＜ C2(α)の追加の実験結果 ＞

＜ S2(α)の追加の実験結果 ＞

　C2(α)のζ(ｓ)非自明な零点の虚部αnでの新たな検証結果を追加しました。S2(α)も同様に調べた。

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2006/11/27 　　　　　　　　　　　　＜ C2(α)の追加の実験結果 ＞

　少し復習しますと、「その１」の＜C2(α)の実験結果＞で、B(1/2+i・α)のC2(α)とS2(α)を同時に0とするαが、

リーマン予想に関係するζ(1/2+i・α)の非自明な零点の虚部αnであることを示しました。

その実験検証の結果としては、非自明の零点の虚部αnの１番目から８番目までの零点を調べました。

次のサイトの零点の値を利用してα1〜α8とその周辺の点を検証したのでした。

http://www.oa.uj.edu.pl/user/maslanka/zeros.html

　今回、さらに、別の零点でも�@がほんとうに0になるか、またそれ以外の点では0にならないかを検証したので

お知らせします。結論を先に述べれば、この追加した検証実験でも「その１」同様、まったく私の考えを支持する結果

を与えました。

　新たに調べたのは上サイトのα9,α10の２点、α36〜α40の５点、そしてα96〜α100の５点の非自明な零点と

その周辺の点です。零点は次の通り。

　α9＝48.005150881167
α10＝49.773832477672

α36＝114.3202209154527

α37＝116.226680320857

α38＝118.7907828659762

α39＝121.370125002420

α40＝122.94682929355

α96＝229.337413305525

α97＝231.250188700499

α98＝231.987235253180

α99＝233.693404178908

α100＝236.524229665816

C2(α)は次です。

　C2(α)＝1 - cos(α・log2) /√2 + cos(α・log3) /√3 - cos(α・log4) /√4 + ・・・・

　＜C2(α)の実験結果＞とほぼ同様の形で調べました。

この式のαに零点他いろいろな値を代入して初項からｎ項までの和を求めた結果が以下の表となります。

赤字が零点。

�@は「１００項までの和」、�Aは「１０００項までの和」、�Bは「１０^4項までの和」、�Cは「１０^5項までの和」、

�Dは「１０^6項までの和」、�Eは「１０^7項までの和」を表す。

　αnだけ他よりもすこし詳しく調べています。�Cまでで止めたものも多くある。

また例えば�Bと�Cの間の数は、その中間の「5×10^4項までの和」を表します。他も同様。

α＝46	α＝47.9	α9＝48.0051・・	α＝48.1	α＝49
�@0.03746888 �A0.052063129 �B0.042560134 　0.037515713 �C0.038400585	�@-0.007960537 �A0.031311515 �B0.022210782 　0.025508706 �C0.023093657	�@-0.008668983 �A-0.003045497 �B0.003416931 　0.00112657 �C-0.001535687 �D0.000471437 �E-0.0000958108	�@0.075396645 �A0.049953745 �B0.066815449 　0.060754626 �C0.060781615	�@1.559677201 �A1.597684309 �B1.606486126 　1.610463267 �C1.608500254

α＝49.6	α10＝49.7738・・	α＝49.9
�@0.423258831 �A0.398425926 �B0.384296746 　0.384885931 �C0.381800837	�@0.05100799 �A0.002426241 �B-0.004861182 　0.000533277 �C-0.000464216 �D0.000468324 �E0.0000641155	�@-0.105446616 �A-0.154798247 �B-0.147406296 　-0.146417834 �C-0.142954852

α＝113	α＝114.2	α36＝114.3202・・	α＝114.4	α＝115
�@3.436595812 �A3.485933235 �B3.48985136 　3.488669226 �C3.48528093	�@-0.072001535 �A-0.041682273 �B-0.05226137 　-0.055111445 �C-0.056336436	�@-0.043342945 �A0.005537154 �B0.0043871 　-0.001447129 �C0.001559252 �D0.00033787 �E0.0000126624	�@0.144181408 �A0.196083157 �B0.20078053 　0.196897461 �C0.200288327	�@2.909050632 �A2.880665817 �B2.870363432 　2.863735019 �C2.866229559

α＝116.1	α37＝116.2266・・	α＝116.4	α＝117	α＝118.7
�@-0.303737751 �A-0.271358888 �B-0.282550176 　-0.282671855 �C-0.280515614	�@0.011017148 �A-0.003866311 �B0.003519207 　-0.001370583 �C-0.001546799 �D0.00046486 �E-0.000090223	�@0.668152033 �A0.602788763 �B0.621956558 　0.620592279 �C0.618834506	�@1.180621649 �A1.224937947 �B1.219801046 　1.217019253 �C1.21598500	�@0.230478587 �A0.296078285 �B0.275266318 　0.282108582 �C0.281847364

