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∑1/n^k・(n^2-1)を調べた。
「その４」で、ゼータの香り漂う式∑1/n^k・(n^2+1)を調べた。ここではその兄弟ともいえる∑1/n^k・(n^2-1)を調べたい。
k＝1，2，3，4の場合を見る。次である。
1/(2・(2^2-1)) ＋ 1/(3・(3^2-1)) ＋ 1/(4・(4^2-1)) ＋・・ ----①
1/(2^2・(2^2-1)) ＋ 1/(3^2・(3^2-1)) ＋ 1/(4^2・(4^2-1)) +・・ ----②
1/(2^3・(2^2-1)) ＋ 1/(3^3・(3^2-1)) ＋ 1/(4^3・(4^2-1)) +・・ ----③
1/(2^4・(2^2-1)) ＋ 1/(3^4・(3^2-1)) ＋ 1/(4^4・(4^2-1)) +・・ ----④
①で異変が起こる。なお、ここで活躍する中心的なフーリエ級数の公式は、
1/2 + (cosx)/4 + ((x-π)sinx)/2＝cos2x/(2^2-1) ＋ cos3x/(3^2-1) ＋ cos4x/(4^2-1) ＋・・ (0 <=x<=π）
である。（これは、例えば「数学公式Ⅱ」（森口・宇田川・一松著、岩波書店）p.251を参照）
以下順にみていこう。まずは①から。
k＝1の場合、すなわち、
1/(2(2^2-1)) ＋ 1/(3(3^2-1)) ＋ 1/(4(4^2-1)) + ・・ ----①
を導出する。
[∑1/(n(n^2-1))導出]
①の形から、次のSin級数
ｆ(x)＝sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/(2(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
1/(3(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
1/(4(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin4x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(2(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos2x/2) dx
1/(3(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos3x/3) dx
1/(4(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(2(2^2-1)) ＋ 1/(3(3^2-1)) ＋ 1/(4(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos2x/2+cos3x/3+・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
cos2x/(2^2-1) ＋ cos3x/(3^2-1) ＋ cos4x/(4^2-1) ＋・・＝1/2 + (cosx)/4 + ((x-π)sinx)/2 (0 <=x<=π）
cosx/1 + cos2x/2 + cos3x/3 + ・・＝-log(2sin(x/2)) (0<x<2π)
を③に代入して、整理すると、
1/(2(2^2-1)) ＋ 1/(3(3^2-1)) ＋ 1/(4(4^2-1)) + ・・
＝(1/π)∫(0～π) ｛(π-x)sinx-1-(cosx)/2｝(cosx+log(2sin(x/2)) dx ----⑤
となる。
[終わり]
さて、⑤は、右辺の積分中にlog(sinx)の形が出てきて、明らかに奇数ゼータの心をもっているようにみえる。
よって、これ以上は計算を進めてもむだと判断するのが妥当であろう。私は左辺の積分表示が得られたのに満足し、
⑤式の検証のために数値計算を行った。Excel計算の結果、左辺は0.2500・・となった！
これはなにかあるのか？
よくみると、左辺は、
1/(2(2^2-1)) ＋ 1/(3(3^2-1)) ＋ 1/(4(4^2-1)) + ・・
＝1/(2・3) ＋ 1/(3・8) ＋ 1/(4・15) + ・・
＝1/(1・2・3) ＋ 1/(2・3・4) ＋ 1/(3・4・5) + ・・
＝(1/2)｛(1/2-1/6) ＋ (1/6-1/12)＋ (1/12-1/20) + ・・｝
＝1/4
と変形できることがわかった。この巧妙な変形が偶然に？存在しているために、右辺は奇数ゼータの顔をしているにも
かかわらず、値は求まってしまうのである。こんな異変がk＝1の場合は起こっていた。
k＝2の場合、すなわち、
1/(2^2(2^2-1)) ＋ 1/(3^2(3^2-1)) ＋ 1/(4^2(4^2-1)) + ・・ ----①
を導出する。
[∑1/(n^2(n^2-1))導出]
①の形から、次のCos級数
ｆ(x)＝cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/(2^2(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^2(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^2(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(2^2(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^2(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^2(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(2^2(2^2-1)) ＋ 1/(3^2(3^2-1)) ＋ 1/(4^2(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2+sin3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、上式は
1/(2^2(2^2-1)) ＋ 1/(3^2(3^2-1)) ＋ 1/(4^2(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos2x/2^2+cos3x/3^2+・・) dx ---③
ここでフーリエ級数の公式
cos2x/(2^2-1) ＋ cos3x/(3^2-1) ＋ cos4x/(4^2-1) ＋・・＝1/2 + (cosx)/4 + ((x-π)sinx)/2 (0 <=x<=π）
cosx/1^2 + cos2x/2^2 + cos3x/3^2 + ・・＝(x-π)^2/4 - π^2/12 (0<=x<=2π)
を③に代入して、整理すると
1/(2^2(2^2-1)) ＋ 1/(3^2(3^2-1)) ＋ 1/(4^2(4^2-1)) + ・・
＝(1/(4π))∫(0～π) ｛(cosx)/2+1+(x-π)sinx｝((x-π)^2-π^2/3) dx ----④
となる。
[終わり]
④の右辺の積分は、計算できて、明示的な形で値が求まる。実際に計算するのはたいへんなので④のままでおく。
検証においては左辺のExcel数値計算の結果と、右辺の定積分の値が一致することで確認した。（その際、定積分
を計算できるフリーの計算ソフトBearGraphを用いた）
k＝3の場合、すなわち、
1/(2^3(2^2-1)) ＋ 1/(3^3(3^2-1)) ＋ 1/(4^3(4^2-1)) + ・・ -----①
を導出する。
[∑1/(n^3(n^2-1))導出]
①の形から、Sin級数
