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ここでは、一転話題を変えて、中心母等式を再考します。
これまで、ゼータ関数（種々のディリクレのL関数）を考察してきましたが、特殊値が明示的に得られない場合の中心は
いつも次の二つの等式でした。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----①
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・) -----②
この①と②に、重回積分と重回微分を作用させることで、次々とゼータの特殊値が得られていったのでした。
現代数学でよくわからないとされる特殊値に関しては、①と②が中心的役割を演じていることがわかってきたという
ことです。
さて、①と②は、まったくシンプルな形をしており、これ以上変形しようなどとは普通は思いませんし、私もそう思って
いました。
ところが、偶然にさらに美しい形に変形できることに気付いたのです。
結論から書くと、次のように変形できます。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----③
（0 < x < 2π）
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----④
（-π < x < π）
どうですか。究極的に美しい形でしょう？
この美しさには驚いてしまいますが、①と②の背後にこんな式がひそんでいたのです。
③、④の左辺はそれぞれcot(x/2)、tan(x/2)ですが、上のままにします。
また、③の x/2 を x とおくと①になるので、①と③はそのまま同値であることも指摘しておきます。
「①、②」から「③、④」が得られ、逆に「③、④」から「①、②」が出ますので、「①、②」と「③、④」は同値となって
いる。よって、①と②を中心母等式に据える代わりに、③と④を中心に据えてもよいのです。
同値ですから、③と④を中心に据えたとしても、これまでのゼータ関数の考察は本質的なところでは同じになると
考えられます。ただゼータ関数は調和を好みます。これまで、私が感覚的に美しいと思う式に（個人差が大きい
とは思いますが）もっていけば、ゼータはそれに答えるがごとく「本質的に素晴らしいもの」をプレゼントしてくれました。
よって、これまでの考察を③、④の形で書き換えていけば見えていなかったなにかが見えてくる可能性があるのかも
しれません。ただし結果が膨大ですので、思い当たる点を③、④を機軸にしてぼちぼち再考できればと思います。
それにしても、③と④は眺めているだけでいいですね。
次に、③、④の導出方法を示します。
ここでは、③、④の導出過程を示します。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----①
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・) -----②
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----③
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----④
［導出方法］
①と②を辺々足して、
1/sinx + cosx/sinx＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) ----⑤
ここで、⑤の左辺は次のように変形できる。
1/sinx + cosx/sinx＝(1+ cosx)/sinx
＝｛1+ cos(2・x/2)｝/sin(2・x/2)
＝2｛cos(x/2)｝^2/｛2sin(x/2)cos(x/2)｝
＝cos(x/2)/sin(x/2)
よって、⑤は
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・)
となり、③がまず証明された。
次に、②から①を辺々引いて、
1/sinx - cosx/sinx＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) ----⑥
ここで、⑥の左辺は次のように変形できる。
1/sinx - cosx/sinx＝(1 - cosx)/sinx
＝｛1- cos(2・x/2)｝/sin(2・x/2)
＝2｛sin(x/2)｝^2/｛2sin(x/2)cos(x/2)｝
＝sin(x/2)/cos(x/2)
よって、⑥は
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・)
となり、④が証明された。
終わり。
このように、まったく簡単に導出されてしまいます。
上記方法の他に「ゼータ関数のいくつかの点について その１３」の＜高校生でもできる初等的証明＞で示した、
①と②を導いたのと同類の方法で③、④を導くこともできます。簡単ですので、念のため、その方法でも導いておき
ます。
［別の導出方法］
まず④から証明します。
三角関数の加法定理より、
sin(x+y)＝sinx・cosy + cosx・siny ------⑦
sin(x-y)＝sinx・cosy - cosx・siny ------⑧
⑦-⑧より、
cosx・siny ＝1/2・｛sin(x+y) - sin(x-y)｝ -----⑨
⑨を用いると、
cos(x/2)・sinx＝1/2・｛sin(3x/2) + sin(x/2)｝
-cos(x/2)・sin2x＝-1/2・｛sin(5x/2) + sin(3x/2)｝
cos(x/2)・sin3x＝1/2・｛sin(7x/2) + sin(5x/2)｝
-cos(x/2)・sin4x＝-1/2・｛sin(9x/2) + sin(7x/2)｝
・
・
上を全部辺々足していくと、
cos(x/2)・(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・）