α38＝118.7907・・	α＝118.9	α＝120	α＝121.2	α39＝121.3701・・
�@-0.031862138 �A0.012299317 �B-0.003354976 　0.002076776 �C0.000804192 �D-0.000160501 �E0.0000188521	�@-0.39116626 �A-0.385691868 �B-0.386486308 　-0.387800825 �C-0.388868888	�@3.652264033 �A3.695168984 �B3.705672727 　3.711212391 �C3.708659031	�@-0.116632587 �A-0.061321607 �B-0.059494364　 　-0.061484133 �C-0.063439164	�@-0.057185593 �A0.014879596 �B-0.004286576 　-0.00223586 �C0.001226538 �D-0.000341047 �D0.0000910783

α＝121.5	α＝122	α＝122.8	α40＝122.9468・・	α＝123.1
�@0.344825552 �A0.394321457 �B0.37683826 　0.380462992 �C0.381889645	�@2.150957173 �A2.080208612 �B2.08793127 　2.088625416 �C2.092054321	�@-0.022335627 �A0.010549297 �B0.021311209 　0.028481738 �C0.024724258	�@-0.014978679 �A-0.006927378 �B-0.000776137 　0.000456995 �C0.000299863 �D0.000258118 �E0.000123322	�@0.296461612 �A0.278541706 �B0.274280996 　0.267308276 �C0.270994738

α＝228	α＝229.2	α96＝229.3374・・	α＝229.5	α＝230
�@-0.282228992 �A-0.308916377 �B-0.316421268 　-0.313879666 �C-0.315730486	�@0.424586154 �A0.461902791 �B0.472854992 　0.478667889 �C0.476256569	�@0.020231215 �A-0.009142321 �B-0.002102402 　-0.001987553 �C-0.000256481 �D0.0000585545 �E0.0000613712	�@0.291481227 �A0.204176933 �B0.200764047 　0.195759264 �C0.197959565	�@3.545612799 �A3.544022765 �B3.55281400 3.553645894 �C3.557159949

α＝231.1	α97＝231.2501	α＝231.4	α＝231.5	α＝231.9
�@-0.2218427 �A-0.345067266 �B-0.332119381 　-0.333822988 �C-0.330144276	�@0.051266333 �A0.00056485 �B-0.004977517 　-0.000445259 �C0.000208781 �D0.000493598 �E-0.000029397	�@0.382208235 �A0.427101651 �B0.411726784 　0.415349628 �C0.411558017	�@0.52630068 �A0.622222708 �B0.609561704 　0.607930522 �C0.605983918	�@0.126764931 �A0.178326909 �B0.189343107 　0.195124571 �C0.192577579

α98＝231.9872・・	α＝232.1	α＝233	α＝233.6	α99＝233.6934・・
�@-0.021675624 �A-0.014564567 �B-0.00458581 　0.002228954 �C-0.001388219 �D-0.000413314 �E-0.000121217	�@-0.106923852 �A-0.154072544 �B-0.148823874 　-0.147281296 �C-0.147859151	�@2.893922524 �A3.008295518 �B3.019870651 　3.014851658 �C3.013661873	�@0.189257775 �A0.077242217 �B0.090220901 　0.085908788 �C0.084161051	�@0.123472708 �A-0.014867941 �B0.004572725 　0.001994686 �C-0.000434213 �D-0.00028535 �E0.000157646

α＝233.8	α＝235	α＝236.4	α100＝236.5242・・	α＝236.6
�@0.34865478 �A0.215179021 �B0.230867546 　0.231741783 �C0.231294538	�@-0.507443296 �A-0.611815337 �B-0.618348619 　-0.622304766 �C-0.622035433	�@0.478479415 �A0.33953228 �B0.358261042 　0.35145724 �C0.352569592	�@0.122608029 �A-0.014998692 �B0.001061984 　0.000692499 �C0.001235568 �D-0.000450928 �E0.00000039778	�@-0.040770211 �A-0.152330086 �B-0.144331344 　-0.139978479 �D-0.140455173

　以上より、＜C2(α)の実験結果＞とまったく同様の結果が得られていることがわかるでしょう。

すなわち、非自明な零点の虚部αnではC2(α)は必ず0に収束していることが見てとれます。

　次に、もう一つの中心S2(α)を調べる必要があります。上の零点に関してS2(α)はまだ調べていないので、

検証が済み次第報告します。

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2006/12/3 　　　　　　　　　　　＜ S2(α)の追加の実験結果 ＞

