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「地球 その１」では、ｆ′（ｘ） - f （x）＝・・の形の微分方程式を見ましたが、ここでは、ｆ′（ｘ） + f （x）＝・・の形を
考察します。
ここではｆ′（ｘ） + f （x）＝・・の微分方程式を考察しますが、議論は「地球 その１」と類似の流れとなっています。
１年ほど前に無限演算子（∫+∫^2+∫^3+・・・）と微分方程式との関連を調べ、一つの定理を得ていました。
「地球 その１」で見た定理２と少し違う（しかし類似の）次の定理をここでは使用します。
詳しくは＜e^xに関する公式の発見 その２＞の＜∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・の場合に拡張＞を見てください。
ここで（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・）Ｇ（x）とは、つまり∫Ｇ（x）dx-∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx-∫^4Ｇ（x）dxdxdxdx・・
のことです。例えば∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。
また、全ての∫は積分範囲を0～xとする定積分です。
この定理を用いれば（∫-∫^2+∫^3-∫^4+∫^5+・・・）ｅ＾ｘなどもたちまちに計算できて、
（∫-∫^2+∫^3-∫^4+∫^5-・・・）ｅ＾ｘ＝sinhx
などとなります。
さて、これまでゼータ関数の統一的法則性と上の定理を関係づけることができます。
なぜ関係するのかといいますと、上の定理は、重回積分が出てくる定理です。一方、統一的法則性の方も重回積分の
規則。よって、二つは必然的に相性がよくなるわけです。
さらに、もう一つの定理を組合せて考察しましょう。もう一つの定理とは、e^xに関する公式の発見 その３ で見つけて
いた次のものです。「地球 その１」で見た定理３とわずかに違う（しかし類似の）定理です。
定理２－２と定理４を見るとすぐ気づきますが、次の三つはすべて同じことを述べています。
①（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）Ｇ（x）を計算すること。
②e^(-x)∫e^xＧ(x)ｄxを計算すること。
③微分方程式 ｆ′（ｘ） + f(x)＝g(x) を解いてf（x）を求め（特解だけで十分）、f(x) - ｆ(0)・e^(-x) を求めること。
すなわち①、②、③は全て同値であるということです。
②と③が同値であることは割合簡単にわかるのですが（考えてみてください）、②や③が①と関わるということが
重要な点となります。重回積分が関係する①があるおかげで、ゼータ関数での統一的法則性（重回積分の規則）と
関係づけることができるのです。
作用素（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）が、「ゼータ関数の世界」と「微分方程式」という異質な世界の橋渡しをしてくれ
ます。
では、早速、具体的にみていきましょう。
目標は次の［１］、［２］、［３］が同値ということを利用して、面白い結果を導くことです。
*******************************************************************
［１］ 微分方程式 ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx を解いて、f(x)－ｆ(0)・e^(-x) を求めること。
［２］ （∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）(cosx/sinx) を求めること。
［３］ e^(-x)∫｛e^x・cosx/sinx｝ｄxを計算すること。
*******************************************************************
まず、［２］と［３］は同値ですから、
e^(-x)∫｛e^x・cosx/sinx｝ｄx＝（∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）cosx/sinx -----①
となりますが、e^(-x)∫｛e^x・cosx/sinx｝ｄxまたは（∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）cosx/sinx の計算はじつは
「水星 その６」の＜等式1B-2の導出（等式１Bの変形）＞で行っていました。そこでは、最も大切な等式の一つ
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----②
を用いたのでした。そこでの結果（等式１B-2）を示すと、次のようになります。
e^(-x)∫0～x e^x・cosx/sinx ｄx
＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 + ・・・｝］---③
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
左辺を計算すると、右辺にリーマン・ゼータ特殊値が現れるという不思議な形になっています。
「水星 その６」の＜等式1B-2の導出（等式１Bの変形）＞での導出過程をみるとわかりますが、右辺の
｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
の部分も、リーマン・ゼータ特殊値を生み出す母体であり、結局、③の右辺は、リーマン・ゼータ関数そのものといえる
と思います。
次に［１］と［３］の同値性から、ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の解 ｆ（ｘ）による f(x)－ｆ(0)・e^(-x) が③の右辺に等しいこと
より、
f(x)－ｆ(0)・e^(-x) ＝2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 + ・・・｝］
となる。すなわち、
f(x)＝ｆ(0)・e^(-x) + 2［｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3 + ζ(5)/2^5 - ζ(7)/2^7 + ζ(9)/2^9 + ・・・｝］---④
となります。
