|
ここでは、対称性の考察を広げ、さらに深めました。
具体的には、奇数L関数の対称性成立、奇数ゼータでの対称性成立？の調査、「逆問題」の拡張、そして、
”ζ(2ｎ) and Ｌ(2ｎ+1)”交代列における超対称性の成立を示します。
佐藤郁郎氏は、氏のサイトでディリクレのＬ関数に関する面白い事実を示されました。それは私のπ/2代入の
方法に代えて、π/4を代入するという方法によって出されたものです。
それに触発されて、ここではＬ関数に関して「その８」で行った類似を示して見たいのです。
私は、「その３」でゼータやＬ関数に関して面白い等式をたくさん見出していました。
そのときは、じつはＬ関数というものを知らず、”奇数ゼータ類似物”という呼び名で呼んでいたのですが（いま考えると
なんと間抜けな名前だったことか！）、後からＹさんにＬ関数と同じものとの指摘をうけＬ関数を考察していたのだとわ
かった次第です。ただひたすらに、”美”と”調和”と”不思議”を追求していたら重要なディリクレのL関数に到達してい
たのですから驚きましたが（詳しくは「その３」を見てください）。
「その３」で見つけていたＬ関数に関する等式だけをここに並べましょう。
そこではζ(3-)などと書いていましたが、ここでは正式にＬ(3)などと直して書きます。
πx/cosπx＝ 2｛2^1・Ｌ(1) x^1+ 2^3・L(3)x^3 + 2^5・L(5)x^5 + 2^7・L(7)x^7 +・・・｝ ---①
(πx/2)/cos(πx/2)＝ 2｛Ｌ(1) x^1+ L(3)x^3 + L(5)x^5 + L(7)x^7 ・・・｝ --------------②
これらは、きれいな形をしていますね。まさに「その３」で示した様々なゼータの等式に対応する式といえるでしょう。
①と②は本質的に全く同じですので、どちらを考察してもいいのですが、美しい②を考えてみることにしましょう。
ちなみに、Ｌ関数は
Ｌ（s）＝1/1^s - 1/3^s + 1/5^s - 1/7^s + ・・・ で定義される関数です。
L関数については上記佐藤氏のサイトにくわしく解説されています。
「その８」で行ったのと、全く同様にして演算とＬ(s)特殊値との関係を見てみましょう。
偶数ゼータでの＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞と全く類似の考察を行います（細かな点は
そちらを参照してください）。
②より次のことが示せます。
（Ｄは一回微分、∫は積分範囲0～xまでの定積分です。もちろんDDは２回微分、∫∫は２回定積分を意味します。）
・ ・
定数×DDDDD(πx/2)/cos(πx/2) でｘ=0とした値 ＝L（5)
定数×DDD(πx/2)/cos(πx/2) でｘ=0とした値 ＝L（3)
定数×D(πx/2)/cos(πx/2) でｘ=0とした値 ＝L（1)
「ある定数」×∫(πx/2)/cos(πx/2) でｘ=0とした値 ＝0＝L（-1) ？ -------A
「ある定数」×∫∫∫(πx/2)/cos(πx/2) でｘ=0とした値 ＝0＝L（-3) ？
「ある定数」×∫∫∫∫∫(πx/2)/cos(πx/2)でｘ=0とした値 ＝0＝L（-5) ？
・
・
と、このようになっています。
なお、奇数のＬ関数は佐藤氏のサイトで記されていますが、その特殊値はよくわかっていて、
・・・・L(-5)=0，L(-3)=0，L(-1)=0，L(1)=π/4，L(3)=π^3/32，L(5)=5π^5/1536，L(7)=61π^7/184320，・・・
です。面白いことに、偶数のＬ関数の値は、奇数ゼータと同様よくわかっていないのだそうです。
Ｌ(s)とζ(s) では、事情が完全に逆になっている。面白いですね。
なお「ある定数」というのは不明ですが、∫・・∫(πx/2)/cos(πx/2) でのｘ=0値が0ですからわからなくても
それほど支障ありません。
上では一応？としましたが、「その８」冒頭の奇数ゼータの統一的法則性成立との連関、そして、ここでの上の