（2006/12/10改）

　C2(α)につづき、S2(α)の場合を調べ終わったので、お知らせします。

　結論を述べれば、S2(α)の追加した検証実験でも「その１」同様、まったく私の考えを支持する結果を与えました。

　上のC2(α)とまったく同じ地点を調べました。

α9,α10の２点、α36〜α40の５点、そしてα96〜α100の５点の非自明な零点とその周辺の点です。零点は次の通り。

　α9＝48.005150881167
α10＝49.773832477672

α36＝114.3202209154527

α37＝116.226680320857

α38＝118.7907828659762

α39＝121.370125002420

α40＝122.94682929355

α96＝229.337413305525

α97＝231.250188700499

α98＝231.987235253180

α99＝233.693404178908

α100＝236.524229665816

S2(α)は次です。

　S2(α)＝sin(α・log2) /√2 - sin(α・log3) /√3 + sin(α・log4) /√4 - ・・・・

この式のαに零点他いろいろな値を代入して初項からｎ項までの和を求めた結果が以下の表となります。

赤字が零点。

�@は「１００項までの和」、�Aは「１０００項までの和」、�Bは「１０^4項までの和」、�Cは「１０^5項までの和」、

�Dは「１０^6項までの和」、�Eは「１０^7項までの和」を表す。

　αnだけ他よりもすこし詳しく調べています。�Cまでで止めたものも多くある。

また例えば�Bと�Cの間の数は、その中間の「5×10^4項までの和」を表す。他も同様。

α＝46	α＝47.9	α9＝48.0051・・	α＝48.1	α＝49
�@2.481451231 �A2.44387908 �B2.433864843 　2.43378367 �C2.434423214	�@-0.376624966 �A-0.312425493 �B-0.331297336 　-0.326618685 �C-0.324839179	�@-0.048684188 �A0.01534441 �B-0.003633508 　0.001932587 �C0.000375628 �D0.000166598 �E-0.000125779	�@0.239250254 �A0.286681588 �B0.277121799 　0.278785058 �C0.275631801	�@0.074845701 �A0.095111934 �B0.088870729 　0.082934243 �C0.086015983

α＝49.6	α10＝49.7738・・	α＝49.9
�@-0.411973725 �A-0.39866823 �B-0.397984153 　-0.403982406 �C-0.401761873	�@0.029852356 �A0.015718495 �B0.001145272 　0.002172044 �C-0.001511677 �D-0.000175111 �E0.000144531	�@0.472218098 �A0.435793865 �B0.420408485 　0.425382643 �C0.423780564

α＝113	α＝114.2	α36＝114.3202・・	α＝114.4	α＝115
�@2.227450641 �A2.243010192 �B2.262778903 　2.259991924 �C2.258274832	�@-0.690825291 �A-0.693366617 �B-0.703717914 　-0.699061034 �C-0.70249407	�@-0.021911815 �A0.015360133 �B0.002448393 　0.001701303 �C-0.000260366 �D-0.000368531	�@0.369003728 �A0.424150263 �B0.413809548 　0.409073572 �C0.410151658	�@0.002215403 �A-0.023740503 �B-0.017340638 　-0.020152297 �C-0.018140438

α＝116.1	α37＝116.2266・・	α＝116.4	α＝117	α＝118.7
�@-0.501578576 �A-0.44466096 �B-0.463107291 　-0.457466556 �C-0.456879911	�@-0.013694505 �A0.014796113 �B-0.003510415 　-0.001769929 �C0.000325919 �D0.000184186 �E-0.000129846	�@0.307269939 �A0.275723337 �B0.279205692 　0.274784094 �C0.274013016	�@-1.481118616 �A-1.456263375 �B-1.469219425 　-1.469846154 �C-1.470578158	�@0.001370889 �A0.062449815 �B0.059673396 　0.058465363 �C0.059717499

α38＝118.7907・・	α＝118.9	α＝120	α＝121.2	α39＝121.3701・・
�@-0.048560409 �A0.01135449 �B-0.003746659 　0.000833753 �C0.001362294 �D-0.000473558 �E0.000156986	�@0.070457815 �A0.112152867 �B0.091525646 　0.098563489 �C0.097510958	�@2.819887125 �A2.883685924 �B2.882212518 　2.881215628 �C2.880540493	�@-0.968184366 �A-0.942795787 �B-0.922861005 　-0.925023792 �C-0.927947751	�@-0.060008592 �A-0.003580317 �B0.002521559 　-0.000035226 �C-0.0009963 �D0.00036559 �E-0.000129246

