sin3x/3dx + e^x∫e^(-x) sin4x/4dx + ・・　　 　 ----�B

さて、 e^x∫e^(-x) sin(nx/n) dx　を計算しよう。部分積分を行った結果のxにπを代入すると簡単に

　 e^π∫(0〜π) e^(-x) sin(nx/n) dx＝(e^π-cos(nπ))/(n^2+1)

が出る。これより�Bは、

　e^π∫(0〜π) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

　　　　　　　　　　　　＝(e^π-1)｛1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ (e^π+1)｛1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・｝　　 　 　 ----�C

となる。

　次に�A右辺に�@左辺を適用しよう。2π代入の結果を利用して、

（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2

＝∫(π-x)/2 dx + ∫∫(π-x)/2 dxdx + ∫∫∫(π-x)/2 dxdxdx + ・・・

＝(πe^x-e^x-π+1+x)/2

となる。この式のxにπを代入して（左辺は重回積分をした最後の結果のxにπを代入）、

　（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2 dx＝｛πe^π-e^π+1｝/2　　　　　　 　 ----�D

となる。

　定理３より、�C＝�Dであるから、

　　(e^π-1)｛1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・｝

　　　　+ (e^π+1)｛1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・｝＝｛πe^π-e^π+1｝/2　　　 　 ----�E

ここで、

　1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・＝A

　1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・＝B

とおくと

　　(e^π-1)B + (e^π+1)A＝｛πe^π-e^π+1｝/2　　　 　 ----�E-2

となる。

　さて、2π代入の結果は次のものであった。

1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) +　・・・＝-1/2 + (π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝

　この左辺をよく見ると、左辺＝A+Bとなっている。よって上式は

A+B＝-1/2 + (π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝ 　　　 ----�F

と書ける。

　�E-2と�FでA、Bの連立方程式となっている。これを解いて

　Ａ＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1)

　B＝-/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1)

つまり、

1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1)　　　----�G

1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・＝-/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1)　　---�H

が得られた。

　ところで、これらはその２で出したπ代入の結果

1/(1^2+1) - 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) - ・・・＝1/2 - π・e^π/(e^(2π)-1)

と本質的に同値である。なぜなら、これはA-Bで出るからである。�G、�Hはその２で導出した式と同じものなのである。

（厳密に言えば、「その２の2π代入、π代入」と「こちらの2π代入、π代入」が同値）

以上。

作用素の定理３から導出(π代入) 　1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + 1/(7^2+1) +・・・＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) 　1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + 1/(8^2+1) +・・・＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　1/((2n-1)^2+1)＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) 　��(n＝1〜∞)　1/((2n)^2+1)＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1)

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2009/4/16　　　　＜Ｇ(x)＝(π-x)/2-sinx に作用素の定理３を適用、π/2，3π/2代入＞

次にπ/2と3π/2代入を調べる。

［計算（π/2代入）］

フーリエ級数の公式

　　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・・ 　　　 　 ----�@

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)

に定理３を適用する。

　　　　　e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）　　　 　 ----�A

　この定理３の�A左辺に�@右辺を、そして�A右辺に�@左辺を適用していく。

まず�A左辺に�@右辺を適用する。

e^x∫e^(-x) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

＝e^x∫e^(-x) sinx/1dx + e^x∫e^(-x) sin2x/2 dx + e^x∫e^(-x) sin3x/3dx + e^x∫e^(-x) sin4x/4dx + ・・　　 　 ----�B

さて、 e^x∫e^(-x) sin(nx/n) dx　を計算しよう。部分積分を行った結果のxにπ/2を代入すると簡単に

　 e^(π/2)∫(0〜π/2) e^(-x) sin(nx/n) dx＝e^(π/2)/(n^2+1) - sin(nπ/2)/(n(n^2+1)) - cos(nπ/2)/(n^2+1)

が出る。これより�Bは、

　e^(π/2)∫(0〜π/2) (sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・) ｄx

　　　　　　　　　　　　＝e^(π/2)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　-｛1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) +・・・｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　+ ｛1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・・｝　　 　 　 ----�C

となる。

　次に�A右辺に�@左辺を適用しよう。2π代入の結果を利用して、

（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2

＝∫(π-x)/2 dx + ∫∫(π-x)/2 dxdx + ∫∫∫(π-x)/2 dxdxdx + ・・・

＝(πe^x-e^x-π+1+x)/2

となる。この式のxにπ/2を代入して（左辺は重回積分をした最後の結果のxにπ/2を代入）、

　（∫+∫^2+∫^3+・・・）(π-x)/2 dx＝｛πe^(π/2)-e^(π/2) - π/2 + 1｝/2　　　　　　 　 ----�D

となる。

定理３より、�C＝�Dであるから、

e^(π/2)｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・｝

　　-｛1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) +・・・｝

　　　　+ ｛1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・・｝＝｛πe^(π/2)-e^(π/2) - π/2 + 1｝/2　　----�E

　ここで、

　1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) +・・・＝A

　1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・・　　＝B

とおき、これとさらに2π代入の結果、

1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) +・・・＝-1/2 + (π/2)｛(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)｝

を�Eに代入して整理すると、次式を得る。

　-A + B＝-π/4 + 1/2 -πe^(π/2)/(e^(2π) -1)　　　----�F

［計算（3π/2代入）］

同様にして、3π/2代入では次式が得られる。

　A + B＝π/4 + 1/2 -πe^(3π/2)/(e^(2π) -1)　　----�G

［連立方程式］

　�F、�GはA，Bに関する連立方程式となっているので、これを解いて

　A＝π/4 - (π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π) -1)

　B＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)

すなわち、

1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) +・・・＝π/4 - (π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π) -1)

1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・・＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)

となる。

　この上方の式は「その４」でやったとおり、

1/(1(1^2+1)) - 1/(3(3^2+1)) + 1/(5(5^2+1)) - 1/(7(7^2+1)) + ・・・

＝1/(1^2(1^2+1))- 3/(3^2(3^2+1)) + 5/(5^2(5^2+1)) - 7/(7^2(7^2+1)) + ・・・

＝1｛1/1^2-1/(1^2+1)｝-3｛1/3^2-1/(3^2+1)｝+5｛1/5^2-1/(5^2+1)｝-7｛1/7^2-1/(7^2+1)｝+・・・

＝｛1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ・・｝ - ｛1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・｝

＝π/4 - ｛1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・｝

と変形できるので、

　1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1)

という式が得られる。

　途中、1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ・・＝π/4 を用いた。

結局、π/2代入、3π/2代入から次の２式が得られた。

　1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・・＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1)

この結果は、当然ながら「その４」で得た［π/2代入<->3π/2代入］の結果と同じものである。

作用素の定理３から導出（π/2，3π/2代入） 　1/(1^2+1) - 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) - 7/(7^2+1) + ・・＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) 　1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1) 　�萩L号で表現すると次となる。 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)・(2n-1)/((2n-1)^2+1)＝(π/2)｛e^(3π/2)-e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) 　��(n＝1〜∞)　(-1)^(n+1)/((2n)^2+1)＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)

　　kπ/3代入、kπ/4代入は、次頁で行うことにしよう。

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その７

その５

その４

その３

その１

ゼータ系の彗星群

数学の研究