微分側の統一的法則性半分の成立、そして、積分側の”0”の並びを見ると、上はもうほとんど次のようになって
いると予想されます。
・
・
７回微分でx->0 -------------->L(7)が出る。
５回微分でx->0 -------------->L(5)が出る。 ３回微分でx->0 -------------->L(3)が出る。 １回微分でx->0 -------------->L(1)が出る。
－１回微分（１回積分）でx->0 ----> L(-1)が出る。
－３回微分（３回積分）でx->0 ----> L(-3)が出る。
－５回微分（６回積分）でx->0 ----> L(-5)が出る。
・
・
奇数ゼータや偶数ゼータの場合と全く同じ統一的法則性が奇数L関数でも成り立っているようです。
注意： ＜統一的法則性とフーリエ展開との連関＞で述べたのと同じ注意ですが、Ａのような統一的法則性が
成り立つのは①や②のような非常にうまい形（きわめて特殊と言ってもいい）のテイラー展開となっている
場合だけであるということを強調しておきます。
逆に言えば、Ｌ関数に利用できるテイラー展開式は、どのようなものに限られるか？
という問いは、きわめて興味ある問いといえるでしょう。
（あるいは、どのような関数をテイラー展開すれば有用なものとなるのか？と問うても同じことですが）
私は「その３」でゼータの有用な式は色々見出しましたが、Ｌ関数においては①と②を見つけたのみでした。
統一的法則性の成立とともに、さらに重要なことがあるのです。
佐藤氏が氏のサイト（http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sugioka3.htm）で示された
結果と合わせれば、次の見事な対称性が成り立っているのです！
私の場合は重回微分 <----｛L（1）、L（3）、L（5）・・｝------>佐藤氏の場合は重回積分
私の場合は重回積分 <----｛・・L（-5）、L（-3）、L（-1）｝--->佐藤氏の場合は重回微分
この対称性は、「その８」での＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞で示した偶数ゼータ
の場合の対称性と完全に呼応するものとなっています。
①や②は、ベキ級数展開（テイラー展開）式です。佐藤氏の考察された式は、次のフーリエ展開式。
（佐藤氏はπ/4をｘに代入するという方法で、上の統一的法則性の成立を確められました。）
(π/2-x)^2-π^2/12＝Σcos(2nx)/n^2 ------③
（n＝1～∞）
”展開”の違いで全く逆になるのですから、面白いものです。
なお、「その８」の”考察の続き”と同様に考えると、奇数L関数L(2n+1)の母関数は(πx/2)/cos(πx/2)、また
母等式は③式となっていることがわかります。
さらに、類似の考察を進めます。
偶数ゼータで対称性が成り立つことは、＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞で示した通りで
すが、偶数ゼータで成り立つならば、対称性は奇数ゼータでも成り立つはずという予想がたちますが、ほんとうに
成り立つでしょうか？
奇数ゼータでは＜重回積分の拡張で任意の奇数ゼータを統一的に得る＞で示した通り、次のフーリエ展開式で
統一的法則性が成立します。
log(sinx)＝-Σ1/n・cos(2nx) - log2 ------①
（n＝1～∞の和）
そこでは次の美しい統一的法則の成立を見たのでした。
・
・
①を６回積分 ------------> ζ（7）
①を４回積分 ------------> ζ（5）
①を２回積分 ------------> ζ（3）
①を０回積分 ------------> ζ（1） ----------Ａ
①を-２回積分(２回微分) ---> ζ（-1）
①を-４回積分（４回微分） ---> ζ（-3）
①を-６回積分（６回微分） ---> ζ（-5）
・
・
