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「その１」では、ｅとゼータが絡み合う不思議な等式１や等式２を導いたのですが、それらは極ζ(1)を除いた式となって
いました。ここでは、ζ(1)を含んだ式を出します。
「その１」で等式１を導きましたが、これは、もっとシンプルで本質的な形にできることに気付きました。
＜作用素の定理と統一的法則性の結合から出た式 その１＞を全面的に書き換えていきますが、出発点の視点を
ちょっと変えるだけですので、私の作用素の定理を使用する点など、本質的にはあまり変っていません。
まず、結論から書きましょう。導いた式は、次のものです。
e^x∫0～x e^(-x)・cosx/sinx ｄx
＝-2［｛1/(2^2+1)・(2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ ---①
リーマン・ゼータ関数の極ζ(1)まで含んだ不思議な式でしょう？
数学で重要なものがかなり含まれていますね。
上は次の奇数ゼータの中心母等式②に重回積分を重ねた一連の式を足し合わせ、それに作用素の定理（下の
定理３）を適用すると出てきます。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
「その１」では、②を１回積分した式を次のような形で表現していました。
log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)
もちろん、これは正しいのですが、次のように∫を残した形で書いておく方がより美しい形にできると気付いたの
です。
∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + 2｛1/2 + 1/4 +1/6 + 1/8 + ・・・・｝
＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + ζ(1) - log2 -------③
この式に延々と重回積分を重ねていけばよいわけです。
上で、ζ(1) - log2となっているのが不思議に思われるかと思いますが、１回積分の③式の左辺で
∫cosx/sinx dx＝［log|sinx|］(0～x)＝log|sinx| - lim（log|sinε|）（ε-->0）
となり、
- lim（log|sinε|）（ε-->0）＝1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ・・・・・
であることから、③式はたしかに成り立っています。この辺の詳細は、「いくつかの点」シリーズの「その１１」の
＜奇数ゼータの統一的法則性を究極の形へ＞を参照ください。
以下で①の導出を示していきますが、前準備として、まず作用素の定理（定理３）をかかげておきましょう。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）Ｇ（x）とは、つまり、∫Ｇ（x）dx+∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx+・・・のことですが、この定理
は、作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・）が、作用素e^x∫e^(-x)に等しいということを言った面白い定理です。
なお∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。
私は、作用素（∫+∫^2+∫^3+・・・）を”無限演算子”と名付けていました。
なおこの定理は、e^xに関する公式の発見 その３ で見つけていたものです。証明などはそちらをご覧ください。
以下で、①式の導出過程を示します。
［①式の導出］
「その１」と同じような議論を行います。
まずもう一度、奇数ゼータの中心母等式を書きますと、次のようになります。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
１回積分
∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・) + ζ(1) - log2
2回積分
∫∫cosx/sinx＝-2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・) + ｛ζ(1) - log2｝x
3回積分
∫∫∫cosx/sinx＝2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・)
- ζ(3)/2^2 + ｛ζ(1) - log2｝x^2/2！
4回積分
∫∫∫∫cosx/sinx＝2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・)
- ζ(3)/2^2・x + ｛ζ(1) - log2｝x^3/3！
5回積分
∫∫∫∫∫cosx/sinx＝-2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・)
+ ζ(5)/2^4 - ζ(3)/2^2・x^2/2！+ ｛ζ(1) - log2｝x^4/4！
6回積分
∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝-2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・)
+ ζ(5)/2^4 ・x - ζ(3)/2^2・x^3/3！+ ｛ζ(1) - log2｝x^5/5！
7回積分
∫∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・)
- ζ(7)/2^6 + ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ - ζ(3)/2^2・x^4/4！ + ｛ζ(1) - log2｝x^6/6！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫∫cosx/sinx＝2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・)
