シュバルツシルトの解（その4） 光の曲がり 、もっとaの近くへ
その3で予想したとおりに楕円積分を使ってより高い近似を試みてみよう。
rとtの関係よりも簡単なrとθの関係を先に計算してみよう。
dθ= Kh dr/√( r(c^2 r^3-Kh^2 (r-a))) (15)
Kh^2/c^2=rn^3/( rn-a)なので
dθ= dr/√( r(( rn-a) r^3/rn^3-(r-a))) = dr/√((( rn-a)/rn^3) r ( r^3- rn^3 (r-a)/( rn-a)))
= (rn √(rn/( rn-a ))) dr/√(F) (根号の中の四次式r( r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)) =Fと略記)
三次方程式r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)=0の根の一つはrnなので三次式r^3- rn^3(r-a)/( rn-a)は
(r-rn) (r^2+rn r-rn^2 a/( rn-a)) と因数分解出来る。
(1) a < rn のとき
二次方程式r^2+rn r-rn^2 a/( rn-a)=0は二つの実根rpと rmを持ち
rp=(rn/2) (-1+√(rn+3a)/( rn-a))) ; rm=(rn/2) (-1-√(rn+3a)/( rn-a)))
と表されこのときＦは r ( r-rn)( r-rp)( r- rm)と因数分解出来る。rp+rm= -rn 従ってrn +rp = - rmである。
このとき( r-rn)( r-rp)とr( r- rm) を組にして二次式の積の形にする
F=( r^2+rm r+rn rp)( r^2- rm r)
二つの二次式の中の一次の項を消去するため
r=(ατ+β)/(τ+1) =α-(α-β)/(τ+1)と変数変換する ( dr=dτ(α-β)/(τ+1)^2 )
dr/√(F)=dr/√(r^2+rm r+rn rp)( r^2- rm r) = dτ(α-β) /√((r^2+rm r+rn rp)(τ+1)^2( r^2- rm r)(τ+1)^2))
(r^2+rm r+rn rp)(τ+1)^2 =(ατ+β)^2+rm (ατ+β)(τ+1) +rn rp (τ+1) ^2
=τ^2(α^2+rm α+rn rp) +τ(2α β +rm (α+β)+ 2rn rp)+β ^2+rmβ+rn rp
=τ^2(α-rn)(α-rp) +τ(2α β +rm(α+β)+ 2rn rp)+(β-rn)(β-rp)
( r^2- rm r)(τ+1)^2 =(ατ+β)^2-rm (ατ+β)(τ+1)
=τ^2(α^2- rm α) +τ(2α β –rm (α+β))+β^2-rm β =τ^2 α(α-rm) +τ(2α β –rm (α+β))+β(β-rm)
二つの二次式の一次の項が0であるためには
2αβ +rm(α+β)+ 2rn rp =0 ; 2αβ -rm(α+β) =0 の二式が成立しなければならない。α+βとαβについて解くと
α+β=-rn rp/rm ; α β=-rn rp/2
したがってα, βは二次方程式r^2+(rn rp/rm) r-rn rp/2=0の根である。どちらをαに当てはめても良いがここでは
α=(-rn rp/rm+√((rn rp/rm)^2+2rn rp))/2 ; β=(-rn rp/rm-√((rn rp/rm)^2+2rn rp))/2
にしよう
Ｆ=(τ^2(α-rn)(α-rp)+(β-rn)(β-rp))(τ^2 α(α-rm) +β(β-rm))
(1-1) ここで3a/2<rnのときには rp <α<rnの関係になるので
Ｆ= (-τ^2(-α+rn)(α-rp)+(-β+rn)(-β+rp))(τ^2 α(α-rm) -(-β(β-rm)))
= (-α+rn)(α-rp)α(α-rm) (-τ^2+(-β+rn)(-β+rp)/(( -α+rn)(α-rp)))(τ^2-(-β(β-rm)/(α(α-rm))))
= Fα (-τ^2+ν^2)(τ^2-μ^2)
( (-α+rn)(α-rp)α(α-rm) =Fαと略記; (-β+rn)( -β+rp)/(( -α+rn)(α-rp)) =ν^2と略記;-β(β-rm)/(α(α-rm)) =μ^2と略記)
(1-2) 一方a <rn< 3a/2のときにはrn<α<rpの関係になるので
Ｆ= (-τ^2(-α+rp)(α-rn)+(-β+rn)(-β+rp))(τ^2 α(α-rm) -(-β(β-rm)))
= (-α+rp)(α-rn)α(α-rm) (-τ^2+(-β+rn)(-β+rp)/(( -α+rp)(α-rn)))(τ^2-(-β(β-rm)/(α(α-rm))))
= Fα (-τ^2+ν^2)(τ^2-μ^2)
( (-α+rp)(α-rn)α(α-rm) =Fαと略記; (-β+rn)( -β+rp)/(( -α+rp)(α-rn)) =ν^2と略記;-β(β-rm)/(α(α-rm)) =μ^2と略記)
dr/√(Ｆ) =((α-β)/√(Fα)) dτ/√((ν^2-τ^2)(τ^2-μ^2)
ν^2-τ^2とτ^2-μ^2を1-K τ^2の形にするため
τ=√(ν^2- (ν^2-μ^2)u^2) =ν√(1-k^2 u^2)と変数変換すると ( (ν^2-μ^2)/ν^2=k^2と略記)
(dτ=- (ν^2-μ^2) u du/√(ν^2- (ν^2-μ^2)u^2) )
(ν^2-τ^2) =(ν^2-μ^2)u^2; (τ^2-μ^2) =ν^2- (ν^2-μ^2)u^2-μ^2= (ν^2-μ^2) ( 1-u^2)となるから
dτ/√((ν^2-τ^2)(τ^2-μ^2)) =- (ν^2-μ^2) u du/√(ν^2- (ν^2-μ^2)u^2)(ν^2-μ^2)u^2(ν^2-μ^2) ( 1-u^2))