よって、 微分方程式 ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の特殊解 ｆ（ｘ）は④のようになるといえるのです。
あるいは、④の右辺のｆ(0)・e^(-x) と ｅ＾(-x)｛-(log2)/2 + ζ(1)/2 - ζ(3)/2^3+・・｝の部分は、ｆ′（ｘ） + f(x)で相殺
されるので ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の特殊解 ｆ（ｘ）は、
f(x)＝2｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝ ---⑤
であるともいえる。⑤に至って、裸のゼータは姿を消してしまいました。
念のため、 ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の一般解も求めておきましょう。
まずｆ′（ｘ） + f(x)＝0の場合の一般解は、容易に
ｆ（ｘ）＝C・e^(-x)
と出ます。Cは任意定数。
これに、ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の特殊解（特解）を一個加えれば、一般解が求まります。
④か⑤を加えればよいわけですが、④を加えます（⑤を加えても結局同じ）。
よって、微分方程式 ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx の一般解は、
f(x)＝C・e^(-x) + 2｛1/(2^2+1)・(-2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(-4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(-6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(-8cos8x + sin8x) +・・・｝ ----⑥
となります。Cは任意定数。
ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx という微分方程式の一般解が［１］、［２］、［３］の同値性を利用することで、ゼータ
世界を介するというやや遠回りの道筋を経由しつつ、割合簡単に（初等的に）求まってしまったことになります。
ただ最後には裸のゼータが忽然と姿を消してしまったのは、ゼータ関数の憎らしい性質の一面を暗示していると
いえるかもしれません。
検算の意味で、⑥を ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx に放り込んで成立を確認してみてください。
その際、cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・)を用いますが、きちんと成り立っています。
ここのでの議論では、無限演算子（∫+∫^2+∫^3+・・・）に類似の（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・・）という演算子が
重要な役割を演じているのがわかるでしょう。
今度は、ｆ′（ｘ） + f （x）＝1/sinx という微分方程式に注目して、これと一つ上で見た定理２－２とを絡めることで
上と類似の議論を行います。 もう一度、定理２－２を書いておきます。
ここで（∫-∫^2+∫^3-∫^4+・・）Ｇ（x）とは、つまり∫Ｇ（x）dx-∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx-∫^4Ｇ（x）dxdxdxdx・・
のことです。例えば∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。また、全ての∫は積分範囲を0～xとする定積分。
さて、ここでも一つ上とは別種の統一的法則性と、定理４を関係づけます。これも一つ上で見ましたが、再掲します。
定理２－２と定理４から、次の［１］、［２］、［３］は全て同値であることがわかります。
*******************************************************************
［１］ 微分方程式 ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx を解いて、f(x)－ｆ(0)・e^(-x) を求めること。
［２］ （∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）(1/sinx) を求めること。
［３］ e^(-x)∫｛e^x・1/sinx｝ｄxを計算すること。
*******************************************************************
早速、具体的にみていきましょう。
まず、［２］と［３］は同値ですから、
e^(-x)∫｛e^x・1/sinx｝ｄx＝（∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）(1/sinx) -----①
となります。 e^(-x)∫｛e^x・1/sinx｝ｄx または （∫-∫＾2＋∫＾3-∫＾4＋・・・）(1/sinx) の計算は、じつは「水星
その６」の＜等式2B-2の導出（等式2Bの変形）＞で行っていました。最も大切な等式の一つ
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・) -----②
を用いた結果でした。そこでの結果（等式2B-2）を示すと、次のようになります。
e^(-x)∫0～x e^x・(1/sinx)ｄx
＝2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］ ---③
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
左辺を計算すると、右辺にリーマン・ゼータ特殊値が現れるというきれいな形になっています。「水星 その６」の
＜等式2B-2の導出（等式2Bの変形）＞での導出過程をみるとわかりますが、③の右辺の
｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
の部分も、リーマン・ゼータ特殊値を生み出している母体であり、結局、③の右辺は、リーマン・ゼータ関数そのものを
表現しているといえるでしょう。
