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クイズ【４】i-mode版
LAST UPDATE 2001-11-13

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解説と解答
ＰＣ版

　この問題は、駅伝大会のの監察係をしながら原案を思いついた、kurochanのオリジナル問題です。正解を確認してから出題したつもりでしたが、kurochan自身に計算間違いがあり、注釈が必要となってしまいました。また、とても煩雑な問題で、申し訳ありませんでした。

一周５０歩の周回コースですから、５０個の地点に【１】〜【５０】と名付けることにします。すると、
Ａは３日おき、Ｂは４日おき、Ｃは５日おきに、１歩分進むことが分かります。３６５日目までケンカせずに、つまり逆方向に折り返さずに進むとすれば、それぞれ３６５日で進む歩数は

Ａさん････３６５÷３＝１２１ 余り　２
　よって１２１＋２＝１２３歩
Ｂくん････３６５÷４＝９１　余り　１
　よって　９１＋１＝　９２歩
Ｃさん････３６５÷５＝７３　余り　０
　よって　７３＋０＝　７３歩

一周５０歩の周回コースですから、Ａさんは２周と２３歩目、Ｂくんは１周と４２歩目、Ｃさんは１周と２３歩目になります。ＡさんとＣさんが同じ地点に立っていますから、ケンカして逆方向に歩き出したのはＢくんだということが分かります。【ここまで正解で２ポイント】

では、３人がケンカをしたのは何日目かを考えましょう。翌日からＢくんが逆方向に歩き出したわけです。ただし、逆方向へ歩き出すときのＢくんの歩の進め方について、２つのパターンに分けて考えることにします。

【第１のパターン】通算日数に応じて歩を進めるパターン

４日目に２歩さがるという歩き方をするため、ケンカした日によって４日間で、順に１歩目、３歩目、５歩目、１歩目へ移動します。１日目にケンカしても４日目にケンカしても同じ地点に立っていることになりますね。また、４日サイクルで１歩分進むのですから、ケンカをするのが４日遅くなると、その４日で進んだ１歩と、その１歩分を逆方向に戻るために必要な１歩分の合わせて２歩分、逆方向への進度が遅れることになります。

では、χ日目にケンカをした時、Ｂさんが３６５日で進むのは何歩でしょうか。
ケンカをした日が含まれる４日サイクルと、その前後のサイクルに分けて計算しましょう。まず、

　ケンカした日を含む４日サイクルで進む歩数････Ａ
　その直前までの４日サイクル数････Ｂ

とします。そして３６５日は、９１回の４日サイクルと１日ですから

　ケンカしたのが３６４日目までの場合は、直後からの４日サイクル数＝９０−Ｂ　となり
　　３６５日で進む歩数＝Ｂ＋Ａ−（９０−Ｂ）−１＝２Ｂ＋Ａ−９１････�@
　ケンカしたのが３６５日目の場合は、Ａ＝１、Ｂ＝９１ですから
　　３６５日で進む歩数＝Ｂ＋Ａ＝９２････�A

となりますね。ここで少し注意すると、２Ｂは常に偶数、Ａは１、３、５のいずれかになるので常に奇数ですから、�@は常に偶数になり、�Aも偶数です。１周５０歩の５０も偶数ですから、Ｂくんが何日目にケンカをしても、３６５日目に立っている地点は偶数番目の地点になります。Ａさん、Ｃさんがたどり着く２３歩目地点には、絶対にたどり着かないということになります。

【第２のパターン】逆方向に進み始める時、第１歩目から数えるパターン

　ケンカした日までに進んだ歩数＋翌日から逆方向に歩いた歩数

を計算すればいいわけですが、【第１のパターン】で考えたのと同じく、

　ケンカした日を含む４日サイクルで進む歩数････Ａ
　その直前までの４日サイクル数････Ｂ

とします。ただし、翌日から逆方向に歩いた歩数は、次のように分けて考える必要があります。
　３６５日は９１個の４日サイクルと１日である
　４日サイクル１日目には１歩進んだ地点へ
　　２日目には２歩進んだ地点へ
　　３日目には３歩進んだ地点へ
　　４日目には１歩進んだ地点へ、
　と歩を進めている

ことになるので、

　ケンカしたのが４日サイクルの
　１日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９１−Ｂ)歩････�B
　２日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０−Ｂ)＋３歩････�C
　３日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０−Ｂ)＋２歩････�D
　４日目の場合、逆方向へ進んだ歩数は(９０−Ｂ)＋１歩････�E

となり、式を立てると、Ｂくんが３６５日目にたどり着く地点は

　�B････Ｂ＋１−（９１−Ｂ）＝２Ｂ−９０････常に偶数
　�C････Ｂ＋２−(９０−Ｂ)−３＝２Ｂ−９１
　�D････Ｂ＋３−(９０−Ｂ)−２＝２Ｂ−８９
　�E････Ｂ＋１−(９０−Ｂ)−１＝２Ｂ−９０････常に偶数

となります。�B�Eは常に偶数となるので除外して、�C�Dで２３歩目の地点に一致するのは

　�C････２Ｂ−９１＝２３　　→　　２Ｂ＝１１４　　　従って　　４Ｂ＋２＝２３０日目
　�D････２Ｂ−８９＝２３　　→　　２Ｂ＝１１２　　　従って　　４Ｂ＋３＝２２７日目
１周５０歩の周回コースですから、同じ２３歩目の地点にたどり着くには、５０歩きざみで増減してもいいわけですから、３６５日の範囲に含まれるのは

　�C････２Ｂ＝１４、６４、１１４、１６４　　　つまり　　３０日目、１３０日目、２３０日目、３３０日目
　�D････２Ｂ＝１２、６２、１１２、１６２　　　つまり　　２７日目、１２７日目、２２７日目、３２７日目

が考えられます。これが、ケンカしたと考えられるすべての日です。(2001/11/10・11筆)

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