さて、対称性を出すためにはどうすればよいのでしょう？
対称性を示すには上と対峙する、もう片方の”統一的法則性の成立”（相棒の方）を探し出さねばなりません。
相棒はどこかにいるはずです。
相棒をさがすために、＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞での偶数ゼータでの考察を参考に
したいのですが、そこにおいて”フーリエ級数”と”ベキ級数”というペアを考え対称性を見出したことがヒントになり
ます。
それをヒントにすると、私が「その２」の＜偶数ゼータを係数にもつ級数と、奇数ゼータを係数にもつ級数＞で
見出していた次の式
1/(1^2-x^2) + 2/(2^2-x^2) + 3/(3^2 - x^2) +・・・
＝ζ(1) + ζ(3)x^2 + ζ(5)x^4 + ζ(7)x^6 +・・・ ----②
（-1<x<1で成立）
に自然にたどり着きます。
この式は、左辺のベキ級数展開（テイラー展開）の形になっていますから「利用できる」とすぐに気付きます。
奇数ゼータや偶数L関数の場合は、右辺がζ（n）・x^nやＬ(n)・x^nのようなきれいな形になっていましたから、
②の両辺にｘを掛けて、②もそのように書き換えておきましょう。
x/(1^2-x^2) + 2x/(2^2-x^2) + 3x/(3^2 - x^2) +・・・
＝ζ(1)x + ζ(3)x^3 + ζ(5)x^5 + ζ(7)x^7 +・・・ ----③
（-1<x<1で成立）
これで相棒が見つかりました。
あとは、＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞と全く同じように進めればよいだけです。
さて、ｆ（ｘ）＝x/(1^2-x^2) + 2x/(2^2-x^2) + 3x/(3^2 - x^2) +・・・とおき、これまでと同様に進めれば、
・
・
定数×DDDDDｆ(ｘ)でｘ->0とした値＝ζ（5)
定数×DDDｆ(ｘ)でｘ->0とした値＝ζ（3)
定数×Dｆ(ｘ)でｘ->0とした値＝ζ（1) -------Ｂ
「ある定数」×∫ｆ(ｘ)でx->0とした値＝ζ（-1) ？
「ある定数」×∫∫∫ｆ(ｘ)でｘ->0とした値＝ζ（-3) ？
「ある定数」×∫∫∫∫∫ｆ(ｘ)でｘ->0とした値＝ζ（-5) ？
・
・
と、このようになります。なお重回積分の全ての∫は積分範囲0～xの定積分です。
上半分の重回微分の方は正しいことは計算ですぐに確認できます。
問題は？をつけた下半分の重回積分の方です。
これらの計算は、結局③の右辺に重回積分を適用するということですから、少し考えると、結局次と同じことである
ことはすぐにわかるでしょう。
「ある定数」×∫ζ(1)でｘ->0とした値 ＝ζ（-1) ？
「ある定数」×∫∫∫ζ(1)でｘ->0とした値 ＝ζ（-3) ？
「ある定数」×∫∫∫∫∫ζ(1)でｘ->0とした値 ＝ζ（-5) ？
・
・
注：「ある定数」というのは現時点では全く不明です。
さらにいうと、ζ（-1）=-1/12，ζ（-3)=1/120，ζ(-5)=-1/252，・・・・ですから、結局、Bの下半分は、次を主張して
いるのと同じなのです。
「ある定数」×∫ζ(1)でｘ->0とした値＝-1/12 ？
「ある定数」×∫∫∫ζ(1)でｘ->0とした値 ＝1/120 ？
「ある定数」×∫∫∫∫∫ζ(1)でｘ->0とした値 ＝-1/252 ？
・
・
ζ(1)＝1+1/2+1/3+・・＝∞ですから、これはまさに驚くべきことを主張しているとしか考えられせん。
しかし、ほんとうに、この積分は成立しているのでしょうか？
もし、成立しているならば、全く不思議な積分というほかありません。美と調和と不思議に満ちているゼータの
世界のことですから、成立している可能性もありますが、なんともいえません。
「こんな積分は全く成立してない」という状況も、当然考えられます。
どちらに転ぶのか現時点では不明ですが、研究を深めるうちにわかってくるのかもしれません。