- ζ(7)/2^6 ・x + ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ - ζ(3)/2^2・x^5/5！+ ｛ζ(1) - log2｝x^7/7！
・
・
と、このように延々と続いていきます。
さて、上を縦に全部足し合わせて整理すると、次のようになります。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）cosx/sinx ｄx
＝-2［｛1/(2^2+1)・(2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ -----④
さて、この④の左辺に、「定理３」を適用すると、次のようになります。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）cosx/sinx ｄx＝e^x∫0～x e^(-x)cosx/sinx ｄx -----⑤
よって、この④と⑤から、目標の①が出ます。
e^x∫0～x e^(-x)・cosx/sinx ｄx
＝-2［｛1/(2^2+1)・(2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ ---①
上は、e^(-x)・cosx/sinxを無限級数に展開したときの収束半径がπであることから、0 ＝< |ｘ| < πで成り立ちます。
このように①式が導けました。
導出終わり。
また、同じことですが、①式は両辺をe^xで割って、もちろん次のように書くこともできます。
∫0～x e^(-x)・cosx/sinx ｄx
＝-2［e^(-x)｛1/(2^2+1)・(2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ ---⑥
註：言わずもがなの注意ですが、①や⑥の右辺のｘ に対応するのは左辺では∫0～x のｘであり、e^(-x)cosx/sinxdxはe^(-t)cost/sintdt の
ように表現してもよいのです。
註：左辺は、もちろん、e^x∫0～x e^(-x)・cotx ｄxでもOKです。
一つ上の等式1-2(次式）で少し遊んでみましょう。
e^x∫0～x e^(-x)・cosx/sinx ｄx
＝-2［｛1/(2^2+1)・(2cos2x + sin2x) + 1/(4^2+1)・(4cos4x + sin4x)
+ 1/(6^2+1)・(6cos6x + sin6x) + 1/(8^2+1)・(8cos8x + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すればどうなるでしょうか。左辺の積分項は消え、右辺から次のような式が出ます。
log2/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ・・・
＝-｛2/(2^2+1) + 4/(4^2+1) + 6/(6^2+1) + 8/(8^2+1) + ・・・ ---①
面白い式が出てきました。
この式の正しさは、数値計算に頼らずとも、じつは簡単に検証することができます。
右辺から左辺を初等的に導けるのですが、考えてみてください。
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか。
e^(π/2)∫0～π/2 e^(-x)・cosx/sinxｄx
＝2[｛2/(2^2+1) - 4/(4^2+1) + 6/(6^2+1) - 8/(8^2+1) + ・・・｝
- e^(π/2)・｛(log2)/2 - ζ(1)/2 + ζ(3)/2^3 - ζ（5）/2^5 + ζ(7)/2^7 - ・・・｝]
となりますが、右辺をさらに変形することで、次のような形にできます。
e^(π/2)∫0～π/2 e^(-x)・cosx/sinxｄx
＝｛log2 - (1-1/2^2)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^4)ζ（5）/2^4 - (1-1/2^6)ζ(7)/2^6 + ・・・｝
- e^(π/2)・｛log2 - ζ(1) + ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ・・・｝
あるいは、両辺をe^(π/2)で割れば、次のようになります。
∫0～π/2 e^(-x)・cosx/sinxｄx
＝e^(-π/2)・｛log2 - (1-1/2^2)ζ(3)/2^2 + (1-1/2^4)ζ（5）/2^4 - (1-1/2^6)ζ(7)/2^6 + ・・・｝
- ｛log2 - ζ(1) + ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ・・・｝
この式は、e^(-x)・cosx/sinxという関数を0～π/2の範囲で積分すれば奇数ゼータの無限和が出現するという
ことを表しています。
次に、偶数Ｌ関数の中心母等式（次①式）も上と同様に書き換えていきましょう。
ここでも本質的には「その１」の＜作用素の定理と統一的法則性の結合 -- その２＞の類似を行うわけです。
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----①
結論からいえば、次のような興味深い式がでます。
e^x∫0～x e^(-x)・(1/sinx)ｄx
＝2［-｛Ｌ（0)(cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) +・・｝］---②
②の導出過程を示します。
［導出方法］
もう一度、偶数Ｌ関数の中心母等式を書きますと、次のようになります。（詳細はその１２参照）
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ----②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
１回積分
∫1/sinx＝-2(cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・) + 2(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7・・・・)
＝-2(cosx + cos3x/3 + cos5x/5 + ・・・) + ζ(1) + log2 --------③
2回積分
∫∫1/sinx＝-2(sinx + sin3x/3^2 + sin5x/5^2 + ・・・) + ｛ζ(1) + log2｝x
