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ゼータLA(s)のLA(1/2)、LA(3/2)を求めた。
＜ LA(1/2)値を導出 ＞
＜ LA(3/2)値を導出 ＞
2007/11/3 ＜ LA(1/2)値を導出 ＞ Sin[ s=1/2， π/3代入，πテイラー］
すこし道草をくっていたが、「その２」最後で「次は、いよいよLA(1/2)、LA(3/2)、・・を求めていくことにする。」と
述べていたことを、ここで実行する。
LA(1/2)を求める。条件はＳｉｎ[ s=1/2， π/3代入，πテイラー］で行う。
［LA(1/2)を導出する］ Sin［s=1/2, π/3代入、πテイラー］
まず f(x)=(sinx)/1^(1/2) + (sin2x)/2^(1/2) + (sin3x)/3^(1/2) + (sin4x)/4^(1/2) + ・・・ -----① という母関数を考える。xにπ/3を代入すると f(π/3)
＝√3/2｛(1/1^(1/2) + 1/2^(1/2) - 1/4^(1/2) - 1/5^(1/2)) + (1/7^(1/2) + 1/8^(1/2) - 1/10^(1/2) - 1/11^(1/2))・・・｝
＝√3/2｛(1/1^(1/2) - 1/2^(1/2) + 1/4^(1/2) - 1/5^(1/2)) + (1/7^(1/2) - 1/8^(1/2) + 1/10^(1/2) - 1/11^(1/2)) + (2/2^(1/2) - 2/4^(1/2) + 2/8^(1/2) - 2/10^(1/2) + 2/14^(1/2) - 2/16^(1/2) + 2/20^(1/2) - 2/22^(1/2) + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(1/2) + (2/2^(1/2) - 2/4^(1/2) + 2/8^(1/2) - 2/10^(1/2) + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(1/2) + 2/2^(1/2)(1/1^(1/2) - 1/2^(1/2) + 1/4^(1/2) - 1/5^(1/2) + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(1/2) + √2LA(1/2)｝ ＝｛√3(1+√2)/2｝LA(1/2) -------② となりLA(1/2)が現れた。 次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。 f(x)＝-（1-1/2^(3/2)）ζ(-1/2)・(x-π)^1 /1！+ （1-1/2^(7/2)）ζ(-5/2)・(x-π)^3 /3！ - （1-2^(11/2)）ζ(-9/2)・(x-π)^5 /5！ + （1-2^(15/2)）ζ(-13/2)・(x-π)^7 /7！ - （1-2^(19/2)）ζ(-17/2)・(x-π)^9 /9！ + （1-2^(23/2)）ζ(-21/2)・(x-π)^11 /11！ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----③ ζ(s)の関数等式 ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) を用いて③を変形すると次となる。 f(x)＝（1-2^(3/2)）(2！/1！)(ζ(3/2)/(π^1・2^3・1！))・(x-π)^1 /1！ +（1-2^(7/2)）(6！/3！)(ζ(7/2)/(π^3・2^9・3！))・(x-π)^3 /3！
+（1-2^(11/2)）(10！/5！)(ζ(11/2)/(π^5・2^15・5！))・(x-π)^5 /5！
+（1-2^(15/2)）(14！/7！)(ζ(15/2)/(π^7・2^21・7！))・(x-π)^7 /7！
+（1-2^(19/2)）(18！/9！)(ζ(19/2)/(π^9・2^27・9！))・(x-π)^9 /9！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④ ④のxにπ/3を代入して整理すると次を得る。 f(π/3) ＝(√2-1/2^1）2！ζ(3/2) /(6^1・(1！)^2) + (√2-1/2^3）6！ζ(7/2) /(6^3・(3！)^2)
+ (√2-1/2^5）10！ζ(11/2) /(6^5・(5！)^2) + (√2-1/2^7）14！ζ(15/2) /(6^7・(7！)^2)
+ (√2-1/2^9）18！ζ(19/2) /(6^9・(9！)^2) + (√2-1/2^11）22！ζ(23/2) /(6^11・(11！)^2)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----⑤ ②と⑤は等しいので、次を得る。 ｛√3(1+√2)/2｝LA(1/2)
＝(√2-1/2^1）2！ζ(3/2) /(6^1・(1！)^2) + (√2-1/2^3）6！ζ(7/2) /(6^3・(3！)^2)
+ (√2-1/2^5）10！ζ(11/2) /(6^5・(5！)^2) + (√2-1/2^7）14！ζ(15/2) /(6^7・(7！)^2)
+ (√2-1/2^9）18！ζ(19/2) /(6^9・(9！)^2) + (√2-1/2^11）22！ζ(23/2) /(6^11・(11！)^2)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----⑥ こうしてLA(1/2)が求まった。 LA(1/2)は半整数ゼータの無限和で表現されることがわかる。 ［導出終わり］ 念のため⑥を検証しておこう。まず左辺のLA(1/2)値をLA(1/2)の定義 LA(1/2)＝1 - 1/2^(1/2) + 1/4^(1/2) - 1/5^(1/2) + 1/7^(1/2) - 1/8^(1/2) +1/10^(1/2) - 1/11^(1/2) + ・・・ ----⑦ から、ExcelでＶＢＡプログラムを組んで求めた。
「⑦の５億項まで」＝0.480852・・・
よって、
⑥左辺＝1.005352・・・ ------⑧ となった。 次に右辺を計算した。電卓で手計算した。 ここでζ(3/2)＝2.612375・・、ζ(7/2)＝1.126733・・、ζ(11/2)＝1.025204・・、ζ(15/2)＝1.00582・・を用いた。
その結果、
⑥右辺の１項まで＝0.796089・・・ ⑥右辺の３項まで＝0.976537・・・ ⑥右辺の５項まで＝1.000703・・・ と速く⑧に収束していくことがわかる。まとめておく。
同様にして、LA(3/2)値を求めた。結果だけ記す。
｛√3(1+√2)/(2^3・√2π)｝LA(3/2)
＝-(√2-1/2^0）0！ζ(1/2) /(6^1・0！・1！) - (√2-1/2^2）4！ζ(5/2) /(6^3・2！・3！)
-(√2-1/2^4）8！ζ(9/2) /(6^5・4！・5！) - (√2-1/2^6）12！ζ(13/2) /(6^7・6！・7！)
-(√2-1/2^8）16！ζ(17/2) /(6^9・8！・9！) - (√2-1/2^10）20！ζ(21/2) /(6^11・10！・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ------①
収束を検証しておこう。まず左辺のLA(3/2)値をLA(3/2)の定義
LA(3/2)＝1 - 1/2^(3/2) + 1/4^(3/2) - 1/5^(3/2) + ・・・ ----② から、ExcelでＶＢＡプログラムを組んでまず求めた。
「②の１千万項まで」＝0.703968245・・・
よって、
①左辺＝0.082819866・・・ ------③ となった。
次に右辺を計算した。
ここでζ(1/2)＝-1.460354508・・、ζ(5/2)＝1.3414872571・・、ζ(9/2)＝1.054707511・・、ζ(13/2)＝1.0120059・・、
ζ(17/2)＝1.00285921・・を用いた。
その結果、
①右辺の１項まで＝0.1008164・・・ ①右辺の３項まで＝0.08378875・・・ ①右辺の５項まで＝0.08292066・・・ と速く③に収束していくことがわかる。用いたζ(1/2)＝-1.460354508・・は解析接続で意味づけされた値であることは
いうまでもない。
一つ上でのLA(1/2)と合わせてまとめておく。
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