以上の考察から、奇数ゼータにおいては、一応次のようにまとめておきます。
Aの場合は重回積分 <--｛ζ（1）、ζ（3）、ζ(5）・・｝-----> Bの場合は重回微分
Aの場合は重回微分 <--｛・・ζ（-5）、ζ（-3）、ζ（-1）｝--> Bの場合は重回積分？？
？？がもしとれれば対称性は成立している、ということになるのですが・・・・
これまでの対称性に関する結果（予想）をまとめますと、
偶数ゼータ---------> 対称性成立 <-------奇数Ｌ関数
奇数ゼータ---------> 対称性成立？<------(偶数Ｌ関数？)
となります。
偶数Ｌ関数はまだ調べていないのでわかりませんが、奇数ゼータとは兄弟のような関係にあるので、上のように
記しました。
「その８」の＜私の逆問題＞で私は、「逆問題」を提示しました。「その１」として再度示します。
昨日、これについて考えていたら、この問題はL関数にもそっくり適用できることに気付きました。
佐藤郁郎氏のサイト（http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sugioka3.htm）で、リーマン・ゼータ関数と
L関数は全く対称的な性質をもったものであることを知ったからです。
私のこれまでの結果や紹介した論文の結果から、「奇数ゼータは偶数ゼータの無限和で表現できる」ことが示され
ました。また任意の偶数ゼータの方は昔からすべての値がわかっていました。
一方、佐藤氏は、上記サイトで次のような面白い結果を出されました（x＝π/4代入による）。
これは結局のところ、偶数L関数は奇数ゼータの無限和で表現されるという驚くべきことを示しているのですが、
詳しくは佐藤氏の上記サイトを見てください。
------------------------------------------------------
x=π/4
（０回積分） ζ(2n) （１回積分） ζ(2n),L(2) （２回積分） ζ(3),ζ(2n) （３回積分） ζ(3),ζ(2n),L(4) （４回積分） ζ(5),ζ(3),ζ(2n) （５回積分） ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(6) （６回積分） ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n) ------------------------------------------------------
ここで、L関数とゼータの対称的な関係をまとめてみましょう。
偶数Ｌ関数は、奇数ゼータに対応します。対応関係を示しますと、次のようになります。
・・・ζ(-5)=-1/252，ζ（-3)=1/120，ζ（-1）=-1/12，ζ（1）＝∞，ζ（3）=Σζ(2n)，ζ（5）=Σζ(2n)，・・・・
・・・L(-6)=-61/2，L（-4)=5/2，L（-2）=-1/2，L（0）＝1/2，L（2）=Σζ(2n)，L（4）=Σζ(2n)，L（6）=Σζ(2n)，・・・・
一方、奇数Ｌ関数は、偶数ゼータに対応しています。対応関係は次の通り。
・・・ζ(-6)=0，ζ（-4)=0，ζ（-2）=0，ζ（0）＝-1/2，ζ（2）=π^2/6，ζ（4）=π^4/90，ζ（6）=π^6/945，・・・・
・・・・L(-5)=0，L(-3)=0，L(-1)=0，L(1)=π/4，L(3)=π^3/32，L(5)=5π^5/1536，L(7)=61π^7/184320，・・・
偶数と奇数で見事に正反対になっています。全く対称的な関係にあるといえるでしょう。
この関係を眺めていると、色々と疑問がわき起こってきました。そこで「逆問題Ⅰ」の「その２」を提示しました。
さらに、上の対称的な関係性から（L関数だけに絞って考えて）、自然に次の問題が出てきました。
その逆を考え、次を出しました。
これらは、一体どうなのでしょうか？
私はきわめて興味があります。L関数がゼータ関数ともし本質的に対称的な関係にあるならば、問題Ⅱは成立する
