シュバルツシルトの解（その２）惑星運動

平面運動の測地線の方程式の変分原理による簡単な導出

その1で測地線の方程式を導いたがこれでよいのか不安な人のために(私もその一人です）

平面運動に限った直接演算を行う。

時空の中に物質、光の通る経路を考え媒介変数をσとし、経路をt(σ), r(σ), θ(σ)で表す。

始点の添え字をs終点の添え字をlとする

各場所での座標変換に対する不変距離ds =√(g_00c^2 dt^2+g_11 dr^2+g_22 dθ^2) を総和した

経路の長さL =∫dsを最小にする測地線が物質、光の通る経路である

（これは光のとき測地線の長さ0で真空中の光速を超えられない物質に対しては実は虚数なので

2乗した数値が最小という事は絶対値は最大と言うことである）

測地線は空間的なものだけであれば最小の長さの経路であるから糸を引っ張るとか

巻尺を引っ張るとかして実際に見る事が出来またイメージとしても思い浮かべやすい。

しかし時空の場合時間に掛かる計量はマイナスとなっており時間軸を含めた測地線全体を

絵に描く事は出来ない。空間に投影した絵は描けるが。式で表す事か数値表で表す事しか出来ない。

これが時空というものをイメージとして思い浮かべ難い原因である。虚数を扱うのは不便なので

便宜上符号を反転した√(-ds^2)= √(-g_00 c^2 dt^2-g_11 dr^2-g_22 dθ^2)の総和Lを最大にする事を考える。

√(-ds^2)= √(-g_00 c^2 dt^2-g_11 dr^2-g_22 dθ^2)

= √(-g_00 c^2 (dt/dσ)^2-g_11 (dr/dσ)^2-g_22 (dθ/dσ)^2) dσ

=√(-g_00 c^2 t`^2-g_11 r`^2-g_22 θ`^2) dσ=√(F) dσ

(dt/dσ= t`; dr/dσ= r`; dθ/dσ=θ`と略記)

(-g_00 c^2 t`^2-g_11 r`^2-g_22 θ`^2=(1-a/r) c^2 t`^2-1/(1-a/r) r`^2- r^2θ`^2 =Fと略記)

(g_00=-(1-a/r);　g_11=1/(1-a/r);　g_22= r^2)

L=∫σｌ_σs　√(F) dσ　(4)　(∫σｌ_σsはσ=σsからσ=σｌ　までの定積分を表しています)

始点と終点における境界条件δt(σｓ)=0;δr(σｓ)=0;δθ(σｓ)=0;　δt(σｌ)=0;δr(σｌ)=0;δθ(σｌ)=0  (5)

をみたす任意微小関数をδt(σ) ,δr(σ) ,δθ(σ)とすると経路をt(σ), r(σ), θ(σ)から

t(σ)+δt(σ), r(σ)+δr(σ), θ(σ)+δθ(σ)に変更した事によるLの変化をδLと表すと(Lが最大値の時δL=0となる)

δL =∫σｌ_σs ((-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)δr/(2√(F) )

+(-g_00 c^2 t`δ(t`)-g_11 r`δ(r`)-g_22 θ`δ(θ`))/(√(F))  dσ  (6)

δ(dt)= d(δt)であるからδ(t`)= (δt)`とする事が出来る。

同じことがδ(r`)=(δr)`;　δ(θ`)=(δθ)`についても言える。従って

δL=∫σl_σs ((-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)δr/(2√(F) )

+(-g_00 c^2 t`(δt)`-g_11 r`(δr)`-g_22 θ`(δθ)`)/(√(F))  dσ  (7)

第二項を部分積分すると　(∫f g` dx=f g-∫f`g dx　)

∫σl_σs (-g_00 c^2 t`(δt)`-g_11 r`(δr)`-g_22 θ`(δθ)`)/(√(F)) dσ

=[(-g_00 c^2 t`δt-g_11 r`δr-g_22 θ`δθ)/(√(F)) ] σl_σs

  -∫σl_σs ((g_00 c^2 t`/(√(F))`δt+(g_11 r`/(√(F))`δr+(g_22 θ`/(√(F))`δθ)) dσ

右辺第一項は(5)から0になる。従って

δL=∫σl_σs ((g_00 c^2 t`/(√(F))`δt+((-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)/(2√(F) )

+(g_11 r`/(√(F))` )δr+(g_22 θ`/(√(F))`δθ)) dσ  (8)

任意微小関数δt　δr　δθに対してδL=0となるためには次の三式が成立しなければならない

(g_00 t`/(√(F))` =0　　(0d) ;　 (g_22 θ`/(√(F))` =0　　(2d)

(-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)/(2√(F) )+(g_11 r`/(√(F))` =0　　(1d)

任意である媒介変数をF =1となるように選べば

(g_00 t`)` =0　　(0e) ;   (g_22 θ`)` =0　 (2e)

(-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)/2+(g_11 r`)` =0  (1e)

(g_00 t`)` =∂r( g_00) r`t`+ g_00 t``=0　　(0f) ;   (g_22 θ`)` =∂r(g_22) r`θ`+ g_22 θ``=0  (2f)

