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＜ 作用素の定理から作用素理論へ ＞
「小島彗星」では、上の定理３（作用素の定理）に次のフーリエ級数の公式
(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ ( 0 < x < 2π) ----①
を適用してゼータの香りが漂う式を導出してきた。例えば次のようなものである。
1/(1^2+1) + 2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) - 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + 8/(8^2+1) -10/(10^2+1) - 11/(11^2+1) + ・・・
＝(π/√3)｛e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1)
その場合は、定理３の
e^x∫e^(-x)Ｇ(x)ｄx＝（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x） ----②
の②左辺に①左辺を、②右辺に①右辺を適用したり、また逆に②左辺に①右辺を、②右辺に①左辺を適用したりして
様々な式を導いたのであった。
さらにわかったことがある。
それは定理３の左辺のみを用いても同じ式を導出できる！ということである。
つまり e^p∫(0～p e^(-x) いやもっと短縮して∫(0～p) e^(-x)に①の両辺を作用させだけで小島彗星で出した式すべてが
出てくるのである。これは結局、フーリエ変換やラプラス変換などの作用素と同じものと考えられる。
作用素＝∫(0～p) e^(-x)
である。（pにπやらπ/4やらが入る）
具体的に示すまでもなく、読者は「なるほど」と思われたに違いない。小島彗星を全面的に書き直すことはしないが、「作用
素の定理」（定理３）での結果と、この作用素を用いた結果は同じになる。作用素の定理という大道具を使うまでもなく、
この作用素を使うだけでもっと簡潔に計算できるとわかったのである。
①式の結果は既に「小島彗星」で見たから、別のフーリエ級数の公式を調べてみることにしよう。
ここでは、
(π/2)sinh a(π-x)＝sinh(aπ)｛1sinx/(1^2+a^2) + 2sin2x/(2^2+a^2) + 3sin3x/(3^2+a^2) + ・・｝
( 0 < x < 2π)
を取り上げる。 sinhx＝(e^x-e^(-x))/2 である。
（この公式は、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.78やp.247を参照）
上でa＝1とした次式を調べていくことにしよう。（aが他の値でも同様にできるが）
(π/2)sinh (π-x)＝sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝ ----①
( 0 < x < 2π)
これに作用素∫(0～p) e^(-x)を作用させると世にもふしぎな式が次から次へと導出されてくる。ごく一部をあげると、
1/(1^2+1)^2 + 2/(2^2+1)^2 - 4/(4^2+1)^2 - 5/(5^2+1)^2
+ 7/(7^2+1)^2 + 8/(8^2+1)^2 - 10/(10^2+1)^2 - 11/(11^2+1)^2 +・・・ ＝(π^2/√3)｛e^(11π/3)-e^(7π/3)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π^2/(6√3))｛5e^(5π/3)-e^(π/3)｝/(e^(2π)-1) これなどは冒頭の式の兄弟といえる（高級版！）。また
1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 4/(4^2+1)^2 + ・・・
＝-1/2 + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) + π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2
はζ(ｓ)の親戚であり、「小島彗星 その６」で出した
1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)
の兄弟ともいえるだろう。すべてゼータの香りが漂う式なのである。
小島彗星でも述べたが、これらが三角関数に潜む巨大な対称性という泉から沸き出てくる。
小島彗星と同じようにp＝2π、π、kπ/2、kπ/3、kπ/4を見ていきたいが、まず最も簡単な2π代入から見ていくこと
にする。
では、p＝2πから。
［p＝2π］
フーリエ級数の公式
(π/2)sinh (π-x)＝sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝ ----①
( 0 < x < 2π)
の左右両辺に作用素∫(0～p) e^(-x)を適用する。
まず①の右辺にこの作用素を作用させる。
A＝∫(0～p) e^(-x)[sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝]dx
を計算する。
部分積分により、
∫(0～p) e^(-x) n・sinx/(n^2+1) dx＝｛n・e^(-p)/(n^2+1)^2｝・｛-sin(np)-n・cos(np)｝ + n^2/(n^2+1)^2
となるから、p＝2πとしてAを計算すると
A＝α｛1^2/(1^2+1)^2 + 2^2/(2^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + ・・・｝ ----②
となる。
ここでα＝｛(e^π-e^(-π))(1-e^(-2π))/2｝ ----③
②右辺の右側の｛｝の式に注目しよう。これは、
1^2/(1^2+1)^2 + 2^2/(2^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + ・・・
＝(1^2+1-1)/(1^2+1)^2 + (2^2+1-1)/(2^2+1)^2 + (3^2+1-1)/(3^2+1)^2 + ・・・
＝(1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + ・・・) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝
＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝
と変形できる。
途中で「小島彗星 その６」2π代入での結果
1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1)を使った。
よって②よりAは次となる。
A＝α[-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝] ----④
次に①左辺に作用素∫(0～2π) e^(-x)を作用させる。
簡単な計算により、
∫(0～2π) e^(-x)・(π/2)sinh (π-x) dx＝(π/8)｛-e^(-3π) + e^π- 4π・e^(-π)｝ ----④
となる。
④＝⑤であるから、
α[-1/2 + (π/2)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝]
＝(π/8)｛-e^(-3π)+e^π-4π・e^(-π)｝
これより（αは③だから）、
1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 1/(4^2+1)^2 + ・・・
＝-1/2 + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) + π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2 ---⑤
となる。
冒頭でかかげた式のうちの一つが求まった。
以上。
念のため、Excelを用いて⑤の数値検証も行ったがOKであった。
次にp＝πを見る。
［p＝π］
フーリエ級数の公式
(π/2)sinh (π-x)＝sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝ ----①
( 0 < x < 2π)
の左右両辺に作用素∫(0～p) e^(-x)を適用する。
まず①の右辺にこの作用素を作用させよう。
A＝∫(0～p) e^(-x)[sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝]dx
を計算する。
部分積分により、
∫(0～p) e^(-x) n・sinx/(n^2+1) dx＝｛n・e^(-p)/(n^2+1)^2｝・｛-sin(np)-n・cos(np)｝ + n^2/(n^2+1)^2
となるからp＝πとしてAを計算すると
A＝｛(e^π-e^(-π))/2｝[(1+e^(-π))｛1^2/(1^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + 5^2/(5^2+1)^2 + ・・・｝
+ (1-e^(-π))｛2^2/(2^2+1)^2 + 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 + ・・・｝] ----②
となる。
②右辺の｛｝の二つの級数式に注目しよう。まず一つ目の級数は
1^2/(1^2+1)^2 + 3^2/(2^2+1)^2 + 5^2/(3^2+1)^2 + ・・・
＝(1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 1/(5^2+1)^2 + ・・・｝
＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 1/(5^2+1)^2 + ・・・｝
＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) - B ----③
と変形できる。
ここで 1/(1^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 1/(5^2+1)^2 + ・・・＝Bとおいた。また途中で「小島彗星 その６」π代入での結果
1/(1^2+1) + 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) + ・・・＝(π/4)(e^π-1)/(e^π+1)を使った。
また二つ目の級数は
2^2/(2^2+1)^2 + 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 + ・・・
＝(1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + ・・・) - ｛1/(2^2+1)^2 + 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 + ・・・｝
＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) - ｛1/(2^2+1)^2 + 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 + ・・・｝
＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) - C -----④
と変形できる。
ここで1/(2^2+1)^2 + 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 + ・・・＝Cとおいた。また途中で「小島彗星 その６」π代入での結果
1/(2^2+1) + 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) + ・・・＝-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) を使った。
よって③、④より、Aは次となる。
A＝｛(e^π-e^(-π))/2｝[(1+e^(-π))｛(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) - B｝
+ (1-e^(-π))｛-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) - C｝] ----⑤
次に①左辺に作用素∫(0～π) e^(-x)を作用させる。
簡単な計算により、
∫(0～π) e^(-x)・(π/2)sinh (π-x) dx＝(π/8)｛-e^(-π) + e^π- 2π・e^(-π)｝ ----⑥
となる。
⑤＝⑥であるから、
｛(e^π-e^(-π))/2｝[(1+e^(-π))｛(π/4)(e^π-1)/(e^π+1) - B｝