のではないでしょうか？
もし、問題Ⅱが否定的な結果となればL関数とゼータ関数はどこかで非対称なことになっていると考え
られます。
どっちに転んでも面白いことになりそうです。読者の果敢な挑戦を待っています。
佐藤郁郎氏の出された結果（http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sugioka3.htm）と組合せる
ことにより、これまでの結果をさらに普遍的な形にまとめることができました。
まず、佐藤氏の結果から示します。
佐藤氏は、次の式を重回積分、重回微分した式のxにπ/4を代入するという方法を用いて、
Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12 --------①
次の列を見出されました。
［佐藤の系列］
・
・
（６回積分） ζ(6)=π^6/945
（５回積分） L(5)=5π^5/1536
（４回積分） ζ(6)=π^6/945
（３回積分） L(5)=5π^5/1536
（２回積分） ζ(4)=π^4/90
（１回積分） L(3)=π^3/32
（０回積分） ζ(2)=π^2/6
（１回微分） L(1)=π/4
（２回微分） L(0)=1/2
（３回微分） L(-1)=0
（４回微分） ζ(-2)=0
（５回微分） L(-3)=0
（６回微分） ζ(-4)=0 ・
・
まさに、驚くべき並びです。 交互に偶数ゼータと奇数Ｌの系列が自動的に得られている・・・これにびっくりしない人はいないでしょう。
Ｌ関数とゼータ間の本質的重要性を示している式と考えられます。
（①式は、この統一的法則性における母等式となっている）
さて、この「佐藤の系列」にもペア（相棒の統一的法則性）が存在するに違いありません。
すなわち、上のような”ζ(2ｎ) and Ｌ(2ｎ+1)交代列”における対称性の成立を見たいのです。
見ることにより、割合容易にもう片方の統一的法則を成立せしめる等式に行きあたります。
それは、
πx/tanπx＝- 2｛ζ(0)x^0 + ζ(2) x^2+ ζ(4)x^4 + ζ(6)x^6 + ζ(8)x^8 +・・・ ｝ -----②
(πx/2)/cos(πx/2)＝ 2｛Ｌ(1) x^1+ L(3)x^3 + L(5)x^5 + L(7)x^7 ・・・｝ ---------③
という、上記二式を足し合わせた式であるに違いない。③-②より、
(πx/2)/cos(πx/2) - πx/tanπx
＝ 2｛ζ(0)x^0 + Ｌ(1) x^1 + ζ(2) x^2 + L(3)x^3 + ζ(4)x^4 + L(5)x^5 +ζ(6)x^6 + ・・｝---④
という式が得られます。この等式が求める関数等式（母等式）となっているのですが、それは次の系列が得られる
ことからわかります。
・
・
（６回微分） ζ(6)=1/(2･6！)×DDDDDD（左辺）でx->0 ＝π^6/945
（５回微分） L(5)=1/(2･5！)×DDDDD（左辺）でx->0 ＝5π^5/1536
（４回微分） ζ(4)=1/(2･4！)×DDDD（左辺）でx->0 ＝π^4/90
（３回微分） L(3)=1/(2･3！)×DDD（左辺）でx->0 =π^3/32
（２回微分） ζ(2)=1/(2･2！)×DD（左辺）でx->0 =π^2/6
（１回微分） L(1)=1/(2･1！)×D（左辺）でx->0 =π/4
（０回微分） ζ(0)= 何もせずにx->0 ＝-1/2
（１回積分） 「ある定数」×∫（左辺）でx->0 ＝0
（２回積分） 「ある定数」×∫∫（左辺）でx->0 =0
（３回積分） 「ある定数」×∫∫∫（左辺）でx->0 =0
（４回積分） 「ある定数」×∫∫∫∫（左辺）でx->0 =0
（５回積分） 「ある定数」×∫∫∫∫∫（左辺）でx->0 ＝0
（６回積分） 「ある定数」×∫∫∫∫∫∫（左辺）でx->0 ＝0 ・
・
注記：ここの考察は、「その８」の＜”演算”という立場から、さらに偶数ゼータも見直す＞での考察の完全な類似です。