(-∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)/2+∂r(g_11) r`^2+ g_11 r``

=(-∂r(g_00) c^2 t`^2+∂r(g_11) r`^2-∂r(g_22) θ`^2)/2+g_11 r`` =0  (1f)

(g_22 θ`)` =∂r(g_22) r`θ`+ g_22 θ``=0  (2f)

t``=(-∂r( g_00)/g_00) r`t`  (0g) ;  θ``=(-∂r(g_22)/g_22) r`θ`  (2g)

r``=(∂r(g_00) c^2 t`^2-∂r(g_11) r`^2+∂r(g_22) θ`^2)/(2g_11)  (1g)

g_00=-(1-a/r);　g_11=1/(1-a/r) ;　g_22= r^2　を代入すると

t``=- a/(r^2(1-a/r)) r`t`  (0b) ;  θ``=(-2/r) r`θ`  (2b)

r``= - a(1-a/r)/(2r^2) c^2 t`^2 + a/(2r^2(1-a/r)) r`^2 +r(1-a/r) θ`^2  (1b)

その1の(0b) (1b) (2b)式と比べると一致している

比較のための惑星運動のニュートン力学

半径方向加速度は引力引く遠心力でd^2r/dt^2=-GM/r^2+ r(dθ/dt)^2　　（1A）

角速度の変化率はd^2θ/dt^2+2/r (dr/dt)(dθ/dt) =0　　(2A)

(2A)よりd/dt (r^2 (dθ/dt))=0　 Kを積分定数(角運動量)として積分すると

r^2 (dθ/dt)=K;　dθ/dt=K/r^2  (2B)

（1A）のdθ/dtに (2B)を代入すると　d^2r/dt^2=-GM/r^2 +K^2/r^3

dr/dt=Pと略記　　P(dP/dr) =-GM/r^2+K^2/r^3

Tを積分定数(単位質量あたりの運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー)として両辺をrで積分すると

P^2/2= T+GM/r-K^2/(2r^2); P^2=2T+2GM/r-K^2/r^2　(6);　P=√(2T+2GM/r-K^2/r^2)

dt= r dr/√(2T r^2+2GM r-K^2) =r dr/√(A)　 (4)　　( 2T r^2+2GM r-K^2=A　と略記)  t0を積分定数として両辺を積分し　　　　

t=((GM/√(-2T)) arcsin((2T r+GM)/E)+√(A))/(2T)-t0　　( √((GM)^2+2TK^2)=Eと略記 )

これでrの半径を通過する時間を計算できる

(2B)から dθ= K/r^2 dt= (K/r^2) r dr/√(A)  (4)を代入すると

dθ=K dr/( r√(A))=K dr/( r√( 2T r^2+2GM r-K^2))

両辺を積分し積分定数をθ=0の時近地点を通過するという条件で決めると

θ= (K/K) arccos((-GM+K^2/r)/E;　(-GM+K^2/r)/ E= cosθ;　K^2/r= GM+E cosθ;

r= K^2/( GM +E cosθ)  (5)　　これは楕円である。

TとK^2の値を求めてみよう。

近地点距離=rn; 遠地点距離= rf とすると近地点と遠地点でP=0となるので次の２式が成立する

2T+2GM/rn-K^2/rn^2=0 ;  2T+2GM/rf-K^2/rf^2=0　これを解くと

T=-GM/( rn+ rf ) ; K^2=2GM rn rf/( rn+ rf )

これを代入するとE=GM( rf-rn) /( rn+ rf )  である

シュバルツシルトの解による惑星運動

その1の(1c) (2c)を再記

d^2r/dt^2=-a(1-a/r)c^2/(2r^2)+3a/(2r^2 (1-a/r)) (dr/dt)^2+(1-a/r)^3 Kh^2/r^3  (1c)

dθ/dt= Kh(1-a/r)/r^2  (2c)  (Khは角運動量)

(1c)から　　P(dP/dr)=-a c^2/(2r^2) +(Kh^2+ a^2 c^2/2)/r^3-3aKh^2/r^4+3a/(2r^2 (1-a/r)) P^2

a=2GM/c^2から   P(dP/dr) =- GM/r^2+(Kh^2+ a GM)/r^3-3aKh^2/r^4+3a/(2r^2 (1-a/r)) P^2

aは通常の天体に対しては小さいので最後の項のP^2にはニュートン力学の(6)を近似式として使用

また分母に1-a/rがあるが最後の項自体が小さいので1として良い

最後の項　3a/(2r^2 (1-a/r)) P^2=3a(2T+2GM/r-Kh^2/r^2)/(2r^2)

=3aT/r^2+3a GM/r^3-3a Kh^2/(2r^4)

P(dP/dr)=(-GM+3aT)/r^2+(Kh^2+a GM+3a GM)/r^3+(-3a Kh^2-3a Kh ^2/2)/r^4

=(- GM+3aT)/r^2+(Kh^2+4a GM)/r^3-9a Kh^2/(2r^4)

