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テイラーシステムを用いて虚２次体Q(√-3)に対応するゼータLA(s)のLA(2)、LA(4)、LA(6)を求めた。
＜ LA(2)値を導出 ＞
＜ LA(4)値を導出 ＞
＜ LA(6)値を導出 ＞
ここでは、現代数学で不明とされるLA(2)、LA(4)、LA(6)・・を出していくことにする。
テイラーシステムを用いるとたちまちに求まる。
まずLA(2)を求める。条件はＳｉｎ[ s=2， π/3代入，πテイラー］で行う。
［LA(2)を導出する］ Sin［s=2, π/3代入、πテイラー］
まず
f(x)=(sinx)/1^2 + (sin2x)/2^2 + (sin3x)/3^2 + (sin4x)/4^2 + ・・・ -----①
という母関数を考える。xにπ/3を代入すると
f(π/3) ＝√3/2｛(1/1^2 + 1/2^2 - 1/4^2 - 1/5^2) + (1/7^2 + 1/8^2 - 1/10^2 - 1/11^2)
+(1/13^2 + 1/14^2 - 1/16^2 - 1/17^2) +(1/19^2 + 1/20^2 - 1/22^2 - 1/23^2)｝
＝√3/2｛(1/1^2 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2) + (1/7^2 - 1/8^2 + 1/10^2 - 1/11^2)
+(1/13^2 - 1/14^2 + 1/16^2 - 1/17^2) +(1/19^2 - 1/20^2 + 1/22^2 - 1/23^2) + ・・・・
+ (2/2^2 - 2/4^2 + 2/8^2 - 2/10^2 + 2/14^2 - 2/16^2 + 2/20^2 - 2/22^2 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(2) + (2/2^2 - 2/4^2 + 2/8^2 - 2/10^2 + 2/14^2 - 2/16^2 + 2/20^2 - 2/22^2 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(2) + 2/2^2(1/1^2 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8 ^2+ 1/10^2 - 1/11^2 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(2) + 1/2・(1/1^2 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8 ^2+ 1/10^2 - 1/11^2 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(2) + 1/2・LA(2)｝
＝3√3LA(2)/4 -------②
となり、LA(2)が現れた。
次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-log2・(x-π)^1 /1！ + （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^3 /3！
- （1-2^4）・ζ(-3)・(x-π)^5 /5！ + （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^7 /7！
- （1-2^8）・ζ(-7)・(x-π)^9 /9！ + （1-2^10）・ζ(-9)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----③
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて③を変形すると次となる。
f(x)＝-log2・(x-π)^1 /1！
- （1-2^2）・ζ(2)・(x-π)^3 ・1！/(2^1・π^2・3！)
- （1-2^4）・ζ(4)・(x-π)^5 ・3！/(2^3・π^4・5！)
- （1-2^6）・ζ(6)・(x-π)^7 ・5！/(2^5・π^6・7！)
- （1-2^8）・ζ(8)・(x-π)^9 ・7！/(2^7・π^8・9！)
- （1-2^10）・ζ(10)・(x-π)^11 ・9！/(2^9・π^10・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
④のxにπ/3を代入して整理すると次を得る。
f(π/3)
＝(4π/3）｛(log2)/2 - （1-1/2^2）・(2/3)^2 ・(1！/3！)ζ(2)
- （1-1/2^4）・(2/3)^4 ・(3！/5！)ζ(4) - （1-1/2^6）・(2/3)^6 ・(5！/7！)ζ(6)
