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2003/1/19開設
e^xに関する新しい公式をいくつも発見しました。まず、次のものから示していきます。
公式１を用いると、次のような興味ある公式を導くことができます。証明は次を参照ください。 いまf(x)＝cosxとすると、f′(x)＝－sinxより、公式１を用いて、つぎの公式2-1が導かれます（cosxのベキ級数の
収束半径は∞）。
∫+∫∫+∫∫∫+・・・を”無限演算子”と名付け、∫+∫∫+∫∫∫+・・・＝Λとおくと、
あるいは、cosx＋sinx＝√2sin(x+π/4)より、次のようにも表現できます。
公式2-1や2-2は、なにやらオイラーの公式を連想させます。
オイラーの公式は、cosx+i･sinx=e^ix ですが、e^ix＝(e^x)^iより、 e^x＝(cosx+i･sinx)^(1/i) と変形できますから、cosxとsinxを複素数iを通じてe^xと結びつけているのがオイラーの公式であるということが
できます。一方、公式2-1や2-2は、演算子Λを通じてe^xとcosx、sinxは関連していると見ることができます。
すなわち、
(cosx+i･sinx)^(1/i)＝cosx＋√2Λsin(x+π/4)
あるいは、
(cosx+i･sinx)^(1/i)＝cosx＋Λ（cosx＋sinx）
が成立しているわけです。
実数世界での演算子Λ＝∫＋∫∫＋∫∫∫＋・・・は複素平面の世界と関連し、数学の奥底で結びついているの
かもしれません。
---------------------------------------------- さて、これらの公式にはどんな応用があるのでしょうか。 私が気付いた応用を示します。まだまだいろいろな応用があると考えられます。 ［応用１］ cosx＝1－x^2/2！＋x^4/4！－x^6/6！＋x^8/8！－x^10/10！－・・・ sinx＝x/1！－x^3/3！＋x^5/5！－x^7/7！＋x^9/9！－・・・ であるから、
cosx+sinx＝1＋x/1！－x^2/2！－x^3/3！＋x^4/4！＋x^5/5！－x^6/6！－x^7/7！＋x^8/8！＋
となります。
これから、Λ（cosx+sinx）＝(∫＋∫∫＋∫∫∫＋・・・)（cosx+sinx）を手計算していくと、
Λ(cosx+sinx)
＝x＋x^2･2/2！＋x^3･1/3！＋x^5･1/5！＋x^6･2/6！＋x^7･1/7！
＋x^9･1/9！＋x^10･2/10！＋x^11･1/11！＋x^13･1/13！＋x^14･2/14！＋・・・------① となることがわかります。（途中、x^4、x^8、x^12・・・の項が飛んでいることに注意ください。）
また、①式を利用すれば、e^x＝cosx＋Λ{cosx＋sinx}の式の正しさを検証することができることに気付くでしょう。
実際に正しいことが検証できるのですが、みなさんも、ぜひ手計算で確認してみてください。
ここで、公式2-1は e^x＝cosx＋Λ{cosx＋sinx} ですから、ｘ＝π/2とすると、 e^(π/2)＝cos(π/2)＋［Λ{cosx＋sinx}のx＝π/2での値］＝［Λ{cosx＋sinx}のx＝π/2での値］ となります。さて、右辺は、①式でのｘ＝π/2での値ですから、結局、
となります（π^4、π^8、π^12・・・の項が飛んでいることにご注意ください）。
このようにe^(π/2)の正しい展開式が得られるのです。これが正しいものであることは、次で説明しています。
（追加2003/1/21）
公式2-1 e^x＝cosx＋Λ（cosx＋sinx） が正しいかいろいろと検証してみましょう。
上の①式をもう一度書いておきましょう。
Λ(cosx+sinx)
＝x＋x^2･2/2！＋x^3･1/3！＋x^5･1/5！＋x^6･2/6！＋x^7･1/7！ ＋x^9･1/9！＋x^10･2/10！＋x^11･1/11！＋x^13･1/13！＋x^14･2/14！＋・・・------①
公式2-1で、ｘ＝πとおくと、①式を利用して、
となります（途中、π^4、π^8、π^12・・・の項が飛んでいることに注意ください）。
当初、この式の正しさを検算的に確認するのは難しいのではないか？と思っていましたが、Yさんの指摘がヒントに
なり、簡単に確認できることに気付きました。cosxのマクローリン展開
cosx＝1－x^2/2！＋x^4/4！－x^6/6！＋x^8/8！－x^10/10！－・・・
で、x＝πとすれば、
-1＝1－π^2/2！＋π^4/4！－π^6/6！＋π^8/8！－π^10/10！－・・・