「ある定数」は不明ですが、∫・・∫（左辺）でのx->0値が0ですから、不明でも計算に支障はありません。
”x->0”は、「ｘを限りなく０に近づける」という意味です。
いることが予想されます。
［杉岡の系列］
・
・
（６回微分） ζ(6)=π^6/945
（５回微分） L(5)=5π^5/1536
（４回微分） ζ(4)=π^4/90
（３回微分） L(3)=π^3/32
（２回微分） ζ(2)=π^2/6
（１回微分） L(1)=π/4
（０回微分） ζ(0)=-1/2 --------Ａ
（１回積分） L(-1)=0
（２回積分） ζ(-2)=0
（３回積分） L(-3)=0
（４回積分） ζ(-4)=0
（５回積分） L(-5)=0
（６回積分） ζ(-6)=0 ・
・
これは「佐藤の系列」とほとんど全く同じ系列となっています。
この「杉岡の系列」と「佐藤の系列」を見比べてみてください。
重回微分と重回積分の関係が上下逆転していますね。またこの二つの系列は、赤字の中心点（ζ（0）とＬ（0）の所）
のところ以外は完全に一致しています。ここまでくると”同じ”といってよいくらいです。
”同じ”と見ることで、ここにきてはじめて、”ζ(2ｎ) and Ｌ(2ｎ+1)”の対称性が示せた、といえます。
上のそれぞれの列を横に並べれば、次のようになります。
[佐藤の系列]
・・・ζ（-4），Ｌ(-3)，ζ（-2)，Ｌ(-1)，Ｌ(0)，Ｌ(1)，ζ（2），Ｌ(3)，ζ（4)，Ｌ(5)，ζ(6)，Ｌ(7),・・・
［杉岡の系列］
・・・ζ（-4），Ｌ(-3)，ζ（-2)，Ｌ(-1)，ζ(0)，Ｌ(1)，ζ（2），Ｌ(3)，ζ（4)，Ｌ(5)，ζ(6)，Ｌ(7)，・・・
なんとも美しい関係性です。
佐藤系列の中央部分がζ（0）ではなく、Ｌ（0）になっているのは、ものすごく本質的な意味があることを予感さ
せます。おそらく、神の目でみれば、二系列で完璧な調和が成り立っている（完全に一致している）のではない
でしょうか。
二系列が一致せずにわずかに違ったことから、表題では、”対称性”とせずに、一段深い意味をこめて、
超対称性と呼んだのです。
なお佐藤系列では、n回積分or微分のｎと、Ｌ(n)やζ(n)のｎが一致していませんが、これは、元の母等式が
はじめに何回微分されたものから出発したかによっていくらでも変ってきますので本質的なところはなにも問題は
ないと考えられます（杉岡系列のように、ｎを一致せしめる母等式はあるはずです）。
ここでもこれまでと同様の問いを発しておきましょう。
＜統一的法則性とフーリエ展開との連関＞で述べたのと同じ注意ですが、Ａのような統一的法則性が成り立つ
のは④のような非常にうまい形（きわめて特殊と言ってもいい）のテイラー展開に限られるということを強調
しておきます。
逆に言えば、このような系列導出に利用できるテイラー展開式は、どのようなものに限られるか？
という問いは、きわめて興味ある問いといえるでしょう。
（あるいは、どのような関数をテイラー展開すれば有用なものとなるのか？と問うても同じことですが）
また最後に、「佐藤の系列」はフーリエ展開式（フーリエ級数）が基調になっており、「杉岡の系列」はテイラー展開式
（ベキ級数）が基調になっていることを指摘しておきます。
解析学における二つの重要な”展開”が、こんなところにまで関係しているのです。
これまで、偶数ゼータ、奇数Ｌ関数、奇数ゼータと順にその対称性を見てきました。
そして、偶数ゼータと奇数L関数では対称性が成り立っているようだが、奇数ゼータはその成立は怪しい・・という
ことになったのでした。
次に「では偶数Ｌ関数ではどうか？」という疑問が当然浮かんできます。
「その３」でさまざまな美しい等式を見出したのと類似の手法を用いることで、偶数Ｌ関数を係数にもつ
展開式を見出すことができました。次のものです。
1/(1^2-x^2) - 1/(3^2-x^2) + 1/(5^2 - x^2) - 1/(7^2-x^2) +・・・