- （1-1/2^8）・(2/3)^8 ・(7！/9！)ζ(8) - （1-1/2^10）・(2/3)^10 ・(9！/11！)ζ(10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
②と⑤は等しいので、次を得る。
LA(2)
＝(16π/9√3）｛(log2)/2 - （1-1/2^2）・(2/3)^2 ・(1！/3！)ζ(2)
- （1-1/2^4）・(2/3)^4 ・(3！/5！)ζ(4) - （1-1/2^6）・(2/3)^6 ・(5！/7！)ζ(6)
- （1-1/2^8）・(2/3)^8 ・(7！/9！)ζ(8) - （1-1/2^10）・(2/3)^10 ・(9！/11！)ζ(10)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ----⑥
こうしてLA(2)が求まった。
LA(2)は、「偶数ゼータζ(2n)の無限和」として表現されることがわかる。
［導出終わり］
念のため、⑥を検証しておこう。まず左辺のLA(2)値をLA(2)の定義
LA(2)＝1 - 1/2^2 + 1/4^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - 1/8^2 +1/10^2 - 1/11^2 + ・・・
から、ExcelでＶＢＡプログラムを組んで求めた。
⑥左辺(100万項まで)＝0.781302413・・・ ------⑦
となった。
次に右辺を計算した。収束が速く、電卓で手計算した。
ここでζ(2)＝π^2/6、ζ(4)＝π^4/90、ζ(6)＝π^6/945、ζ(8)＝π^8/9450、ζ(10)＝π^10/93555、・・・を
利用した。その結果、
⑥右辺の３項まで＝0.790548412・・・
⑥右辺の５項まで＝0.782050785・・・
⑥右辺の７項まで＝0.781383116・・・
となり急速に⑦に収束していく。まとめておく。
LA(4)を求める。条件はＳｉｎ[ s=4， π/3代入，πテイラー］で行う。
［LA(4)を導出する］ Sin［s=4, π/3代入、πテイラー］
まず
f(x)=(sinx)/1^4 + (sin2x)/2^4 + (sin3x)/3^4 + (sin4x)/4^4 + ・・・ -----①
という母関数を考える。xにπ/3を代入すると
f(π/3) ＝√3/2｛(1/1^4 + 1/2^4 - 1/4^4 - 1/5^4) + (1/7^4 + 1/8^4 - 1/10^4 - 1/11^4)
+(1/13^4 + 1/14^4 - 1/16^4 - 1/17^4) +(1/19^4 + 1/20^4 - 1/22^4 - 1/23^4)｝
＝√3/2｛(1/1^4 - 1/2^4 + 1/4^4 - 1/5^4) + (1/7^4 - 1/8^4 + 1/10^4 - 1/11^4)
+(1/13^4 - 1/14^4 + 1/16^4 - 1/17^4) +(1/19^4 - 1/20^4 + 1/22^4 - 1/23^4) + ・・・・
+ (2/2^4 - 2/4^4 + 2/8^4 - 2/10^4 + 2/14^4 - 2/16^4 + 2/20^4 - 2/22^4 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(4) + (2/2^4 - 2/4^4 + 2/8^4 - 2/10^4 + 2/14^4 - 2/16^4 + 2/20^4 - 2/22^4 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(4) + 2/2^4(1/1^4 - 1/2^4 + 1/4^4 - 1/5^4 + 1/7^4 - 1/8 ^4+ 1/10^4 - 1/11^4 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(4) + 1/8・(1/1^4 - 1/2^4 + 1/4^4 - 1/5^4 + 1/7^4 - 1/8 ^4+ 1/10^4 - 1/11^4 + ・・・)｝
＝√3/2｛LA(4) + 1/8・LA(4)｝
＝9√3LA(4)/16 -------②
となり、LA(4)が現れた。
次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。
f(x)＝-（1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^1 /1！+ log2・(x-π)^3 /3！
- （1-2^2）・ζ(-1)・(x-π)^5 /5！ + （1-2^4）・ζ(-3)・(x-π)^7 /7！
- （1-2^6）・ζ(-5)・(x-π)^9 /9！ + （1-2^8）・ζ(-7)・(x-π)^11 /11！
