はじめに(巻頭言)
【数学T・数学A・数学基礎】
1.「〜の代わりに〜で考える」(数学T・無理数の計算)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・1
ルートの積の定義/同型の考え/電卓を使うことについて/ルートのルーツ
2.有理化の意味を考える(数学T・無理数)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・5
無理数の有理化/拡大体(2次体)/有理化を目で見る
3.数学Uに抜ける3乗の展開をめぐって(数学T・数と式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・7
二項定理につながる展開/展開を視覚に訴える教具
4.関数を指導するにあたって(数学T・関数/数学史)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・9
数学「教師」と「数学」教師/関数を学ぶ意義/関数とは/公式を帰納的に導くこととの違い
5.絶対値を見て考えることは(数学T・数と式・2次関数)・・・・・・・・・・・・・・・・11
2次関数の軸対称性/絶対値
6.自然現象と教科書にある数学とのつながり(数学T・2次関数)・・・・・・・・・・15
2乗比例法則/水平投射の実験/放物線が軸を切り取る長さ
7.2次関数には3つの顔がある(数学T・2次関数)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・17
2次関数の式の表現/2乗比例関数としての重要性質
8.興味を持たせる2次方程式の指導(数学T・2次方程式)・・・・・・・・・・・・・・・・21
ニュートンの近似解法/平方完成と面積の正方形化/二次方程式と黄金比
9.角の概念には2つの側面がある(数学T・三角比の拡張)・・・・・・・・・・・・・・・・23
角の二面性/単位円による角の再定義/方程式不等式を解く
10.分数の割さんはなぜひっくり返してかけるのか(数学T・三角比)・・・・・・・・27
の意味/分数の割り算
11.サインのルーツを探る(数学T・三角比と計量/数学史)・・・・・・・・・・・・・・・・29
伊能忠敬とペリー/アルマゲストと三角比の表/sineの由来
12.トレミーはをどうやって求めたか(数学T・三角比/数学史)・・・・・・・33
タレスについて/アルマゲストと三角比の表
13.三角形の面積の公式あれこれ(数学T・三角比)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・39
面積の公式の証明/面積の公式で遊ぶ
14.集合が数学Tに移動する(数学A・集合)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・43
高校で扱う集合の概念/ベン図とカルノー図
15.順列の授業をつくる(数学A・個数の処理)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・47
順列の導入時に行うあるゲーム
16.ゲームで確率の加法と乗法の理屈を知る(数学A・確率)・・・・・・・・・・・・・・・・・53
「私の作ったシミュレーションゲーム」の実践より
17.数学基礎のエッセンスは全科目に通じる(数学基礎・反射)・・・・・・・・・・・・・・57
数学基礎について/鏡と幾何/2次曲線と反射/垂足三角形と反射
【数学U・数学B・数学V】
18.整式はユークリッド整域をなす(数学U・分数式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・63
数の構造・整式の構造/ユークリッド整域/同値律/分数の割り算
19.数の発見〜複素数の世界へ〜(数学U・複素数)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・67
第数方程式と数の拡張/負の数の平方根との関係/複素数のイメージ
20.解と係数の関係のアプローチ(数学U・解と係数の関係)・・・・・・・・・・・・・・・・71
解と係数の関係あれこれ
21.分点の座標で数学を楽しもう(数学U・分点の座標)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・73
数学を楽しむこと/分点を求める意味/分点の位置の求め方/錘と分点
22.北海道の重心はどこ?(数学U・重心の座標)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・77
剛体重心/重心と面積/内心もある意味重心
23.対称点の問題から応用力を見る(数学U・対称点の座標)・・・・・・・・・・・・・・・・79
応用力をつけるには/別解を考える@軌跡/Aベクトル方程式/B正射影ベクトル
24.円の等幅性(数学U・円の方程式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・83
円の方程式の導き方/等幅曲線/座標平面上に円を図示する
25.円の接線の方程式にまつわるお話(数学U・円の接線の方程式)・・・・・・・・・・85
円の図示と垂直のイメージ/円の接線の方程式/極と極線の方程式/宮沢賢治が研究した直線の方程式
26.弧度法をスムーズに理解させるには(数学U・弧度法)・・・・・・・・・・・・・・・・・・89
弧度法の導入と指導法
27.三角関数は「関数」である(数学U・三角関数/指導法)・・・・・・・・・・・・・・・・93
数学科としての組織づくり/三角比の再定義に関しての問題意識/三角関数は「関数」である/
加法性を持つ量としての角/具体的問題への対応
28.指数関数の授業の工夫一考(数学U・指数関数)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・99
をどう教えるか/音楽と指数関数
29.対数法則と上手につきあうには(数学U・対数関数)・・・・・・・・・・・・・・・・・・103
反射律・対称律を用いて対数法則を見る/身近にある対数法則
30.接線の方程式7つの解法(数学U・接線の方程式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・107
1次近似と接線/差の関数と接線/放物線と2接線の性質/べき展開
31.「畳8枚」5点定理の秘密(数学U・関数の値の変化)・・・・・・・・・・・・・・・・113
2次関数のグラフの軸対称性/3次関数のグラフの点対称性/3次関数のグラフの等間隔性
32.3次方程式の解の公式を展望する(数学U・3次方程式)・・・・・・・・・・・・・・117
3次方程式の判別式/3次方程式の解の公式
33.数Uで教える区分求積の考え(数学U・積分)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・121
区分求積について/の公式について
34.釣り合いで考える分点の位置ベクトル(数学B・ベクトル方程式)・・・・・・・125
三角形の質点重心/錘で分点の位置を見つける/空間の問題も錘で考える
35.ベクトルの共線条件で注意すること(数学B・ベクトルの共線条件)・・・・・129
ベクトルの矢継算「暴走ゲーム」/変位と加法性/共線条件と同値/大きさの比較
36.斜交平面で線形空間の構造を学ぶ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・135
斜交平面/1次変換と行列式
37.空間座標あれこれ(数学B・空間のベクトル)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・143
ベクトル方程式の良さ/球と平面・球と球の交わり/円の接線と球の接平面/空間座標をイメージする工夫
38.群数列のエッセンス(数学B・数列・群数列)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・149