＝L(2) + L(4)x^2 + L(6)x^4 + L(8)x^6 +・・・ ----①
（-1<x<1で成立）
これまでの考察から、右辺がζ（n）・x^nやＬ(n)・x^nのようなきれいな形になっていることが本質的に重要である
ことが徐々にわかってきましたから、①も両辺にx^2をかけてそのように書き換えます。
x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・ ----②
（-1<x<1で成立）
また、これまでの偶数ゼータ、奇数Ｌ関数、奇数ゼータの同類の式からの類推から、初項はL(0)x^0となって
いるべきであると考えられます。そこで、少し人工的ですが、両辺に1/2を加えて、②を次のように変形しておきます。
1/2 + x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝L(0)x^0 + L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・ ----③
（-1<x<1で成立）
ここで、L(0)=1/2です。
さて、偶数Ｌ関数は対称性が成り立っているでしょうか？
ｆ（ｘ）=1/2 + x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
と置きます。
すると、眺めるだけでもわかりますが、統一的法則性は成り立っていませんね！
・
・
定数×DDDDDDｆ(ｘ)でｘ->0とした値 ＝L（6)
定数×DDDDｆ(ｘ)でｘ->0とした値 ＝L（4)
定数×DDｆ(ｘ)でｘ->0とした値 ＝L（2)
ｆ(ｘ)でｘ->0とした値 ＝L（0) -------Ｂ
「ある定数」×∫∫ｆ(ｘ)でx->0とした値 not＝L（-2)
「ある定数」×∫∫∫∫ｆ(ｘ)でｘ->0とした値 not＝L（-4)
「ある定数」×∫∫∫∫∫∫ｆ(ｘ)でｘ->0とした値 not＝L（-6)
・
・
と、こうなっています。∫はすべて0～xの定積分です。
すなわち、積分の方が、全く不成立なのです。
（左辺のｆ（ｘ）の微分や積分ですが、結局は右辺を微分や積分しているのと同じですので、そのように考えると
わかりやすいでしょう）
L(-2)=-1/2、 L(-4)=5/2、 L(-6)=-61/2、L(-8)＝1385/2、・・です。一方、∫・・∫ｆ(ｘ)でx->0はどんなものでも
すべて0ですから、積分の方ではイコールとならない、ということになります。
今回の③のテイラー展開式の場合は、統一的法則性は不成立なのです。
ところが一方、佐藤郁郎氏は氏のサイト（http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/sugioka3.htm）で、
log(sinx)＝-Σ1/n・cos(2nx) - log2 -----④
（n＝1～∞）
というフーリエ展開式を用い、重回積分-重回微分の手法で、統一的法則性を示されました。
すなわち、④のようなフーリエ展開式では偶数Ｌ関数においても統一的法則性が成立しているのです。
フーリエは成り立っているのに、テイラーでは成り立っていない。
結局、偶数Ｌ関数では、対称性が破れている・・、これぞ「自発的対称性の破れ」というところでしょうか。
注意：いま、「・・ようです」と言葉を濁したのは、”∫・・∫ｆ(ｘ)”は、結局”∫・・∫L(0)”となりますが、まさかこの積分
が0とならずに、解析接続のような奇妙な機構が働いて、 L(-2)=-1/2、 L(-4)=5/2、・・などの値に一致するなどと
いうことが起こらないとも限らない・・などとチラと思ってしまうからです。
ただ、私は、やはり、成り立っていないと思いますので、ここでは、
偶数Ｌ関数では、対称性が破れているようである
としておきます。
これまでの結果をまとめますと、次のようになります。
②は不思議な等式なのです。最後に②の等式で遊んでみましょう。
x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・ ----②