+ (1-e^(-π))｛-1/2 + (π/4)(e^π+1)/(e^π-1) - C｝]＝(π/8)｛-e^(-π) + e^π- 2π・e^(-π)｝
整理して
-B(e^π+1) - C(e^π-1)＝e^π/2 - 1/2 - (π/4)e^π - (π^2/2)e^π/(e^(2π)-1) ----⑦
となる。
⑥は一つの式に二つの未知数であるから、このままではB，Cが求まらない。ところが一つ上のp＝2πの結果を見ると、
B + C＝-1/2 + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) + π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2 ----⑦
となっていることに気づく！
⑥、⑦を並べよう。
-B(e^π+1) - C(e^π-1)＝e^π/2 - 1/2 - (π/4)e^π - (π^2/2)e^π/(e^(2π)-1) ----⑥
B + C＝-1/2 + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) + π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2 ----⑦
二つ式に二つの未知数の連立方程式となっているから、これは解け、
B＝π/8 - (π/4)/(e^π+1) - (π^2/4)e^π/(e^π+1)^2
C＝-1/2 + π/8 + (π/4)/(e^π-1) + (π^2/4)e^π/(e^π-1)^2
すなわち、
1/(1^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + 1/(5^2+1)^2 + ・・・＝π/8 - (π/4)/(e^π+1) - (π^2/4)e^π/(e^π+1)^2
1/(2^2+1)^2 + 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 + ・・・＝-1/2 + π/8 + (π/4)/(e^π-1) + (π^2/4)e^π/(e^π-1)^2
と求まった。
以上。
p＝πとp＝2πの二結果からうまい具合に連立方程式がたつという美しい構図を味わっていただきたい。
また途中で、(π-x)/2のフーリエ級数の結果がこれまたうまい具合に使えることにも注目すべきである。
とてつもない構造がひそんでいる。
念のため、Excelを用いてこの二式の数値検証も行ったがOKであった。
次にp＝π/2と3π/2を調べるが、まずp＝π/2を見よう。
［p＝π/2］
フーリエ級数の公式
(π/2)sinh (π-x)＝sinh(π)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝
の両辺をsinh(π)を割って、
(π/(2sinh(π)))sinh (π-x)＝｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝ ----①
( 0 < x < 2π)
とする。この左右両辺に作用素∫(0～p) e^(-x)を適用する。
まず①の右辺にこの作用素を作用させよう。
A＝∫(0～p) e^(-x)｛1sinx/(1^2+1) + 2sin2x/(2^2+1) + 3sin3x/(3^2+1) + ・・｝dx
を計算する。
部分積分により、
∫(0～p) e^(-x) n・sinx/(n^2+1) dx＝｛n・e^(-p)/(n^2+1)^2｝・｛-sin(np)-n・cos(np)｝ + n^2/(n^2+1)^2
となるからp＝π/2としてAを計算すると
A＝-e^(-π/2)｛1/(1^2+1)^2 - 3/(3^2+1)^2 + 5/(5^2+1)^2 - 7/(7^2+1)^2 + ・・・｝
+ e^(-π/2)｛2^2/(2^2+1)^2 - 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 - 8^2/(8^2+1)^2 + ・・・｝
+ ｛1^2/(1^2+1)^2 + 2^2/(2^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + 4^2/(4^2+1)^2 + ・・・｝ ----②
となる。
②右辺の｛｝の三つ目の級数式に注目する。これはp＝2πでも示したとおり、
1^2/(1^2+1)^2 + 2^2/(2^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + ・・・
＝｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + ・・・｝ - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝
と変形できる。
そのまま用いると
1^2/(1^2+1)^2 + 2^2/(2^2+1)^2 + 3^2/(3^2+1)^2 + ・・・
＝｛1/(1^2+1) + 1/(2^2+1) + 1/(3^2+1) + ・・・｝ - ｛1/(1^2+1)^2 + 1/(2^2+1)^2 + 1/(3^2+1)^2 + ・・・｝
＝(π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2
となる。よって、
B＝1/(1^2+1)^2 - 3/(3^2+1)^2 + 5/(5^2+1)^2 - 7/(7^2+1)^2 + ・・・
C＝2^2/(2^2+1)^2 - 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 - 8^2/(8^2+1)^2 + ・・・
とおくと、②は次のようになる。
A＝-e^(-π/2)・B + e^(-π/2)・C + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2 ----③
次に①左辺に作用素∫(0～π/2) e^(-x)を作用させる。
簡単な計算により、
∫(0～π/2) e^(-x)・(π/(2sinh(π)))sinh (π-x) dx＝(π/4)｛-e^π + e^(2π)- π｝/(e^(2π)-1) ----④
となる。
③＝④であるから、
-e^(-π/2)・B + e^(-π/2)・C + (π/4)(e^(2π)+1)/(e^(2π)-1) - π^2・e^(2π)/(e^(2π)-1)^2
