高見沢彗星　その６

＜ ゼータの香りの漂う式　∫e^(ax)　[(π/4) ＆ (3π/4)＆(5π/4) ＆ (7π/4)代入] ＞


2010/12/4 　　＜ ゼータの香りの漂う式　∫e^(ax)　[(π/4) ＆ (3π/4)＆(5π/4) ＆ (7π/4)代入] ＞

　ここではπ/4と3π/4と5π/4と7π/4を代入した場合を調べる。フーリエ級数
 　(π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　( 0 < x < 2π)
 の両辺に∫(0～x) e^(ax) を作用させて得られる式のxにπ/4と3π/4と5π/4と7π/4を代入すると、次の４式が導出される。
ここでaは任意の実数である。

 ｛1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


｛1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　＝1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　L(χ,s)ゼータの香りがぷんぷんと漂っていることがわかるであろう。これらの導出過程を以下に示す。

 　［導出］
 　フーリエ級数
 　(π-x)/2＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・ 　　　 　 　 ----①
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　( 0 < x < 2π)
 を出発点とする。①の左右両辺に作用素∫(0～x) e^(ax) を作用させて(後ろにdxは付く)、求めていく。
まず①の左辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させる。
 ∫(0～x) e^(ax)・(π-x)/2 dx=((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2) 　 ―---②
次に①の右辺に着目する。まずsin(nx)/n　に作用素を適用すると（部分積分を２回行って）
 ∫(0～x) e^(ax)・(sin(nx)/n) dx= a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2)) - con(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2) + 1/(n^2+a^2)　 　 　 ----③
となる。①の右辺の各項に項別積分を適用して次を得る。
 ∫(0～x) e^(ax)・∑(n=1～∞) (sin(nx)/n) dx
　　　　　=∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2)　+ a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝ 　 ----④
①の両辺に∫(0～x) e^(ax)を作用させた結果が②と④であるから②=④となって、
 ((π-x)/(2a))・e^(ax) - π/(2a) + (e^(ax)-1)/(2a^2)
　　　　　　 =∑(n=1～∞)｛1/(n^2+a^2) - cos(nx)・e^(ax)/(n^2+a^2)　+ a・sin(nx)・e^(ax)/(n(n^2+a^2))｝　 ----⑤
　ここで⑤にxにπ/4を代入して整理すると次のようになる。
　(√2/2)・A1 + A2 + (√2/2)aB1 - aB2= π・e^(-aπ/4) - 1/(2a) + π・e^(-aπ/4)/(e^(2aπ)-1)　　----⑥
　ここで⑤にxに3π/4を代入して整理すると次のようになる。
　-(√2/2)・A1 + A2 + (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-3aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-3aπ/4)/(e^(2aπ)-1)　 ----⑦
　ここで⑤にxに5π/4を代入して整理すると次のようになる。
　(√2/2)・A1 - A2 + (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-5aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-5aπ/4)/(e^(2aπ)-1)　----⑧
　ここで⑤にxに7π/4を代入して整理すると次のようになる。
　(√2/2)・A1 + A2 - (√2/2)aB1 + aB2= -π・e^(-7aπ/4) + 1/(2a) - π・e^(-7aπ/4)/(e^(2aπ)-1)　---⑨
　ここで、A1, B1, A2, B2は以下の通り。

A1=｛1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)｝ + ・・・

B1=｛1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)｝ + ・・・

A2=2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・

 B2=1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・

⑥～⑨の連立方程式を解いて（A1,B2,A2,B2は上記より）、次を得る。

｛1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


｛1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)

　冒頭で示した式が導出できた。
［終わり］
　これまでの結果も合わせてまとめておこう。
　フーリエ級数
 　(π-x)/2 ＝sinx/1 + sin2x/2 + sin3x/3 + sin4x/4 + ・・　　　　（0 < x < 2π）
に∫(0～x) e^(ax)を作用させxにある数を代入すると、以下の式が得られる。（aは任意の実数）
[2π代入]
　1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+ a^2) + ・・＝- 1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)


［π代入］

　1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2) + ・・ ＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)
　1/(2^2+a^2) + 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) + 1/(8^2+ a^2) + ・・ ＝- 1/(2a^2) + (π/(4a))・(e^(aπ)+1)/( e^(aπ)-1)


［(π/2)＆(3π/2)代入］

　1/(2^2+a^2) - 1/(4^2+ a^2) + 1/(6^2+ a^2) - 1/(8^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/(2a^2) - (π/(2a))・(e^(3aπ/2)+e^(aπ/2))/( e^(2aπ)-1)


　1/(1^2+a^2) - 3/(3^2+ a^2) + 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2) + ・・・＝(π/2)・(e^(3aπ/2)-e^(aπ/2))/( e^(2aπ)-1)


［(π/3)代入＆(5π/3)代入］

　｛1/(1^2+a^2) + 2/(2^2+ a^2) - 4/(4^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　　　　　　＋｛7/(7^2+a^2) + 8/(8^2+ a^2) - 10/(10^2+ a^2) - 11/(11^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/√3)・(e^(5aπ/3)-e^(aπ/3))/(e^(2aπ)-1)


　1/(3^2+a^2) - 1/(6^2+ a^2) + 1/(9^2+ a^2) - 1/(12^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/(2a^2) - (π/(3a))・(e^(aπ/3)+e^(aπ)+e^(5aπ/3))/(e^(2aπ)-1)


［(π/4)代入＆(3π/4)＆(5π/4)代入＆(7π/4)代入］

 　｛1/(1^2+a^2) + 3/(3^2+ a^2) - 5/(5^2+ a^2) - 7/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛9/(9^2+a^2) + 11/(11^2+ a^2) - 13/(13^2+ a^2) - 15/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2√2))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　｛1/(1^2+a^2) - 1/(3^2+ a^2) - 1/(5^2+ a^2) + 1/(7^2+ a^2)｝
　　　　　　　　　＋｛1/(9^2+a^2) - 1/(11^2+ a^2) - 1/(13^2+ a^2) + 1/(15^2+ a^2)｝ + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/(2a√2))・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)-e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　1/(4^2+a^2) - 1/(8^2+ a^2) + 1/(12^2+ a^2) - 1/(16^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　＝1/(2a^2) - (π/(4a))・(e^(7aπ/4)+e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)+e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)


　2/(2^2+a^2) - 6/(6^2+ a^2) + 10/(10^2+ a^2) - 14/(14^2+ a^2) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(π/4)・(e^(7aπ/4)-e^(5aπ/4)+e^(3aπ/4)-e^(aπ/4))/(e^(2aπ)-1)





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