［１］と［３］の同値性から、ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx の解 ｆ（ｘ）による f(x)－ｆ(0)・e^(-x) が③の右辺に等しいことより、
f(x)－ｆ(0)・e^(-x)＝2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］
となる。すなわち、
f(x)＝ｆ(0)・e^(-x) + 2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］---④
となります。
よって、 ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx の特殊解 ｆ（ｘ）は④のようになるといえるのです。
あるいは、④の右辺のｆ(0)・e^(-x) と ｅ＾(-x)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) -・・｝の部分は、ｆ′（ｘ） + f(x)で相殺され
るので ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx の特殊解 ｆ（ｘ）は、
f(x)＝2［｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝］ ---⑤
となります。やはり、ここでも裸のゼータは姿を消しました。
ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx の一般解も求めましょう。
一つ上とほぼ同じ内容ですので、詳細は略しますが、微分方程式 ｆ′（ｘ）+ f(x)＝1/sinx の一般解は、
f(x)＝C・e^(-x) + 2｛1/2・(-cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(-3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(-5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(-7cos7x+sin7x) + ・・・｝ ---⑥
となります。
［１］、［２］、［３］の同値性を利用することにより、ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx という微分方程式の一般解が、ここでも
自然に求まったことになります。
検算の意味で、⑥を ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx に放り込んで成立を確めてみてください。
その際、1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + ・・・)を使いますが、きちんと成り立っています。
一つ上と完全に類似の議論をして、ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx の一般解を求めることができました。
一つ上の結果と合わせて、まとめておきましょう。
重回積分の規則（統一的法則性）と関連づけることで、次の二つの微分方程式の一般解を初等的に求めました。
2004/5/5 ＜別の解法＞
「その１」、「その２」では、次の四つの微分方程式を、ゼータ関数の世界と関連づける形で解きました。
ｆ′（ｘ） - f(x)＝cosx/sinx ------①
ｆ′（ｘ） - f(x)＝1/sinx ------②
ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx ------③
ｆ′（ｘ） + f(x)＝1/sinx ------④
その解法は、初等的ではありますが、やや複雑との印象をもたれたかもしれません。
しかし、微分方程式を「ただ解く」ということだけを目的とするならば、もっと簡単に解けることに気付きました。
その手法の概略を念のため、述べておきます。
［その解法］
③を例にとって説明します。
ｆ′（ｘ） + f(x)＝cosx/sinx ------③
まず、
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----⑤
という式をあらかじめ知っているものとします。（この式を知らなければ解法の端緒すら浮かばない）
⑤を③に代入します。
ｆ′（ｘ） + f(x)＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・) -----⑥
⑥の右辺の形を見ることで、解 f(x) は、次のような形になるのではないか？と予想したとしましょう。
f(x)＝2｛(a1・sin2x +a2・cos2x) + (b1・sin4x + b2・cos4x) + (c1・sin6x + c2・sin6x) + ・・・｝ -----⑦
これを⑥に放り込み、左右の係数を比較することで、a1、a2、b1、b2、c1、c2、・・・の係数を簡単に決定していくこと
ができます。
すると、 f(x) の正体は、
f(x)＝C1・e^(-x) + 2｛(-2cos2x+sin2x)/(2^2+1) + (-4cos4x+sin4x)/(4^2+1)
+ (-6cos6x+sin6x)/(6^2+1) + (-8cos8x+sin8x)/(8^2+1) +・・・｝
と求まります。（本ページ冒頭の結果と一致しました）
終わり。
このように簡単に求まるのです。
ただ、本ページ冒頭の解を先に知っているからこんなにもすんなり求められたともいえ、やや虫のよい解法といえなく
もないですが、とにもかくにも冒頭の方法よりよほど簡単であるのは事実です。
ただ、この解法では、この裏にゼータ関数の壮大な構造が隠れているなどということは夢にも思いません。ただ解いた
というだけで終わっている。
しかし、これまで様々な場面で見てきたように、
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + ・・・)
という式は、裏側にゼータ関数（種々のディリクレのＬ関数）の命を宿している全く本質的な式であり、統一的法則性や
e^x∫e^(-x) や （∫+∫^2+∫^3+・・・）などの作用素と関連づけることで、ゼータの多様で美しい世界を現出してくれます。
その意味で「その１」、「その２」でやった解法は、ゼータ関数の構造をさぐる上で面白いものになっていると感じるのですが、
読者はどう思われるでしょうか？
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