ｆ(x)＝sin2x/(2^3(2^2-1))＋sin3x/(3^3(3^2-1))＋sin4x/(4^3(4^2-1))＋・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/(2^3(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin2x dx
1/(3^3(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin3x dx
1/(4^3(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・sin4x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから簡単な計算から次となる。
1/(2^3(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・)・(cos2x/2) dx
1/(3^3(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・)・(cos3x/3) dx
1/(4^3(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・)・(cos3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(2^3(2^2-1)) ＋ 1/(3^3(3^2-1)) ＋ 1/(4^3(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・)・(cos2x/2+cos3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、上式は
1/(2^3(2^2-1)) ＋ 1/(3^3(3^2-1)) ＋ 1/(4^3(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2^2+sin3x/3^2+・・) dx
1/(2^3(2^2-1)) ＋ 1/(3^3(3^2-1)) ＋ 1/(4^3(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos2x/2^3+cos3x/3^3+・・) dx ---③
③積分内の後の方の
cos2x/2^3+cos3x/3^3+cos4x/4^3+・・
を明示的に表現するフーリエ級数の公式は存在しない。公式集ではまったく醜い表示となっている。
cosx/1^3 + cos2x/2^3 + cos3x/3^3 + ・・＝ζ(3) + (x^2/2)log2 + ∫(0～x) (x-t)log(sin(t/2))dt (0 <=x< 2π)
これ以上は止める。
[終わり]
k＝3の場合は、奇数ゼータと同様、きれいに求まらない。それを回避するために、Sin級数ではなく、Cos級数から出発
しようと思っても、③の段階で利用することになる sin2x/(2^2-1)＋sin3x/(3^2-1)＋sin4x/(4^2-1)＋・・の公式が公式集
にないので、どうもにならない。
k＝4の場合、すなわち、
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・ ----①
を導出する。
[∑1/(n^4(n^2-1))導出]
①の形から、次のCos級数
ｆ(x)＝cos2x/(2^4(2^2-1))＋cos3x/(3^4(3^2-1))＋cos4x/(4^4(4^2-1))＋・・ -----②
を考える。周期は2π。
この級数の直交性を用いて、
1/(2^4(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos2x dx
1/(3^4(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos3x dx
1/(4^4(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) ｆ(x)・cos4x dx
・
・
これらの右辺を部分積分する。ｆ(x)は②であるから、簡単な計算から次となる。
1/(2^4(2^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3(2^2-1))＋sin3x/(3^3(3^2-1))＋sin4x/(4^3(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2) dx
1/(3^4(3^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3(2^2-1))＋sin3x/(3^3(3^2-1))＋sin4x/(4^3(4^2-1))＋・・)・(sin3x/3) dx
1/(4^4(4^2-1))＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3(2^2-1))＋sin3x/(3^3(3^2-1))＋sin4x/(4^3(4^2-1))＋・・)・(sin3x/3) dx
・
・
これらを縦に足し合わせて
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2^3(2^2-1))＋sin3x/(3^3(3^2-1))＋sin4x/(4^3(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2+sin3x/3+・・) dx
Sin-Cos移動の法則（部分積分）より、上式右辺は次のように機械的に変形できる。
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2(2^2-1))＋cos3x/(3^2(3^2-1))＋cos4x/(4^2(4^2-1))＋・・)・(cos2x/2^2+cos3x/3^2+・・) dx
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (sin2x/(2(2^2-1))＋sin3x/(3(3^2-1))＋sin4x/(4(4^2-1))＋・・)・(sin2x/2^3+sin3x/3^3+・・) dx
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・
＝(2/π)∫(0～π) (cos2x/(2^2-1)＋cos3x/(3^2-1)＋cos4x/(4^2-1)＋・・)・(cos2x/2^4+cos3x/3^4+・・) dx ----③
ここでフーリエ級数の公式
cos2x/(2^2-1) ＋ cos3x/(3^2-1) ＋ cos4x/(4^2-1) ＋・・＝1/2 + (cosx)/4 + ((x-π)sinx)/2 (0 <=x<=π）
cosx/1^4 + cos2x/2^4 + cos3x/3^4 + ・・＝(1/48)｛2π^2(x-π)^2-(x-π)^4-7π^4/15｝ (0<=x<=2π)
を③に代入して、整理すると、
1/(2^4(2^2-1)) ＋ 1/(3^4(3^2-1)) ＋ 1/(4^4(4^2-1)) + ・・
＝(1/(48π))∫(0～π) ｛(cosx)/2+1+(x-π)sinx｝｛2π^2(x-π)^2-(x-π)^4-7π^4/15｝ dx ----④
となる。
[終わり]
④の右辺の積分は計算できて、明示的な形で値が求まる。実際に計算するのはたいへんなので④のままでおく。
左辺、右辺の一致をみる数値的検証は行った。
この頁の全てをまとめておく。
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