（-1 < x < 1で成立）
②の左辺の分母は・・7、5、3、1と規則正しく大きな数から、小さい数へときれいに流れてきています。
そこで、いまあと少し-1まで流せば、うまく右辺にL(0)が出てきてくれるのではないか？と誰でも思いますので、
そうすると・・・
- x^2/((-1)^2-x^2) + x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝ - x^2/(1^2-x^2) + x^2/(1^2-x^2) - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝ - x^2/(3^2-x^2) + x^2/(5^2 - x^2) - x^2/(7^2-x^2) +・・・
＝｛L(2)-1｝x^2 + ｛L(4)-1｝x^4 + ｛L(6)-1｝x^6 + ｛L(8)-1｝x^8 +・・・
＝- (x^2 + x^4 + x^6 + x^8 +・・・) + L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・
＝-x^2(1 + x^2 + x^4 + x^6 +・・・) + L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・
＝ -x^2/(1-x^2) + L(2)x^2 + L(4)x^4 + L(6)x^6 + L(8)x^8 +・・・
と、こうなるのです。この不思議さにお気づきでしょうか？二つの青字に注目してください。
結局、これは回りまわって、また②に帰っただけなのです。
”-1”まではうまく流れず（うまく接続しない？）、L(0)が自然に出てくれません。
「顔をだしたくない！」とかたくなに拒んでいるかのようです。
次のような自然にζ(0)が出てくれる式とはえらい違い。
πx/tanπx＝- 2｛ζ(0)x^0 + ζ(2) x^2+ ζ(4)x^4 + ζ(6)x^6 + ζ(8)x^8 +・・・ ｝
や
1/(1-x) ＋ 2/(2-x) ＋ 3/(3-x)＋ ・・・＝ζ(0) + ζ(1)x + ζ(2)x^2 + ζ(3)x^3 +・・・
（いずれも -1 < x < 1で成立）
深いなにかを感じてしまいます。
まだ解けないゴールドバッハ予想
数論の世界では、一見単純であるのに、いまだ解けていない予想が数多くある。
次のゴールドバッハ予想などは、意味は中学生もわかるものなのにいまだ未解決なのである。
ゴールドバッハ予想
４以上のあらゆる偶数は、２つの素数の和として表されるであろう。
まさに単純きわまりない予想（問題）である。
これが、まだ証明されていないのだから驚く。あのフェルマー予想にも匹敵する簡明さだ！！
（ちなみにフェルマー予想は、プリンストン大学のワイルズによって、２１世紀も目前に迫った1995年に解決された）
上の問題を具体的に見れば、
４＝２＋２
６＝３＋３
８＝３＋５
１０＝３＋７
１２＝５＋７
・
・
というように、４以上のどんな偶数も”素数＋素数”で表現されるであろう、という予想である。
数学は、予想という名の問題を解くことによって発展していく。
中学生や高校生は、さらに大きな偶数でも本当にそうなっているか自分の手でたしかめて頂きたい。
（もし全ての偶数でそうなっていると証明できれば、たいへなことです。）
参考までに１００以下の素数を載せておく。
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
ちなみに、ワイルズは、２０世紀中にはとても解けないだろうと言われた谷山・志村予想というとてつも
ない予想(半安定な楕円曲線に関する)を解くことによって、フェルマー予想を解決した。
それはどんな物語よりも感動的なものであった。
Ｍ．Ｓ．
追記
谷山・志村予想にその名を残す谷山豊は、３１歳で自殺した天才数学者。
谷山の友人、志村五郎は、現米国プリンストン大学教授。日本が誇る世界的数学者。
|