＝(π/4)｛-e^π + e^(2π)- π｝/(e^(2π)-1)
整理して
-B + C＝π^2・e^(5π/2)/(e^(2π)-1)^2 - (π/4)｛e^(3π/2)+πe^(π/2)+ e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) ----⑤
一つの式に二つの未知数であるから、このままではB，Cが求まらない。ところが次のp＝3π/2を計算すると、
連立方程式のあと一つのペアとなるべき式が出るのである！
［p＝3π/2］
上とやり方は全く同じであるので結論だけ書く。p＝3π/2として同様に計算すると、
B + C＝π^2・e^(7π/2)/(e^(2π)-1)^2 - (π/4)｛e^(π/2)+3πe^(3π/2)+ e^(3π/2)｝/(e^(2π)-1) ----⑥
が出る。
（注釈：p＝π/2をやっていると、この式を出すのはじつは非常に簡単である。π/2と3π/2が、3π/2＝2π-π/2という
関係だから sin(2π-p)＝-sin(p) 且つ cos(2π-p)＝cos(p) がいえ、そのことからp＝3π/2の場合は、p＝π/2の結果を
ほぼそっくり利用できるからである。）
［連立方程式］
⑤、⑥を並べよう。
-B + C＝π^2・e^(5π/2)/(e^(2π)-1)^2 - (π/4)｛e^(3π/2)+πe^(π/2)+ e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) ----⑤
B + C＝π^2・e^(7π/2)/(e^(2π)-1)^2 - (π/4)｛e^(π/2)+3πe^(3π/2)+ e^(3π/2)｝/(e^(2π)-1) ----⑥
二つ式に二つの未知数の連立方程式となっているから、これは解け、
B＝(π^2/2)｛e^(7π/2)-e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π/8)｛3πe^(3π/2)-πe^(π/2)｝/(e^(2π)-1)
C＝(π^2/2)｛e^(7π/2)+e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π/8)｛(3π+2)e^(3π/2)+(π+2)e^(π/2)｝/(e^(2π)-1)
すなわち、
1/(1^2+1)^2 - 3/(3^2+1)^2 + 5/(5^2+1)^2 - 7/(7^2+1)^2 + ・・・
＝(π^2/2)｛e^(7π/2)-e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π/8)｛3πe^(3π/2)-πe^(π/2)｝/(e^(2π)-1) ----⑦
2^2/(2^2+1)^2 - 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 - 8^2/(8^2+1)^2 + ・・・
＝(π^2/2)｛e^(7π/2)+e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π/8)｛(3π+2)e^(3π/2)+(π+2)e^(π/2)｝/(e^(2π)-1) ---⑧
と求まる。
後者の式は、さらに本質的な形に変形できるのでやっておこう。
2^2/(2^2+1)^2 - 4^2/(4^2+1)^2 + 6^2/(6^2+1)^2 - 8^2/(8^2+1)^2 + ・・・
＝(2^2+1-1)/(2^2+1)^2 - (4^2+1-1)/(4^2+1)^2 + (6^2+1-1)/(6^2+1)^2 - (8^2+1-1)/(8^2+1)^2 + ・・・
＝｛1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) + ・・・｝
- ｛1/(2^2+1)^2 - 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 - 1/(8^2+1)^2 + ・・・｝
＝｛1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)｝
- ｛1/(2^2+1)^2 - 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 - 1/(8^2+1)^2 + ・・・｝ ---⑨
と変形できる。途中で「小島彗星 その６」での結果
1/(2^2+1) - 1/(4^2+1) + 1/(6^2+1) - 1/(8^2+1) +・・・＝1/2 - (π/2)｛e^(π/2)+e^(3π/2)｝/(e^(2π) -1)
を使った。
よって⑧、⑨から次が出る。
1/(2^2+1)^2 - 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 - 1/(8^2+1)^2 + ・・・
＝1/2 - (π^2/2)｛e^(7π/2)+e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 + (π/8)｛(3π-2)e^(3π/2)+(π-2)e^(π/2)｝/(e^(2π)-1)
結局、このp＝π/2、3π/2から、次の二式が求まったことになる。
1/(1^2+1)^2 - 3/(3^2+1)^2 + 5/(5^2+1)^2 - 7/(7^2+1)^2 + ・・・
＝(π^2/2)｛e^(7π/2)-e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 - (π/8)｛3πe^(3π/2)-πe^(π/2)｝/(e^(2π)-1)
1/(2^2+1)^2 - 1/(4^2+1)^2 + 1/(6^2+1)^2 - 1/(8^2+1)^2 + ・・・
＝1/2 - (π^2/2)｛e^(7π/2)+e^(5π/2)｝/(e^(2π)-1)^2 + (π/8)｛(3π-2)e^(3π/2)+(π-2)e^(π/2)｝/(e^(2π)-1)
面白い式ではないか。
念のため、Excelを用いて数値検証も行ったがOKであった。
次元の低い場合の結果（前段の結果）が流れるように次々に利用できて、最後は対称性から連立方程式が
うまくたってぴったりと求まるという驚くべき構図となっているのである！
ゼータ惑星も美しいが、ゼータの香り漂う式の世界もそれに劣らず美しい世界である。
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