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「その１」とはまた別の同類の作用素定理と、統一的法則性を結びつけました。「その１」とほぼ類似の議論を展開
します。
「その１」とは同類で別の定理と統一的法則性を結合させました。
その定理とは、e^xに関する公式の発見 その３ で私が見出していた次の美しい定理です。
（∫-∫^2+∫^3-・・・）Ｇ（x）とは、つまり、∫Ｇ（x）dx-∫^2Ｇ（x）dxdx+∫^3Ｇ（x）dxdxdx-・・・のことですが、この定理
は、作用素（∫-∫^2+∫^3 -・・・）が、作用素e^(-x)∫e^xに等しいということを言った面白い定理です。
なお∫^2は２回積分∫∫・・dxdxを、∫^3は３回積分∫∫∫・・dxdxdxを表しています。
「その１」では、定理３と統一的法則性の相性がよく不思議な等式がいくつも出現したのですが、「その１」との類推
から、この定理４でも二つは同様に相性がよくなることはすぐにわかるでしょう。
統一的法則性は、重回積分の規則でした。また、上の定理は、重回積分に関する定理です。
よって、必然的に相性がよくなるわけです。
今回、この定理４と統一的法則性を結びつけることで、面白い等式を出すことができました。
まず結論から書きます。その等式とは次のものです。
e^(-x)∫0～x e^xlog(2sinx)dx
＝2［-｛1/(2^2+1)(cos2x/2 + sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 + sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 + sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ -----①
やはり奇数ゼータ値の無限和が出現する不思議な式となりました。
意味は、「e^x・log(2sinx)という関数を0～xで一回積分してe^(-x)をかけたら右辺になる」というのです。
右辺は「三角関数のきれいな無限和」と「奇数ゼータ値の無限和にｅ^(-x)がかかった関数」の和となっています。
さて、①式をどうやって導いたかですが、上の「定理４」と「統一的法則性」を組み合わせて導きました。
その導出過程を次に示します。
［①式の導出］
「その１」と同様にゼータ関数の・・ その１１の議論を利用していきます。
さてまず、奇数ゼータの中心母等式を書きますと、次のようになります。
cosx/sinx＝2(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・） ------②
この②をひたすら重回積分した式を書いていきます。すべての∫は0～xの定積分、またdx・・dxは略しました。
ただし３回以降の奇数回積分のところは両辺に”-1”をかけました。
１回積分
log(2sinx)＝-2(cos2x/2 + cos4x/4 + cos6x/6 + ・・・)
2回積分
∫log(2sinx)＝-2(sin2x/2^2 + sin4x/4^2 + sin6x/6^2 + ・・・)
3回積分
-∫∫log(2sinx)＝-2(cos2x/2^3 + cos4x/4^3 + cos6x/6^3 + ・・・) + ζ(3)/2^2
4回積分
∫∫∫log(2sinx)＝2(sin2x/2^4 + sin4x/4^4 + sin6x/6^4 + ・・・) - ζ(3)/2^2・x/1！
5回積分
-∫∫∫∫log(2sinx)＝2(cos2x/2^5 + cos4x/4^5 + cos6x/6^5 + ・・・) - ζ(5)/2^4 + ζ(3)/2^2・x^2/2！
6回積分
∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝-2(sin2x/2^6 + sin4x/4^6 + sin6x/6^6 + ・・・) + ζ(5)/2^4 ・x/1！ - ζ(3)/2^2・x^3/3！
7回積分
-∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝-2(cos2x/2^7 + cos4x/4^7 + cos6x/6^7 + ・・・) + ζ(7)/2^6 - ζ(5)/2^4 ・x^2/2！ + ζ(3)/2^2・x^4/4！
8回積分
∫∫∫∫∫∫∫log(2sinx)
＝2(sin2x/2^8 + sin4x/4^8 + sin6x/6^8 + ・・・) - ζ(7)/2^6 ・x/1！ + ζ(5)/2^4 ・x^3/3！ - ζ(3)/2^2・x^5/5！
・
・
と、このように延々と続いていきます。
ここで、もちろんζ(s)はリーマン・ゼータ関数で次のものです。
ζ(s)＝1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ・・・
さて、上の2回積分以降の式を縦に全部足し合わせていくと、次のようになります。（途中略しましたが）
（∫-∫^2+∫^3 -・・・）log(2sinx)
＝2［-｛1/(2^2+1)(cos2x/2 + sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 + sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 + sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ -----③