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----③
ζ(s)の関数等式
ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s)
を用いて③を変形すると次となる。
f(x)＝-（1-1/2^2）・ζ(3)・(x-π)^1 /1！
+ log2・(x-π)^3 /3！
+ （1-2^2）・ζ(2)・(x-π)^5 ・1！/(2^1・π^2・5！)
+ （1-2^4）・ζ(4)・(x-π)^7 ・3！/(2^3・π^4・7！)
+ （1-2^6）・ζ(6)・(x-π)^9 ・5！/(2^5・π^6・9！)
+ （1-2^8）・ζ(8)・(x-π)^11 ・7！/(2^7・π^8・11！)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -------④
④のxにπ/3を代入して整理すると次を得る。
f(π/3)
＝π^3｛（1-1/2^2）・(2/3)^1ζ(3) /(π^2・1！) - log2・(2/3)^3 /3！
+ 2（1-1/2^2）・(2/3)^5 ・(1！/5！)ζ(2) + 2（1-1/2^4）・(2/3)^7 ・(3！/7！)ζ(4)
+ 2（1-1/2^6）・(2/3)^9 ・(5！/9！)ζ(6) + 2（1-1/2^8）・(2/3)^11 ・(7！/11！)ζ(8)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤
②と⑤は等しいので、次を得る。
LA(4)
＝(16π^3/9√3）｛（1-1/2^2）・(2/3)^1ζ(3)/(π^2・1！) - log2・(2/3)^3 /3！
+ 2（1-1/2^2）・(2/3)^5 ・(1！/5！)ζ(2) + 2（1-1/2^4）・(2/3)^7 ・(3！/7！)ζ(4)
+ 2（1-1/2^6）・(2/3)^9 ・(5！/9！)ζ(6) + 2（1-1/2^8）・(2/3)^11 ・(7！/11！)ζ(8)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ ---⑥
こうしてLA(4)が求まった。
LA(4)はζ(3)と「偶数ゼータζ(2n)の無限和」で表現されることがわかる。
［導出終わり］
念のため、⑥を検証しておこう。まず左辺のLA(4)値をLA(4)の定義
LA(4)＝1 - 1/2^4 + 1/4^4 - 1/5^4 + 1/7^4 - 1/8^4 +1/10^4 - 1/11^4 + ・・・
から、ExcelでＶＢＡプログラムを組んで求めた。
⑥左辺(1万項まで)＝0.940025681・・・ ------⑦
となった。
次に右辺を計算した。収束が速く、電卓で手計算した。
ここでζ(3)＝1.2020569032・・、ζ(2)＝π^2/6、ζ(4)＝π^4/90、ζ(6)＝π^6/945を用いた。その結果、
⑥右辺の３項まで＝0.934859448・・・
⑥右辺の４項まで＝0.939359387・・・
⑥右辺の５項まで＝0.93990769・・・
と極めて速く⑦に収束していくことがわかる。まとめておく。
［LA(6)を導出する］ Sin［s=6, π/3代入、πテイラー］
まず f(x)=(sinx)/1^6 + (sin2x)/2^6 + (sin3x)/3^6 + (sin4x)/4^6 + ・・・ -----① という母関数を考える。xにπ/3を代入すると f(π/3) ＝√3/2｛(1/1^6 + 1/2^6 - 1/4^6 - 1/5^6) + (1/7^6 + 1/8^6 - 1/10^6 - 1/11^6) +(1/13^6 + 1/14^6 - 1/16^6 - 1/17^6) +(1/19^6 + 1/20^6 - 1/22^6 - 1/23^6)｝ ＝√3/2｛(1/1^6 - 1/2^6 + 1/4^6 - 1/5^6) + (1/7^6 - 1/8^6 + 1/10^6 - 1/11^6) +(1/13^6 - 1/14^6 + 1/16^6 - 1/17^6) +(1/19^6 - 1/20^6 + 1/22^6 - 1/23^6) + ・・・・ + (2/2^6 - 2/4^6 + 2/8^6 - 2/10^6 + 2/14^6 - 2/16^6 + 2/20^6 - 2/22^6 + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(6) + (2/2^6 - 2/4^6 + 2/8^6 - 2/10^6 + 2/14^6 - 2/16^6 + 2/20^6 - 2/22^6 + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(6) + 2/2^6(1/1^6 - 1/2^6 + 1/4^6 - 1/5^6 + 1/7^6 - 1/8 ^6+ 1/10^6 - 1/11^6 + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(6) + 1/32・(1/1^6 - 1/2^6 + 1/4^6 - 1/5^6 + 1/7^6 - 1/8 ^6+ 1/10^6 - 1/11^6 + ・・・)｝ ＝√3/2｛LA(6) + 1/32・LA(6)｝ ＝33√3LA(6)/64 -------② となりLA(6)が現れた。 