＝1/2・［｛sin(3x/2) + sin(x/2)｝ - ｛sin(5x/2) + sin(3x/2)｝+｛sin(7x/2) + sin(5x/2)｝- ｛sin(9x/2) + sin(7x/2)｝+ ・・・］
＝1/2・sin(x/2)
よって、
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・)
となり、まず④が証明された。
次に、③を証明します。
三角関数の加法定理より、
cos(x+y)＝cosx・cosy - sinx・siny ------⑩
cos(x-y)＝cosx・cosy + sinx・siny ------⑪
⑪-⑩より、
sinx・siny ＝1/2・｛cos(x-y) - cos(x+y)｝ -----⑫
⑫を用いると、
sin(x/2)・sinx＝1/2・｛cos(x/2) - cos(3x/2)｝
sin(x/2)・sin2x＝1/2・｛cos(3x/2) - cos(5x/2)｝
sin(x/2)・sin3x＝1/2・｛cos(5x/2) - cos(7x/2)｝
sin(x/2)・sin4x＝1/2・｛cos(7x/2) - cos(9x/2)｝
・
・
上を全部辺々足していくと、
sin(x/2)・(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・）
＝1/2・［｛cos(x/2) - cos(3x/2)｝+｛cos(3x/2) - cos(5x/2)｝+｛cos(5x/2) - cos(7x/2)｝+｛cos(7x/2) - cos(9x/2)｝+・・・］
＝1/2・cos(x/2)
よって、
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・)
となり、③も証明された。
終わり。
新しく導いた③、④は、いろいろと面白い性質を備えているように思います。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----③
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----④
思いつくままに述べていきます。
まず、すぐ気付くのは、左辺の逆数をとっても右辺の形がほとんど変わらないという保型性です。
この”三角関数の逆数型関数”がもつ保型性は、「いくつかの点」シリーズで右辺がテイラー展開の形のときにもよく
感じてきたことで、これまでも指摘してきましたが、＜πx/tanπx とπx・tanπxの際立った対称性＞で考察したことは
まさにこの③や④の場合に対応しています。そこではテイラー展開の場合を見ましたが、今回のフーリエ展開のような
形になっているような場合でも保型性があることに驚きを覚えます。
さらに、左辺に注目して面白いことに気づきました。まず、従来より知られている次式を書きます。
sinx＝x｛1 - x^2/π^2｝｛1 - x^2/(4π^2)｝｛1 - x^2/(9π^2)｝・・・
cosx＝｛1 - 4x^2/π^2｝｛1 - 4x^2/(9π^2)｝｛1 - 4x^2/(25π^2)｝・・・
「マグロウヒル数学公式・数表ハンドブック」(Murray R. Spiegel著、氏家勝巳訳、オーム社)から引きましたが、
これらはたしか大数学者オイラー(1707-1783)が導いたもので、広く知られているものです。
さて⑤、⑥の x を x/2 に置き換えると容易に次式が出ます。
sin(x/2)＝(x/2)｛1 - (x/2)^2/π^2｝｛1 - (x/2)^2/(4π^2)｝｛1 - (x/2)^2/(9π^2)｝・・・ ----⑤
cos(x/2)＝｛1 - x^2/π^2｝｛1 - x^2/(9π^2)｝｛1 - x^2/(25π^2)｝・・・ -----⑥
⑤より、sin(x/2)が0となるx（零点）は、
x＝0、±2π、±4π、±6π、±8π、・・・・・ -----⑦
です。（左辺からもこうなりますが）
一方、⑥より、cos(x/2)が0となるxは、
x＝±π、±3π、±5π、±7π、・・・・・ -----⑧
となります。
③、④をもう一度ここに書きましょう。
cos(x/2)/sin(x/2)＝2(sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ・・・) -----③
sin(x/2)/cos(x/2)＝2(sinx - sin2x + sin3x - sin4x + ・・・) -----④
⑤、⑥と③、④左辺を比べてみてください。面白いことに気付きませんか。
左辺に注目すると、③の特異点（分母で0になる点）が④の零点になっており、逆に④の特異点が③の零点
になっているのです。
左辺では零点と特異点が逆の関係になっているのに、右辺に目を向ければほとんど形が違っていないのは
なんとも不思議です。
以上より、③、④は、sin(x/2)とcos(x/2)の零点によってすべて規定されていると言うこともできると思い
ます。
ここで、冒頭での議論を復習しますと、
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----①
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・) -----②
この「①、②」と「③、④」は同値でした。
①、②からリーマン・ゼータを含む種々のディリクレのL関数の特殊値（明示的に求まらない場合）が次々に出てきた
わけですから、結局、③、④においても、それらの特殊値が出てくるといえるでしょう。
ここで見た「③、④の性質は、sin(x/2)とcos(x/2)の零点によってすべて決められている」という事実は、なにかを
暗示しているのかもしれません。
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