となります。これを、②に代入すれば、その②の正しさはすぐにわかりますね。
また、同様の方法で、展開式１－１の検証もできることはすぐわかるでしょう（それは略）。
つまり、展開式１－１、１－２などはマクローリン展開の方からも導けるわけで、新発見でもなんでもないわけですが、
逆に見れば、これは公式2-1(2-2)の正しさの具体的な検証になっているとも言えます。
公式2-2と類似の別の式をここでは導きます。
公式１は f(x)＋Λ{ｆ(x)－f′(x)}＝ｆ(0)・e^x ですから、いまf(x)＝sinxとおいてみましょう。
（ちなみに、sinxもcosxと同様、そのベキ級数の収束半径は∞です）
すると、ｆ（0）＝0ですから、
０＝sinx＋Λ（sinx－cosx） -------④
また、f(x)＝cosxとしたときの式は、これまで見てきたように、
e^x＝cosx＋Λ（cosx＋sinx） --------⑤
④＋⑤より、
e^x＝cosx＋sinx＋2Λsinx
＝√2cos(x－π/4)＋2Λsinx --------⑥
となります。（④や⑥の正しさも手計算で確めることができます）
さて、⑥とオイラーの公式との関連を調べてみましょう。
オイラーの公式は、e^ix＝cosx+i･sinxより、
e^x＝(cosx+i･sinx)^(1/i) -----------⑦
と変形できますから、⑥と⑦を比べて、
(cosx+i･sinx)^(1/i)＝√2cos(x－π/4)＋2Λsinx
となります。
さらに、もう少し考察をしましょう。
⑤－④を見てみましょう。
e^x＝cosx－sinx＋2Λcosx
＝－√2sin(x－π/4)＋2Λcosx --------⑧
となります。sinとcosの関係が逆になっており、これまでとは少し趣が違います。
これはオイラーの公式とは連関しているのでしょうか。
つぎのようにオイラーの公式を変形すれば、その関係が見えてきそうです。
オイラーの公式は、e^ix＝cosx+i･sinxですから、ｘを”ｘ－π/2”で置き換えると、
e^{i(x-π/2)}＝cos(x-π/2)+i･sin(x-π/2)
が成り立ちます。
これを変形すると、
e^ix・e^(-iπ/2)＝sinx－i･cosx
両辺にe^(iπ/2)をかけて、
e^ix＝e^(iπ/2)（sinx－i･cosx）
よって、ｅ^iｘ＝(e^x)^iより
e^x＝e^(π/2)（sinx－i･cosx）^(i/1) ----------⑨
⑧と⑨を比較して、結局、
e^(π/2)（sinx－i･cosx）^(i/1) ＝－√2sin(x－π/4)＋2Λcosx
が成り立ちます。
これなどを見ても、実平面での無限演算子Λ=∫+∫∫+∫∫∫+･･･は、複素平面と繋がりをもっているような
気がしてきます。
本ページの冒頭の公式2-2と合わせると、次が成り立ちます。（1/i ＝-i を用いて上式を若干書き替えました。）
上式の左辺はすべてe＾xですので、念のため上３式を下記のようにも書いておきます。
公式１を眺めていて、面白いことに気付きました。まず公式１をもう一度書いておきます。
(∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}＝∫{ｆ(x)－f′(x)}+∫∫{ｆ(x)－f′(x)}+∫∫∫{ｆ(x)－f′(x)}+・・
ですから、 オを書きなおすと、
ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋∫{ｆ′(x)－f(x)}+∫∫{ｆ′(x)－f(x)}+∫∫∫{ｆ′(x)－f(x)}+・・・ -------カ
となります。
さて、カをじっと眺めていて、なにかに似ていると気付くことはないでしょうか。
ｆ(ｘ)のマクローリン展開に似ているような気がするのです。 ｆ(ｘ)のマクローリン展開を書くと、
ｆ(ｘ)＝ｆ(0)＋ｆ′(0)x/1！+ｆ´´(0)x^2/2！+ｆ´´′(0)x^3/3！+・・・ -------キ
となります。
キとカは、対称的ななにかが感じられます。
キは、多重回の微分が一つの特徴ですが、一方、カは多重回の積分がその特徴となっています。
そして、いずれも、その多重回の演算は無限に続いていっている。また、どちらも、ｆ(0)が登場している。
この対応は、じつにふしぎです。
宇宙の奥底で、積分世界と微分世界がリンクしている気がします。
ぼんやりそんなことを思ってみるだけで、はっきりしたことは、私には、まったくわかりません・・・
公式１をもう一度書いておきます。ここでは、無限演算子Λ＝∫+∫∫+∫∫∫+・・・の性質を探ってみましょう。