両辺をrで積分し

P^2= 2T+ (2GM-6aT)/r-(Kh^2+4a GM)/r^2+3a Kh^2/r^3

dt= r^2 dr/√(2T r^4+(2GM-6aT) r^3-(Kh^2+4a GM) r^2+3a Kh^2 r)　 (4a)

根号の中の最後の項は他の項に比べて小さいので変数変換で消す

r=u+3a/2と変換すると  (u= r-3a/2)

dt= (u+3a/2)^2 du/√(2T(u+3a/2)^4+(2GM-6aT)(u+3a/2)^3-(Kh^2+4a GM)(u+3a/2)^2+3a Kh^2 u)

=(u+3a) du/√(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)

t0を積分定数として両辺を積分し  t = -( GM+3a T) I/(2T)+√(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)/(2T)+3a I-t0

=(-GM/(2T)+3a/2) I +√(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)/(2T) -t0

(∫du/√( 2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)=(-1/√(-2T)) arcsin((2T u+GM+3a T)/Eh)= I と略記)

(√((GM+3a T)^2+2T(Kh^2-5a GM))=Ehと略記)

uを rに戻すと

t= (GM/2T-3a/2)/√(-2T) arcsin((2T r+ GM)/Eh)+√(2T r^2+2GM r-Kh^2+2a GM)/(2T)-t0　　

= (GM/2T-3a/2)/√(-2T) arcsin((2T r+ GM)/Eh)+√(A)/(2T)-t0   (6)

これでrの半径を通過する時間を計算出来る

(2c)式　dθ/dt= Kh(1-a/r)/r^2から dθ= Kh(1-a/r)/r^2 dt　　これに(4a)を代入すると

dθ=dr Kh (1-a/r)/√(2T r^4+(2GM-6a T) r^3-(Kh^2+4a GM) r^2+3a Kh^2 r)  r=u+3a/2と変換すると

dθ=du Kh (1/u-a/u^2)/√(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)

θ0を積分定数として両辺を積分し

θ= Kh(J-a((GM+3a T)J/( Kh^2-5a GM)+√(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)/((Kh^2-5a GM)u)))-θ0

=Kh((1-a GM/Kh^2)J-a √(2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM)/(Kh^2-5a GM)u)) -θ0

(∫du/( u√( 2T u^2+(2GM+6a T)u-Kh^2+5a GM))=(1/√(Kh^2-5a GM) arcsin(3a T+ GM+(-Kh^2+5a GM)/u)/Eh)=Jと略記)

uを rに戻すと

θ= Kh((1- a GM/Kh^2)(1/√(Kh^2-5a GM)) arcsin(GM+3a T+(-Kh^2+5a GM)/(r-3a/2))/Eh) -θ0

-a √(2T r^2+2GM r-Kh^2+2a GM)/(( Kh^2-5a GM)(r-3a/2)))  第2項は小さいので

θ= Kh((1- a GM/Kh^2)(1/√(Kh^2-5a GM)) arcsin(GM+3a T+(-Kh^2+5a GM)/(r-3a/2))/Eh) -θ0   (7)

TとKh^2の値を求めてみよう

近地点距離=rn; 遠地点距離= rf とすると近地点と遠地点でP=0となるので次の２式が成立する

2T+2GM/rn-Kh^2/rn^2=0 ;  2T+2GM/rf-Kh^2/rf^2=0　これを解くと

T=-GM/( rn+ rf ) ; Kh^2=2GM(( rn rf/( rn+ rf )+a) = K^2+2a GM

Eh=GM( rf-rn) /( rn+ rf ) =E

近地点（近日点）の移動

(7)から近地点から遠地点、遠地点から近地点へ移動する間に角度は

θt= 2πKh(1- a GM/Kh^2)/√(Kh^2-5a GM) =2π(1- a GM/Kh^2)/√(1-5a GM/Kh^2) = 2π(1-Δ)/√(1-5Δ)  だけ進む

(a GM/Kh^2=Δと略記)　 (1-Δ)/√(1-5Δ) = (1-Δ)/(1-5Δ/2) = (1-Δ)(1+5Δ/2) =1+3Δ/2と近似されるから

θt= 2π(1+3Δ/2)　　すなわち一周期の間に360度=2πラジアンよりも2π×3Δ/2=3πΔラジアンだけ余分に角度が進む

Δをrn, rfで表してみよう

Δ=a GM/Kh^2=a GM/(2GM( rn rf/( rn+ rf ) +a) =a(1/rn+1/rf)/2

具体的に数値を入れて計算してみよう

太陽の質量M=1.989×10^30 kg; G=6.67×10^-11 Nm^2/kg^2　なので

GM=1.327×10^20 Nm^2/kg;　太陽のシュバルツシルト半径はa=2GM/c^2=2×1.327×10^20/(3×10^8)^2=2948 m

水星の場合

rn=4.6×10^10 m;  rf=7×10^10 m

Δ=2948×(1/(4.6×10^10)+1/(7×10^10))/2=5.31×10^-8

3πΔ=3π×5.31×10^-8=5×10^-7ラジアン

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