α＝121.5	α＝122	α＝122.8	α40＝122.9468・・	α＝123.1
�@0.466017813 �A0.526491998 �B0.513577587 　0.514461918 �C0.517821943	�@0.037453606 �A-0.033792701 �B-0.016392586 　-0.021791778 �C-0.020180118	�@-0.60494647 �A-0.550694159 �B-0.547514505 　-0.547631233 �C-0.547254935	�@-0.034185456 �A-0.014975797 �B-0.004948283 　0.002189956 �C-0.001552063 �D-0.000428191 �E-0.000098951	�@0.476465228 �A0.458286801 �B0.468604683 　0.470360077 �C0.470692656

α＝228	α＝229.2	α96＝229.3374・・	α＝229.5	α＝230
�@2.824697686 �A2.745878189 �B2.725354897 　2.731838907 �C2.731852093	�@-0.843901849 �A-0.874399837 �B-0.870115676 　-0.868573656 �C-0.870373623	�@0.088459314 �A-0.014751653 �B-0.004583518 　0.001015366 �C-0.001560771 �D-0.000496546 �E-0.000145716	�@1.271262481 �A1.143543166 �B1.152955423 　1.153136323 �C1.155504709	�@0.984067314 �A1.074698405 �B1.062681631 　1.065931654 �C1.066236516

α＝231.1	α97＝231.2501	α＝231.4	α＝231.5	α＝231.9
�@-0.470697524 �A-0.529382707 �B-0.51301034 　-0.51742377 �C-0.518426857	�@-0.032908886 �A-0.015343853 �B0.000360607 　-0.002193297 �C0.001567762 �D-0.0000796385 �E-0.000155358	�@0.047496687 �A0.141253615 �B0.140655876 　0.145159063 �C0.145446008	�@-0.045837475 �A0.078171816 �B0.067704585 　0.073461737 �C0.070201951	�@-0.170055414 �A-0.187737941 �B-0.18523137 　-0.188944945 �C-0.18627878

α98＝231.9872・・	α＝232.1	α＝233	α＝233.6	α99＝233.6934・・
�@0.061913133 �A-0.009582727 �B-0.002098826 　-0.000167814 �C-0.000760076 �D-0.00028147 �E-0.000101524	�@0.497805071 �A0.377547117 �B0.388310687 　0.395322532 �C0.391746297	�@-0.330168003 �A-0.240798134 �B-0.223589629 　-0.227462249 �C-0.224617422	�@-0.493556206 �A-0.602403707 �B-0.615595584 　-0.615780644 �C-0.613899286	�@0.101778655 �A0.002084906 �B0.002129138 　-0.001001204 �C-0.001521348 �D0.000410512 �E-0.0000121494

α＝233.8	α＝235	α＝236.4	α100＝236.5242・・	α＝236.6
�@0.751347496 �A0.683837579 �B0.697830547 　0.694307821 �C0.691968118	�@-3.653400986 �A-3.777882811 �B-3.770319195 　-3.767860017 �C-3.768928159	�@-0.041830078 �A-0.146143883 �B-0.14937735 　-0.151709065 �C-0.151910938	�@0.057783166 �A-0.008691236 �B0.004909649 　-0.002122808 �C-0.000983662 �D-0.000216125 �E0.000158113	�@0.214171218 �A0.183811015 �B0.202370429 　0.197065746 �C0.198316166

　以上、一つ上のC2(α)とまったく同様の結果が得られました。すなわち非自明な零点の虚部αnではS2(α)は

必ず0に収束しています。

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　1 - cos(α・log2) /√2 + cos(α・log3) /√3 - cos(α・log4) /√4 + cos(α・log5) /√5 - ・・・＝0　　　----�@

　　sin(α・log2) /√2 - sin(α・log3) /√3 + sin(α・log4) /√4 - sin(α・log5) /√5 + ・・・＝0　　　 　-----�A

****************************************

（logは自然対数です。）

　この２方程式を同時に満たすαが、ζ(ｓ)の非自明な零点1/2+i・αnの虚部αnであることは、もはや疑い

ようのない事実であるとわかります。

　「その１」で述べた予想Ａ-1を再度、味わうことにしましょう。これがいかに重大な結果かわかるでしょう。

予想A-1　（リーマン予想と同値） 　cを0 < c < 1の実数とする。次のxに関する二つの方程式を考える。 　この二つの方程式を同時に満足する実数解が存在するのはcが1/2のときのみであろう。 　cos(x・log1) /1^c - cos(x・log2) /2^c + cos(x・log3) /3^c - cos(x・log4) /4^c + ・・・＝0 　sin(x・log1) /1^c - sin(x・log2) /2^c + sin(x・log3) /3^c - sin(x・log4) /4^c + ・・・・＝0

　私が導出したこれらの結果により、リーマン予想は古典的・初等的な命題に変貌したといえるでしょう。

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その１

その３

ゼータ系の彗星群

数学の研究