=- du/√(ν^2- (ν^2-μ^2)u^2)( 1-u^2))=- (1/ν) du/√((1-k^2u^2)( 1-u^2))
根号の中を一つの項にするため
u=sinφと変数変換する (du=cosφdφ)
du/√((1-k^2u^2)( 1-u^2)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)( 1-sin^2φ)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)cos^2φ)
=dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
以上をまとめるとdθ= ((α-β)(rn √(rn/( rn-a )))/(ν√(Fα))) dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
変数はr=α-(α-β)/(τ+1) = α-(α-β)/(ν√(1- k^2 u^2)+1) = α-(α-β)/(ν√(1- k^2 sin^2φ)+1)
逆に解くと
φ= arcsin(√(1-((r-β)/((r-α) ν))^2)/k)
r=rnの時φ=0 であるから r=rnから出発して r=rまで到達するまでに光が中心星の周りを廻る角度θは
θ= ((α-β) rn √(rn/( rn-a ))/(ν√(Fα))∫φ_0 dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
= ((α-β) rn √(rn/( rn-a ))/(ν√(Fα)) F1(φ, k) で表される。 ( F1(φ, k)は第1種楕円積分 )
(2) rn<aのとき
二次方程式r^2+rn r+rn^2 a/(-rn+a)=0が実根を持たないので
( r-rn) rと残りの二次式r^2+rn r+rn^2 a/(-rn+a)を組にしてＦを二つの二次式の積の形にする
F=( r^2- rn r)( r^2+rn r+rn^2 a/(-rn+a))
前と同様に二つの二次式の中の一次の項を消去するため
r=(ατ+β)/(τ+1) =α-(α-β)/(τ+1)と変数変換する ( dr=dτ(α-β)/(τ+1)^2 )
dr/√(F)=dr/√((r^2- rn r)( r^2+rn r+rn^2 a/(-rn+a)) = dτ(α-β) /√((r^2-rn r)(τ+1)^2( r^2+rn r+rn^2 a/(-rn+a))(τ+1)^2)
( r^2-rn r)(τ+1)^2 =(ατ+β)^2-rn(ατ+β)(τ+1)
=τ^2(α^2-α rn) +τ(2αβ-rn(α+β))+β ^2-rn β
( r^2+rn r+rn^2 a/(- rn+a))(τ+1)^2 =(ατ+β)^2+rn(ατ+β)(τ+1)+ (rn^2 a/(-rn+a))(τ+1)^2
=τ^2(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)) +τ(2αβ+rn (α+β) +2rn^2 a/(-rn+a))β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a)
二つの二次式の一次の項が0であるためには
2αβ-rn(α+β) = 0 ; 2αβ+rn(α+β)+2rn^2 a/(-rn+a) =0 の二式が成立しなければならない。α+βとαβについて解くと
α+β=- rn a/(-rn+a) ; αβ=- (1/2)rn^2 a/(-rn+a)
したがってα, βは二次方程式
r^2+ (rn a/(-rn+a)) r- (1/2)rn^2 a/(-rn+a) = 0 (2) の根である。
(2-1) 0<rn<aのとき
方程式(2) の根のどちらをαに当てはめても良いがここでは
α= rn (-a+√(a (3a-2rn)))/(2(-rn+a)) ; β= rn(-a-√(a (3a-2rn)))/(2(-rn+a)) にしよう
Ｆ=(-τ^2 α (-α+rn)+(-β(-β+rn)))(τ^2 (α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a))+β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a))
=α (-α+rn)(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a))(-τ^2+(-β(-β+rn)/(α(-α+rn))) (τ^2+(β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a))/(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)))
= Fα (-τ^2+ν^2 ) (τ^2+μ^2 )
( α(-α+rn)(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)) =Fαと略記 )
( -β(-β+rn)/(α (-α+rn)) =ν^2と略記 ; (β^2+rn β+-rn^2 a/(-rn+a))/(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)) =μ^2と略記 )
0<rn<aの時には係数rn √(rn/( rn-a ))の根号の中が負になるのでdθが実数になるためにはＦも負でなければならない。
そしてr の変域は0<r< rnであることが必要である。Ｆが負であるので
dr/√(-Ｆ) =((α-β)/√(Fα)) dτ/√((τ^2-ν^2)(τ^2+μ^2)) の形にして楕円積分を行う。
τ^2 -ν^2とτ^2+μ^2を1-K τ^2の形にするため
τ=ν/√( 1-u^2)と変数変換する ( dτ=νu du /√(( 1-u^2)^3) )