公式１の証明でも示したように、オの式の証明の核心は、下の一連の式を上から下まで
足し合わせることにありました。
f(x)－∫f′(x)＝f(0)
∫f(x)－∫∫f′(x)＝f(0)x ∫∫f(x)－∫∫∫f′(x)＝f(0)x^2／2！ ・ ・
これを上から下まで足し合わせれば、オが成り立つことがわかります。
さて、ここで、上の式を一回つづ両辺微分していっても、もちろん上は成り立っています。
すなわち、
f′(x)－f′(x)＝0
f(x)－∫f′(x)＝f(0)
∫f(x)－∫∫f′(x)＝f(0)x ∫∫f(x)－∫∫∫f′(x)＝f(0)x^2／2！ ・ ・
が成り立つことは容易にわかります。
さて、すぐ上を、もう一回つづ両辺微分していっても、つぎが成り立つことはもちろんです。
ｆ′′(x)－(f′(x))′＝0
f′(x)－f′(x)＝0
f(x)－∫f′(x)＝f(0)
∫f(x)－∫∫f′(x)＝f(0)x ∫∫f(x)－∫∫∫f′(x)＝f(0)x^2／2！ ・ ・
同様に、何回これを繰り返しても、成り立っていきます。
いま、例えば、すぐ上の一連の式を上から下まで足し合わせれば、
f′′(x)＋(D＋１＋∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}＝ｆ(0)・e^x
となることも、容易にわかるでしょう。Dは一回微分の意味です。１は”なにも演算しない”の意味。
上の考察から、これを一般化すれば、つぎのようになります。
オの両辺を例えば３回微分すれば、
D^3・f(x)＋(D^2＋D＋１＋∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}＝ｆ(0)・e^x
となることは上の定理よりすぐにわかりますね。D^2は２回微分、D^3は３回微分です。
ここで、演算子Λの形式的な性質を導いておきましょう。
定理１より、すぐわかることですが、（∫+∫∫+∫∫∫+・・・）{ｆ(x)－f′(x)}は、これをｎ回微分すれば、
(D^(n-1)＋D^(n-2)＋・・＋D^2＋D＋１＋∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}になります。
すなわち、つぎのようになります。
D^n（∫+∫∫+∫∫∫+・・・）{ｆ(x)－f′(x)}
＝(D^(n-1)＋D^(n-2)＋・・＋D^2＋D＋１＋∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}
さらに、Λの一般的な性質をしらべましょう。
いま
F(x)＝(∫＋∫∫＋∫∫∫＋・・・)f(x)
とおくとします。すべての積分範囲は０～ｘです。
上は、
F(x)＝∫f(x)＋∫∫f(x)＋∫∫∫f(x)＋・・・
と同じです。
上式の両辺を微分すると、
F′(x)＝f(x)＋∫f(x)＋∫∫f(x)＋・・・
となることは容易にわかります。すなわち、これは、
F′(x)＝（１＋∫＋∫∫＋・・・）f(x)
ということです。
さらに、同様にして、上式を微分すると、
F′′(x)＝f′(x)＋f(x)＋∫f(x)＋∫∫f(x)＋・・・
＝（D＋１＋∫＋∫∫＋・・・）
となることもすぐにわかります。
これを繰りかえしていくと、F(x)をｎ回微分したものは、
F＾(n)(x)＝（D＾(n-1)＋D＾(n-2)＋・・＋D＾2＋D＋１＋∫+∫∫+∫∫∫+・・・）f(x)
となることがわかります。
規則的な性質が見つかりましたので、次のように定理としてまとめておきます。
公式１のf(x)＋(∫+∫∫+∫∫∫+・・){ｆ(x)－f′(x)}＝ｆ(0)・e^x を、ｆ(ｘ)＝・・の形に書きかえれば、つぎのようになり、
ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)} -------カ
となることは容易にわかります。
私は、この表現の方が好きなので、一つ上と本質的にはまったく同じことですが、次々と微分していった式を導いておき
ます。いきなり、書き下していきます（カの式も含む）。
ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
Dｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
D^2･ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(D＋１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