3回積分
∫∫∫1/sinx＝2(cosx + cos3x/3^3 + cos5x/5^3 + ・・・) - 2(1-1/2^3)ζ(3) + ｛ζ(1) + log2｝x^2/2！
4回積分
∫∫∫∫1/sinx＝2(sinx + sin3x/3^4 + sin5x/5^4 + ・・・) - 2(1-1/2^3)ζ(3)x + ｛ζ(1) + log2｝x^3/3！
5回積分
∫∫∫∫∫1/sinx＝-2(cosx + cos3x/3^5 + cos5x/5^5 + ・・・)
+ 2(1-1/2^5)ζ(5) - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^2/2！ + ｛ζ(1) + log2｝x^4/4！
6回積分
∫∫∫∫∫∫1/sinx＝-2(sinx + sin3x/3^6 + sin5x/5^6 + ・・・)
+ 2(1-1/2^5)ζ(5)x - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^3/3！ + ｛ζ(1) + log2｝x^5/5！
7回積分
∫∫∫∫∫∫∫1/sinx＝2(cosx + cos3x/3^7 + cos5x/5^7 + ・・・)
-2 (1-1/2^7)ζ(7) + 2(1-1/2^5)ζ(5)x^2/2！ - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^4/4！ + ｛ζ(1) + log2｝x^6/6！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫∫1/sinx＝2(sinx + sin3x/3^8 + sin5x/5^8 + ・・・)
-2(1-1/2^7)ζ(7)x + 2(1-1/2^5)ζ(5)x^3/3！ - 2(1-1/2^3)ζ(3)x^5/5！ + ｛ζ(1) + log2｝x^7/7！
・
・
と、このようになります。
上の③で、ζ(1) + log2となっているのが不思議に思われるかと思いますが、
ζ(1) + log2＝2(1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ・・・・) が成立することから③が言えるのですが、この辺の詳細は、
「いくつかの点」シリーズの「その１２」の＜偶数Ｌ関数の統一的法則性 （別形式）＞を参照ください。
さて、上を縦に全部足し合わせ整理すると次のようになります。
(∫+∫∫+∫∫∫+・・・)(1/sinx)ｄx
＝2［｛-Ｌ（0)sinx - Ｌ(0)cosx - 1/(3^2+1)・(3cos3x+sin3x)
- 1/(5^2+1)・(5cos5x+sin5x) - 1/(7^2+1)・(7cos7x+sin7x) - ・・・｝
+ ｅ＾x｛｛ζ(1)+log2｝/2 - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・｝］ ---④
さて、この左辺に、「定理３」（冒頭参照）を適用すると、次のようになります。
（∫+∫^2+∫^3+・・・）(1/sinx)＝e^x∫0～x e^(-x)・(1/sinx)ｄx --------⑤
よって、少し④を整理し、④と⑤から目標の次の式が出ます。
e^x∫0～x e^(-x)・(1/sinx)ｄx
＝2［-｛Ｌ（0)(cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・｝］ ---②
e^(-x)・(1/sinx)の収束半径がπであることと冒頭の定理から、②は0 ＝< |ｘ| < πの範囲で成立します。
このように②式が導けました。
導出終わり。
まとめておきます。L(0)＝1/2ですから、それに置き換えて書きました。
一つ上での等式2-2（次式）でいくつかの具体的な計算値を見てみましょう。
e^x∫0～x e^(-x)・(1/sinx)ｄx
＝2［-｛Ｌ（0)(cosx+sinx) + 1/(3^2+1)・(3cos3x+sin3x)
+ 1/(5^2+1)・(5cos5x+sin5x) + 1/(7^2+1)・(7cos7x+sin7x) + ・・・｝
+ ｅ＾x｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すればどうなるでしょうか。左辺の積分項は消え、右辺から次のような式が出ます。
｛ζ(1)+log2｝/2 - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・
＝1/2 + 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + ・・・
これは、次のような綺麗な形にまとめることができます。
log2/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・
＝1/(1^2+1) + 3/(3^2+1) + 5/(5^2+1) + 7/(7^2+1) + ・・・
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか。
e＾(π/2)∫0～π/2 e^(-x)・(1/sinx)ｄx ＝2［｛(Ｌ(0)-1) - (L(2)-1) + (L(4)-1) - (L(6)-1) + (L(8)-1) - ・・・｝ + ｅ＾(π/2)｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・｝]
あるいは、両辺をe^(π/2)で割れば、次のようになります。
∫0～π/2 e^(-x)・(1/sinx)ｄx
＝2［ｅ＾(-π/2)｛(Ｌ(0)-1) - (L(2)-1) + (L(4)-1) - (L(6)-1) + (L(8)-1) - ・・・｝ + ｛(log2)/2 + (1-1/2^1)ζ(1) - (1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + ・・・｝]
この式は、e^(-x)・1/sinxという関数を0～π/2の範囲で積分すれば奇数ゼータと偶数L関数の無限和が出現する
という面白いことを語っています。
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