２物体の衝突問題

２物体が衝突したとき、２物体の運動量の総量は保存する。

完全に跳ね返るとき（弾性衝突）
　　２物体の速度の差は反転する。
　　２物体の運動エネルギーの総量は保存する。

くっつくとき（非弾性衝突）
　　２物体の速度の差は０になる。
　　２物体の運動エネルギーの総量が減る。熱エネルギーに転換する。

例１）物体Ａは1kgで速度1m/s(v1)で左から右へ移動し、
　　　物体Ｂは1kgで速度0m/s(v2)で静止している。
　　　物体Ａが物体Ｂに衝突する。
　　　衝突後の物体Ａの速度をv1'、物体Ｂの速度をv2'とする。

　　　衝突前
　　　　　運動量の総量
　　　　　　　p = 1(kg) x 1(m/s) （物体Ａの運動量）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 0(m/s) （物体Ｂの運動量）
　　　　　　　　= 1
　　　　　運動エネルギーの総量
　　　　　　　E = 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 （物体Ｂの運動エネルギー）
　　　　　　　　= 0.5

　　　完全に跳ね返るとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 1
　　　　　衝突後の速度の差は反転
　　　　　　　v1' - v2' = -1 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + 1(kg) x v2' = 1 （式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1' = 0(m/s) （物体Ａは静止）
　　　　　　　v2' = 1(m/s) （物体Ｂは速度1m/sで左から右へ移動）
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1(kg) x 0(m/s)　（物体Ａの運動量）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 1(m/s)　（物体Ｂの運動量）
　　　　　　　　= 1 （保存する）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 （物体Ｂの運動エネルギー）
　　　　　　　　= 0.5 （保存する）

　　　くっつくとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 1
　　　　　衝突後の速度の差は０
　　　　　　　v1' - v2' = 0 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + 1(kg) x v2' = 1 （式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1'= 0.5(m/s) （物体Ａは速度0.5m/sで左から右へ移動）
　　　　　　　v2'= 0.5(m/s) （物体Ｂは速度0.5m/sで左から右へ移動）
　　　　　　　物体ＡとＢはくっついて移動する
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1(kg) x 0.5(m/s) （物体Ａの運動量）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 0.5(m/s) （物体Ｂの運動量）
　　　　　　　　= 1 （保存する）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1(kg) x 0.5(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 0.5(m/s)^2 / 2 （物体Ｂの運動エネルギー）
　　　　　　　　= 0.25 （保存しない）

例２）物体Ａは1kgで速度3m/s(v1)で左から右へ移動し、
　　　物体Ｂは2kgで速度0m/s(v2)で静止している。
　　　物体Ａが物体Ｂに衝突する。
　　　衝突後の物体Ａの速度をv1'、物体Ｂの速度をv2'とする。

　　　衝突前
　　　　　運動量の総量
　　　　　　　p = 1(kg) x 3(m/s) （物体Ａの運動量） 
　　　　　　　　+ 2(kg) x 0(m/s) （物体Ｂの運動量） 
　　　　　　　　= 3
　　　　　運動エネルギーの総量
　　　　　　　E = 1(kg) x 3(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー）
　　　　　　　　+ 1(kg) x 0(m/s)^2 / 2 （物体Ｂの運動エネルギー）
　　　　　　　　= 4.5

　　　完全に跳ね返るとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 3
　　　　　衝突後の速度の差は反転
　　　　　　　v1' - v2' = -3 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + 2(kg) x v2' = 3（式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1'= -1(m/s)（物体Ａは跳ね返って速度1m/sで右から左へ移動）
　　　　　　　v2'= 2 (m/s)（物体Ｂは速度2m/sで左から右へ移動）
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1(kg) x -1(m/s) （物体Ａの運動量）
　　　　　　　　+ 2(kg) x 2(m/s)　（物体Ｂの運動量）
　　　　　　　　= 3 （保存する）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1(kg) x -1(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー）
　　　　　　　　+ 2(kg) x 2(m/s)^2 / 2　（物体Ｂの運動エネルギー）
　　　　　　　　= 4.5 （保存する）

　　　くっつくとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 3
　　　　　衝突後の速度の差は０
　　　　　　　v1' - v2' = 0 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + 2(kg) x v2' = 3 （式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1'= 1(m/s) （物体Ａは速度1m/sで左から右へ移動）
　　　　　　　v2'= 1(m/s) （物体Ｂは速度1m/sで左から右へ移動）
　　　　　　　物体ＡとＢはくっついて移動する
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1(kg) x 1(m/s) （物体Ａの運動量） 
　　　　　　　　+ 2(kg) x 1(m/s) （物体Ｂの運動量） 
　　　　　　　　= 3 （保存する）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1(kg) x 1(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー） 
　　　　　　　　+ 2(kg) x 1(m/s)^2 / 2 （物体Ｂの運動エネルギー） 
　　　　　　　　= 1.5 （保存しない）

例３）物体Ａは1kgで速度1m/s(v1)で左から右へ移動し、
　　　動かない壁にぶつかる(0m/s(v2))
　　　衝突後の物体Ａの速度をv1'、壁の速度をv2'とする。

　　　衝突前
　　　　　運動量の総量
　　　　　　　p = 1 (kg) x 1(m/s) （物体Ａの運動量）
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0(m/s) （壁の運動量）
　　　　　　　　= 1
　　　　　運動エネルギーの総量
　　　　　　　E = 1 (kg) x 1(m/s)^2 / 2 （物体Ａの運動エネルギー） 
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0(m/s)^2 / 2 （壁の運動エネルギー） 
　　　　　　　　= 0.5

　　　完全に跳ね返るとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 1
　　　　　衝突後の速度の差は反転
　　　　　　　v1' - v2' = -1 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + ∞(kg) x v2' = 1 （式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1'= -1(m/s) （物体Ａは跳ね返って速度1m/sで右から左へ移動）
　　　　　　　v2'= 0 (m/s) （壁は静止したまま）
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1 (kg) x -1(m/s) 
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0 (m/s)
　　　　　　　　= -1 （保存しない？）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1 (kg) x -1(m/s)^2 / 2 
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0 (m/s)^2 / 2 
　　　　　　　　= 0.5 （保存する）

　　　くっつくとき
　　　　　衝突前の速度の差
　　　　　　　v1　- v2　= 1
　　　　　衝突後の速度の差は０
　　　　　　　v1' - v2' = 0 （式１）
　　　　　衝突後の運動量は保存
　　　　　　　1(kg) x v1' + ∞(kg) x v2' = 1 （式２）
　　　　　各速度
　　　　　　　式１と式２の連立方程式を解く
　　　　　　　v1'= 0(m/s) （物体Ａは壁にくっついて静止）
　　　　　　　v2'= 0(m/s) （壁は静止したまま）
　　　　　運動量
　　　　　　　p = 1 (kg) x 0(m/s)
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0(m/s) 
　　　　　　　　= 0 （保存しない？）
　　　　　運動エネルギー
　　　　　　　E = 1 (kg) x 0(m/s)^2 / 2 
　　　　　　　　+ ∞(kg) x 0(m/s)^2 / 2
　　　　　　　　= 0 （保存しない）

　　　どちらも運動量の総量が保存しないように見えるが、
　　　動かない壁は地球とつながっており、地球をほんの少し動かす。
　　　よって運動量の総量は保存される。
　　　今回、壁の質量を無限大としたが、実際は大きいが有限である。