群数列の導入にあたって/集合の濃度の話/類推の危うさ/群数列の水源地は
39.パスカルの三角形は汲めども尽きぬ数学の泉(数学B・数列の和)・・・・・・・153
道順の考えとパスカルの三角形(ライプニッツのアイデア)/パスカルの三角形と母関数
40.漸化式を究めよう(数学B・数列・漸化式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・157
漸化式から一般項/漸化式をつくる
41.近代的証明法の仕組み(数学B・数列・数学的帰納法)・・・・・・・・・・・・・・・・・163
ペアノの公理と数学的帰納法の原理/ε−δ法との類推/別解を考えること
42.数学Vにおけるグラフ描画のキモ(数学V・微分法・関数の増減)・・・・・・167
端点でのグラフの出方/差の式の図示/高位の無限大/三角関数の極限
【指導法・指導技術・授業論】
43.問題演習の目指すこと(指導技術/数学T・2次関数)・・・・・・・・・・・・・・・・171
問題演習を行うための7つのポイント/2乗に比例する関数の性質
44.授業力を向上させるために(指導技術・数学教師像)・・・・・・・・・・・・・・・・・・173
授業を改善するいくつかのS
45.習熟度別授業は異形なのか(指導法・習熟度別編成授業)・・・・・・・・・・・・・・175
習熟度授業が展開される理由/学力差のあるクラスでの授業
46.教科指導と生徒指導(授業論・指導技術・授業規律と生徒指導)・・・・・・・・179
生徒指導提要
47.ベテラン教師の役割(指導法・授業技術)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・181
ベテラン教師の良さ/ベテラン教師の問題点
48.学習が負の影響を及ぼす?(授業論・指導技術/数学U・不等式)・・・・・・185
解の公式の導き方/2次不等式と有意味学習
49.言語活動の評価は授業評価と一体(授業論・指導技術)・・・・・・・・・・・・・・・・187
基礎力確認調査に見る課題/言語活動の評価に関して
50.数学用語にこだわりを持つことも大切(授業論・指導技術)・・・・・・・・・・・・189
「連立」とは/数学を通して何を教えるのか
51.数学的活動を前提とした概念指導の大切さ(授業論/数学A)・・・・・・・・・・・191
分類すること
52.たかが模試とはいうけれど(指導技術・模試対策)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・193
模試対策といえど/模試対策を楽しむ
53.2次不等式に見る受験学力の実態(授業論/数学T・2次関数)・・・・・・・・195
2次方程式の2つの解法/差異を強調するか共通性に着目するか/受験学力の実態
54.コンピュータを授業に用いる(指導法・授業技術・コンピュータ)・・・・・・199
授業でコンピュータを使う良さ/PCを使いながら良い学習ができるポイント
55.たかが8桁電卓されど8桁電卓(指導法・電卓)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・203
除算の恒等式/桁の問題/数列の極限/の値と桁落ち/
の値と誤差評価
COFFEE BREAK
1 私の薦めるこの1冊 その1・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・4
2 私の薦めるこの1冊 その2・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・14
3 私の薦めるこの1冊 その3・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・20
4 数学的活動とは・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・26
5 授業を見つめなおそう・すうがく通信2号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・32
6 なぜ数学を学ぶのか・すうがく通信5号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・38
7 小学校から中学校への接続・すうがく通信7号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・42
8 高校数学における言語活動・すうがく通信8号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・46
9 楽しい授業と進学指導@・すうがく通信10号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・62
10 数学的活動・すうがく通信11号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・70
11 学力の3要素と評価の観点・すうがく通信12号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・82
12 PISA調査について・すうがく通信13号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・92
13 DeSeCoのキーコンピテンシー・すうがく通信17号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・98
14 楽しい授業と進学指導A・すうがく通信10号より ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・102
15 授業力向上セミナー・すうがく通信20号より・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・106
16 九九の表はあなどれない・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・112
17 偏差値の話・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・116
18 高校生クイズの問題@・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・120
19 高校生クイズの問題A・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・128
20 数学と音楽・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・148
21 マイナス×マイナスはなぜプラス?・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・156
22 クロスワードパズル・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・163
23 受験指南術・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・170
24 錐体の体積・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・178
25 博士の愛した数式・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・184
26 あなたもGRAPESの世界へ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・190
27 新カリ・整数について・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・198
28 整数(不定方程式)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・202