D^3･ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(D^2＋D＋１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
・
・
これらが成り立つのは、明らかでしょう。詳しくは、一つ上のその１を見てください。
2003/2/5追加 公式１ ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)} のある性質
公式１ ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)} ・・・・・・・①
は、両辺を何回微分しても形が変わらないという性質をもっています。
①の両辺を１回微分してみましょう。上の定理１を用いて、
f′（x）＝ｆ(0)・e^x＋(１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)}
＝ｆ(0)・e^x＋１｛ｆ′(x)－f(x)}＋（∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)}
上は結局、
f（x）＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)}
と同じであることがわかります。
これをさらに微分してもまた元に戻りますから、結局、①は何回微分してもその形を変えないという性質をもっているの
です。
このことは、上の「演算子Λの性質 その２」で導いたつぎの式とも矛盾しません。（Dは１回微分、D^2は2回微分。）
D^2･ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(D＋１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
これも、変形しますと、
D^2･ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(D＋１＋∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
＝ｆ(0)・e^x＋D{Dｆ(x)－f(x)}＋１{Dｆ(x)－f(x)}＋（∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
＝ｆ(0)・e^x＋D^2ｆ(x)－Df(x)＋Dｆ(x)－f(x)＋（∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){Dｆ(x)－f(x)}
となり、すぐわかるように、これは、f（x）＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)} と同じだからです。
別の単純な式をいくつか見つけましたので、書いておきます。
公式１ ｆ(ｘ)＝ｆ(0)・e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･){ｆ′(x)－f(x)} -----①
において、
f(x)＝e^x・sinxとおくと、ｆ(0)＝0より、
e^x・sinx＝(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･)（e^x・sinx＋e^x・cosx－e^x・sinx）
＝(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･)（e^x・cosx）
とシンプルな形になります。
また公式１で、f(x)＝e^x・cosxとおくと、ｆ(0)＝１より、
e^x・cosx＝e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･)（e^x・cosx－e^x・sinx－e^x・cosx）
＝e^x＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･)（－e^x・sinx）
となります。
項を左辺に移すと、これまたつぎのきれいな形になります。
e^x・cosx＋(∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･)（e^x・sinx）＝e^x
まとめておきます。
ちなみに、e^x・sinxもe^x・cosxもともに収束半径は∞です。つまり、任意の実数ｘに対して、上の公式が成り立つのです。
あとで、また気付いたことですが、上の結果はつぎの一般的な場合の特別な例になっているということです。