さて、この③の左辺に、「定理３」を適用すると次のようになります。
（∫-∫^2 +∫^3 -・・・）log(2sinx)＝e^(-x)∫0～x e^x log(2sinx)ｄx --------④
よって、この③と④から目標の次の式が出ます。
e^(-x)∫0～x e^xlog(2sinx)dx
＝2［-｛1/(2^2+1)(cos2x/2 + sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 + sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 + sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ -----①
上は、log(2sinx)を無限級数に展開したときの収束半径がπであることから、0 ＝< |ｘ| < πで成り立ちます。
このように①式が導けました。
導出終わり。
また同じことですが、①式は両辺をe^(-x)で割って、もちろん次のように書くこともできます。
∫0～x e^xlog(2sinx)dx
＝2［-e^x｛1/(2^2+1)(cos2x/2 + sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 + sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 + sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 + sin8x) +・・・｝
+ ｛ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］ -----⑤
註：言わずもがなの注意ですが、①や⑤の右辺のｘに対応するのは左辺では∫0～x のｘであり、e^xlog(2sinx)dx はe^tlog(2sint)dt の
ように表現してもよいのです。
最後に、等式１としてまとめておきます。
一つ上で導いた式（次式）で少し遊びましょう。
e^(-x)∫0～x e^xlog(2sinx)dx
＝2［-｛1/(2^2+1)(cos2x/2 + sin2x) + 1/(4^2+1)(cos4x/4 + sin4x)
+ 1/(6^2+1)(cos6x/6 + sin6x) + 1/(8^2+1)(cos8x/8 + sin8x) +・・・｝
+ ｅ＾(-x)｛ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・｝］
（ 0 ＝< |ｘ| < π ）
例えば、x＝0を代入すると、左辺の積分項は消え、次のような式が出ます。
ζ(3)/2^3 - ζ(5)/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ(9)/2^9 + ・・・
＝1/｛2(2^2+1)｝ + 1/｛4(4^2+1)｝ + 1/｛6(6^2+1)｝ + 1/｛8(8^2+1)｝ + ・・・ ---①
「奇数に対応する母関数」の式と一致しているのでした。
次に、x＝π/2を代入すれば、どうなるでしょうか。
e^(-π/2)∫0～π/2 e^xlog(2sinx)ｄx
＝2[｛1/(2^2+1)・(1/2) - 1/(4^2+1)・(1/4) + 1/(6^2+1)・(1/6) - 1/(8^2+1)・(1/8) + ・・・｝
+ e^(-π/2)・｛ζ(3)/2^3 - ζ（5）/2^5 + ζ(7)/2^7 - ζ（9）/2^9 + ・・・｝]
となります。
右辺の数値の並びを変形することで、さらに次のような形にできます。
e^(-π/2)∫0～π/2 e^xlog(2sinx)ｄx
＝｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)
+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝
+ e^(-π/2)・｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝
あるいは、両辺をe^(-π/2)で割れば、次のようになります。
∫0～π/2 e^xlog(2sinx)ｄx
＝e^(π/2)｛1/2^2・(1-1/2^2)ζ(3) - 1/2^4・(1-1/2^4)ζ(5)
+ 1/2^6・(1-1/2^6)ζ(7) - 1/2^8・(1-1/2^8)ζ(9) + ・・・｝
+ ｛ζ(3)/2^2 - ζ（5）/2^4 + ζ(7)/2^6 - ζ（9）/2^8 + ・・・｝
この式は結局なにを示しているかというと、e^x・log(2sinx)という関数を0～π/2の範囲で積分すれば
奇数ゼータの無限和になる・・ということを表しています。
e^x・log(2sinx)に積分(0～π/2)を作用させると無数の奇数ゼータが生み出されていくといえるのです。
足し合わせることにより、興味深い等式２を導きましたが、ここでも同類の議論を行います。
1/sinx＝2(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + sin9x + ・・・・・） ------①
①に対し本ページ冒頭の議論と同じように計算し、最後に冒頭の（∫-∫^2 +∫^3 -・・・）＝e^(-x)∫0～x e^x を適用