次に①の右辺をx＝πの周りでテイラー展開すると、簡単な計算により次となる。 f(x)＝-（1-1/2^4）ζ(5)・(x-π)^1 /1！+ （1-1/2^2）ζ(3)・(x-π)^3 /3！ - log2・(x-π)^5 /5！ + （1-2^2）ζ(-1)・(x-π)^7 /7！ - （1-2^4）ζ(-3)・(x-π)^9 /9！ + （1-2^6）ζ(-5)・(x-π)^11 /11！ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----③ ζ(s)の関数等式 ζ(1-s)＝cos(πs/2)・Γ(s)・2^(1-s)・π^(-s)・ζ(s) を用いて③を変形すると次となる。 f(x)＝-（1-1/2^4）ζ(5)・(x-π)^1 /1！ +（1-1/2^2）ζ(3)・(x-π)^3 /3！ - log2・(x-π)^5 /5！ - （1-2^2）ζ(2)・(x-π)^7 ・1！/(2^1・π^2・7！) - （1-2^4）ζ(4)・(x-π)^9 ・3！/(2^3・π^4・9！) - （1-2^6）ζ(6)・(x-π)^11 ・5！/(2^5・π^6・11！) - （1-2^8）ζ(8)・(x-π)^13 ・7！/(2^7・π^8・11！) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ -----④ ④のxにπ/3を代入して整理すると次を得る。 f(π/3) ＝π^5｛（1-1/2^4）・(2/3)^1ζ(5) /(π^4・1！) - （1-1/2^2）・(2/3)^3ζ(3) /(π^2・3！) + log2・(2/3)^5 /5！- 2（1-1/2^2）・(2/3)^7 ・(1！/7！)ζ(2) - 2（1-1/2^4）・(2/3)^9 ・(3！/9！)ζ(4) - 2（1-1/2^6）・(2/3)^11 ・(5！/11！)ζ(6) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・･････････・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑤ ②と⑤は等しいので、次を得る。 LA(6) ＝(64π^5/33√3）｛（1-1/2^4）・(2/3)^1ζ(5) /(π^4・1！) - （1-1/2^2）・(2/3)^3ζ(3) /(π^2・3！) + log2・(2/3)^5 /5！ - 2（1-1/2^2）・(2/3)^7 ・(1！/7！)ζ(2) - 2（1-1/2^4）・(2/3)^9 ・(3！/9！)ζ(4) - 2（1-1/2^6）・(2/3)^11 ・(5！/11！)ζ(6) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ｝ -----⑥ こうしてLA(6)が求まった。 LA(6)はζ(3)とζ(5）と「偶数ゼータζ(2n)の無限和」で表現されることがわかる。 ［導出終わり］ 念のため、⑥を検証しておこう。まず左辺のLA(6)値をLA(6)の定義 LA(6)＝1 - 1/2^6 + 1/4^6 - 1/5^6 + 1/7^6 - 1/8^6 +1/10^6 - 1/11^6 + ・・・ から、ExcelでＶＢＡプログラムを組んで求めた。 ⑥左辺(１千項まで)＝0.984560363・・・ ------⑦ となった。 次に右辺を計算した。収束が速く、電卓で手計算した。 ここでζ(5)＝1.0369277551・・、ζ(3)＝1.2020569032・・、ζ(2)＝π^2/6、ζ(4)＝π^4/90を用いた。その結果、 ⑥右辺の３項まで＝0.994704722・・・ ⑥右辺の４項まで＝0.984886673・・・ ⑥右辺の５項まで＝0.984587599・・・ と極めて速く⑦に収束していくことがわかる。LA(2)、LA(4)と合わせてまとめておく。
LA(2)、LA(4)、LA(6)は、複数の奇数ゼータζ(2n+1)と「偶数ゼータζ(2n)の無限和」で表されることがわかる。 log2＝(1-1/2^0)ζ(1) であるから、右辺の秩序に驚かれるであろう。 次は、いよいよLA(1/2)、LA(3/2)、・・を求めていくことにする。 |