いま、f（x）とｇ（ｘ）が、ｆ（ｘ）＝ｅ＾ｘ・ｇ（ｘ）という関係で結びついているとき、ｆ（0）＝ｇ（0）より、①の公式１に代入すると、
ｅ＾ｘ・ｇ（ｘ）＝ｇ（0）・ｅ＾ｘ＋（∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･）｛ｅ＾ｘ・ｇ（ｘ）＋ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）－ｅ＾ｘ・ｇ（ｘ）｝
＝ｇ（0）・ｅ＾ｘ＋（∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･）｛ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）｝
となります。つまり、∫＋∫∫＋∫∫∫＋･･･＝Λとすれば、
ｅ＾ｘ・ｇ（ｘ）＝ｇ（0）・ｅ＾ｘ＋Λ（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） --------②
という簡潔な形になるのです。
公式３では、ｇ（ｘ）がsinxやcosxの場合を考えていたわけです。
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すこし他の例も見てみましょう。
最近、Ａさんに、「サインやコサインの後ろに”h”がついているのはどんな関数か？」と聞かれたことがあります。
これはつまり双曲線関数、sinhx＝（e＾x－e＾-x）/2やcoshx＝（e＾x＋e＾-x）/2のことですが、これに公式１を適用して
みたくなりました。
簡単ですので、途中は省き、結果だけ書きます。つぎのような恐ろしく単純な形になってしまいました。
以上。
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追加2003/2/11 さらに対称的な式を導くことができました。
まず②を少し変形してみましょう。②より、
e＾x（g(x)－g(0)）＝Λ（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） ---------③ さて、いまg(x)をマクローリン展開すると、 g(x)＝g(0)＋g´(0)x/1！＋g´´(0)ｘ^2/2！＋g´´´(0)ｘ^3/3！＋・・・ より、g(x)－g(0)＝g´(0)x/1！＋g´´(0)ｘ^2/2！＋g´´´(0)ｘ^3/3！＋・・・
よって、これを③に代入すると、
ｅ＾ｘ｛g´(0)x/1！＋g´´(0)ｘ^2/2！＋g´´´(0)ｘ^3/3！＋・・・｝＝Λ（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） 左辺の｛｝を外すと、 ｅ＾ｘ・g´(0)x/1！＋ｅ＾ｘ・g´´(0)ｘ^2/2！＋ｅ＾ｘ・g´´´(0)ｘ^3/3！＋・・・＝Λ（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） -------③ また、③の右辺は、 右辺＝Λ（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） ＝（∫＋∫∫＋∫∫∫＋・・・）（ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）） ＝∫ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）＋∫∫ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）＋∫∫∫ｅ＾ｘ・ｇ′（ｘ）＋・・・ と変形できるので、結局③は、つぎのように表現できる。 ｅ＾ｘ・g´(0)・x＋ｅ＾ｘ・g´´(0)ｘ^2/2！＋ｅ＾ｘ・g´´´(0)・ｘ^3/3！＋・・・ ＝∫ｅ＾ｘ・ｇ´（ｘ）＋∫∫ｅ＾ｘ・ｇ´（ｘ）＋∫∫∫ｅ＾ｘ・ｇ´（ｘ）＋・・・ ---④ 対称的で美しい式です。左辺と右辺を比べてください。うーん、と唸ってしまいます。 ちなみに、⑤式は、関数ｇ（ｘ）・ｅ＾ｘのベキ級数展開の収束半径をｒとしたとき、その半径内のｘに対して、 成り立つものであることは導出過程から容易にわかるでしょう。
この④は、ｆ（ｘ）の公式１への適用、すなわち、ｆ（ｘ）つまりｇ（ｘ）・ｅ＾ｘがマクローリン展開で無限級数表現できることが
ポイントになっていましたので、結局、ｇ（ｘ）はほとんどどんな一般的な関数をもってきてもＯＫということです。
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