すると、次の等式2Bを得ます。
冒頭のやり方と「その１」＜作用素の定理と・・ -- その２＞との類似ですから、途中は容易に推測できると思われ、
過程は省略しました。
この等式2Bに、少し具体的な数値を当てはめてみましょう。
例えば、x＝0を代入してみます。左辺の積分項は消え、次の式が得られます。
(1-1/2^3)ζ(3) - (1-1/2^5)ζ(5) + (1-1/2^7)ζ(7) - (1-1/2^9)ζ(9) + ・・
＝1/1(1^2+1) + 1/3(3^2+1) + 1/5(5^2+1) + 1 /7(7^2+1) + ・・・
「その１」の等式１の具体的計算--その２で出したのと同じ式が出ました。
次に、x＝π/2を代入してみましょう。
e＾(-π/2)∫0～π/2 e^xlog｛cot(x/2)｝ｄx ＝2［｛1/2 - 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) + ・・・｝ + ｅ＾(-π/2)｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝] ----②
このような式が出ますが、右辺の1/2 - 1/(3^2+1) + 1/(5^2+1) - 1/(7^2+1) + ・・・をさらに変形してまとめると、
②は次のようになります。
e＾(-π/2)∫0～π/2 e^xlog｛cot(x/2)｝ｄx ＝2［｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ + ｅ＾(-π/2)｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝] ---③ 具体的計算--その２で導出したのと似た不思議な式が出ました。 数学で重要なものがかなり含まれています。π、e、sin、cos、自然対数log、偶数L関数と奇数ゼータ、積分、
無限級数・・が出てきます。
③は両辺をe＾(π/2)で割って、もちろん次のようにも表せます。
∫0～π/2 e^xlog｛cot(x/2)｝ｄx
＝2［ｅ＾(π/2)｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝ + ｛-(1-1/2^3)ζ(3) + (1-1/2^5)ζ(5) - (1-1/2^7)ζ(7) + (1-1/2^9)ζ(9) - ・・｝] ---③ この③は、結局 e^x・log｛cot(x/2)｝という関数を0～π/2で定積分すると右辺のようになる、ということを 示していますが、もっと別の表現をすれば、 e^x・log｛cot(x/2)｝に積分(0～π/2)を作用させると、次々に
偶数L関数と奇数ゼータが生み出されていくことを表しているともいえます。
まとめておきます。
「その１」の＜作用素の定理と・・-- その３＞での類似を行いです。そこでは、奇数ゼータと偶数Ｌ関数の母体を
両方ふくんだ次式①の重回積分の結果に、作用素の定理３を適用したのでした。
なお左辺の(sinx + sin3x + ・・）は偶数Ｌ関数の生成母体、右辺は奇数ゼータの生成母体です。
(sinx + sin3x + sin5x + sin7x + ・・・）cosx＝(sin2x + sin4x + sin6x + sin8x + ・・・・・） ------①
さて、冒頭からの流れから、この①の重回積分の式群に、作用素の定理４（冒頭）を作用させた場合を
調べてみましょう。
（ただし、この①式は、上のその１、その２で用いた式から出ますので、本質的にはその１、その２で議論は尽きて
いますが、念のため、次の①式での考察も行います。）
冒頭のやり方と「その１」＜作用素の定理と・・ -- その３＞との類似ですから、途中は省略します。
（∫-∫^2 +∫^3 -・・・）＝e^(-x)∫0～x e^xの定理４を適用して得られる結果だけを書きます。
これに、x＝0を代入してみましょう。左辺の積分項は消え、次の式が出ます。
(1-1/2^2)ζ(3) - (1-1/2^4)ζ(5) + (1-1/2^6)ζ(7) - (1-1/2^8)ζ(9) + ・・
＝1/2 - 1/2(1^2+1) + 1/3(3^2+1) - 1/4(4^2+1) + 1/5(5^2+1) - ・・・
これは＜作用素の定理と・・ -- その３＞で導いたものと同じ式です。
次に、x＝π/2を代入してみましょう。
e＾(-π/2)∫0～π/2 e^xlog｛2cos(x/2)｝ｄx
＝｛-(Ｌ(0)-1) + (L(2)-1) - (L(4)-1) + (L(6)-1) - (L(8)-1) + ・・・｝
+ ｛(1-1/2^2)ζ(3)/2^3 - (1-1/2^4)ζ(5)/2^5 + (1-1/2^6)ζ(7)/2^7 - (1-1/2^8)ζ(9)/2^9 + ・・｝
+ e＾(-π/2)｛-(1-1/2^2)ζ(3) + (1-1/2^4)ζ(5) - (1-1/2^6)ζ(7) + (1-1/2^8)ζ(9) - ・・｝
優雅な式です。関数e^x・log｛2cos(x/2)｝に積分を作用させる（0～π/2）と、偶数L関数と奇数ゼータが生み出
されるという式になっています。
このページでは、等式１Ｂ、２Ｂ、３Ｂの３パターンの式を導きました。最後に整理する意味でまとめておきます。
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