dτ/√((τ^2-ν^2)(τ^2+μ^2)) =νudu /√((ν^2/( 1-u^2)-ν^2)(ν^2/( 1-u^2)+μ^2) ( 1-u^2)^3)
=νudu /√((ν^2-ν^2( 1-u^2))(ν^2+μ^2( 1-u^2))( 1-u^2))=du/√((ν^2+μ^2)(1-μ^2 u^2/(ν^2+μ^2))( 1-u^2))
=(1/√(ν^2+μ^2)) du/√(( 1-u^2)(1-k^2 u^2)) ( μ^2/(ν^2+μ^2)= k^2と略記 )
根号の中を一つの項にするため u = sinφと変数変換する ( du =cosφdφ)
du/√((1-k^2 u^2)( 1-u^2)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)( 1-sin^2φ)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)cos^2φ)
=dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
以上をまとめると dθ=((α-β) rn √(rn/( -rn+a ))/√((ν^2+μ^2) Fα))) dφ/√((1-k^2 sin^2φ))
変数はr=α-(α-β)/(τ+1) = α-(α-β)/(ν/√( 1-u^2)+1) = α-(α-β)/( ν/√( 1-sin^2φ)+1)
= α-(α-β)/( ν/cos φ+1)
逆に解くと
φ= arccos(ν(α-r)/( r-β))
r=rnの時φ=0 であるから r=rnから出発して r=rまで到達するまでに光が中心星の周りを廻る角度θは
θ= ((α-β)(rn √(rn/(-rn+a ))/√((ν^2+μ^2) Fα))∫φ_0 dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
= ((α-β)(rn √(rn/(-rn+a))/√((ν^2+μ^2) Fα)) F1(φ, k) で表される。
(2-2) rn<0のとき
方程式(2) の根のどちらをαに当てはめても良いがここでは
α=-rn(a+√(a (3a-2rn)))/(2(-rn+a)) ; β=-rn(a-√(a (3a-2rn)))/(2(-rn+a)) にしよう
Ｆ=(τ^2 α(α- rn)-(-β(β-rn))(τ^2 (α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a))+β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a))
=α(α-rn)(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a))(τ^2-(-β(β- rn)/(α(α- rn))) (τ^2+(β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a))/(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)))
( α(α-rn)(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)) =Fαと略記
-β(β-rn)/(α(α-rn)) =ν^2と略記 ; (β^2+rn β+rn^2 a/(-rn+a))/(α^2+rn α+rn^2 a/(-rn+a)) =μ^2と略記 )
dr/√(Ｆ) =((α-β)/√(Fα)) dτ/√((τ^2 -ν^2)(τ^2+μ^2)
τ^2 -ν^2とτ^2+μ^2を1-K τ^2の形にするため
τ=ν/√( 1-u^2)と変数変換する ( dτ=νu du /√(( 1-u^2)^3) )
dτ/√((τ^2-ν^2)(τ^2+μ^2)) =νu du /√((ν^2/( 1-u^2)-ν^2)(ν^2/( 1-u^2)+μ^2) ( 1-u^2)^3)
=νu du /√((ν^2-ν^2( 1-u^2))(ν^2+μ^2( 1-u^2))( 1-u^2))=du/√((ν^2+μ^2)(1-μ^2 u^2/(ν^2+μ^2))( 1-u^2))
=(1/√(ν^2+μ^2)) du/√(( 1-u^2)(1-k^2 u^2)) ( μ^2/(ν^2+μ^2)= k^2と略記 )
根号の中を一つの項にするため u = sinφと変数変換する ( du = cosφdφ)
du/√((1-k^2 u^2)( 1-u^2)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)( 1-sin^2φ)) = cosφdφ/√((1-k^2 sin^2φ)cos^2φ)
=dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
以上をまとめると dθ=((α-β) rn √(-rn/(-rn+a ))/√((ν^2+μ^2) Fα)) dφ/√((1-k^2 sin^2φ))
変数はr=α-(α-β)/(τ+1) = α-(α-β)/(ν/√( 1-u^2)+1) = α-(α-β)/( ν/√( 1-sin^2φ)+1)
= α-(α-β)/( ν/cos φ+1)
逆に解くと
φ= arccos(ν(α-r)/( r-β))
r=rnの時φ=0 であるから r=rnから出発して r=rまで到達するまでに光が中心星の周りを廻る角度θは
θ= ((α-β)(rn √(-rn/(-rn+a ))/√((ν^2+μ^2) Fα))∫φ_0 dφ/√(1-k^2 sin^2φ)
= ((α-β)(rn √(-rn/(-rn+a))/√((ν^2+μ^2) Fα)) F1(φ, k) で表される。
これらの式で計算した光の軌道の形は次のページをご覧ください
シュバルツシルトの解による大質量星（ブラックホール）周辺の光の軌道図へ